考慮剪切變形影響的樁基m法計算理論

楊美良,羅婉慶,張建仁

(長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙 410114)

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考慮剪切變形影響的樁基m法計算理論

楊美良,羅婉慶,張建仁

(長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙 410114)

考慮樁基的剪切變形影響，利用單廣義位移深梁理論，建立了樁基m法的計算方法，導出了水平位移、轉角、彎矩和剪力的初參數表達式和無量綱參數函數的統一表達式，根據樁底邊界條件建立了初參數解的計算公式；給出了無量綱參數函數隨換算深度和彎剪剛度比的變化圖形。研究表明,換算深度小于3.0時，彎剪剛度比對無量綱參數函數影響較小，換算深度大于4.0時，彎剪剛度比對無量綱參數函數影響的趨勢非常明顯，樁基剪切變形的影響程度與樁的邊界條件有關。算例結果表明，樁身的剪切變形有增大樁頂水平位移、提高彎矩零點位置、改變彎矩分布特征、擴大樁側土壓力大小等影響。

樁；單廣義位移梁理論；剪切變形；初參數； m法

目前,考慮剪切變形影響的深梁有0～3階剪切變形理論，被廣泛認同的理論有Timoshenko理論[6]、Jemielita理論[7]、Levinson理論[8]、Bickford理論[9]、Reddy理論[10]等，這些理論都有2個或以上的位移，計算上不方便。2000年，龔克提出了單廣義位移深梁理論[11]，該理論能用單一的廣義撓度表出轉角、彎矩和剪力，計算上非常方便，本文選擇該理論來建立樁基m法分析方法，以考慮基樁的剪切變形影響，推動樁基計算理論的發展。

1 單廣義位移深梁理論

2000年龔克提出單廣義位移深梁理論，建立理論模型時取梁的中心線為x軸，梁的撓曲面為xy平面, 對梁的變形作如下假設[11]：1)梁的中性軸的軸向位移不計，y方向的擠壓變形不計；2)變形前垂直于中心線的平面在變形后仍保持為平面(不一定垂直于撓曲線) ；3)剪切轉角隨x二階變化率不計。相應的平衡方程、轉角ψ、彎矩M和剪力Q表達式如下[13]見式(1)。

(1)

式中：D(=EI)為樁身的抗彎勁度、C(=kGA)為樁身的抗剪勁度、k為樁身截面的剪切修正系數，圓形截面取9/10、矩形截面取5/6。

從以上計算公式可以看出，單廣義位移深梁理論的平衡方程與Euler梁理論一致，轉角、彎矩和剪力用廣義位移撓度表示，該理論的正確性和推廣應用已在文獻[11]中有充分論證。

2 彈性樁的m法計算理論

采用彈性樁m法的計算假定，彈性樁側受水平分布力的平衡條件為

(2)

α5·x·w

(3)

設樁側水平位移解為級數解，如式(4)所示。

a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

(4)

將式(4)求導，其第一、二、三、四階導數為

·i·xi-1

(5)

將式(4)、(5)代入式(3)，并展開，使等式恒成立，則應有a4=0，除a4=0外，其他系數應滿足關系式

(6)

式中：n=1,2,3,…,∞。

進一步分析，可知

a5k-1=0,k=1,2,3,…

(7)

式中：()!!符號含義式(8)所示。

(5k-T)!!=

[5k-T][5(k-1)-T][5(k-2)-T]…

[5·2-T][5·1-T]

(8)

將各系數表達式等代入位移解，有

w(x)=a0·Y0(x)+a1·Y1(x)+

a2·Y2(x)+a3·Y3(x)

(9)

式中：

當x=0時，假定樁頂的位移、轉角、彎矩和剪力代入式(9)，可確定參數a0、a1、a2、a3。由式(1)的第2、3、4式可知，樁的轉角、彎和剪力用廣義位移表示為

a1·Y?1(x)+a2·Y?2(x)+a3·Y?3(x)]

Da0·Y″0(x)+a1·Y″1(x)+a2·Y″2(x)+

a2·Y?2(x)+a3·Y?3(x)]

(10)

當x=0時，有

M0=2D·a2,Q0=6D·a3

(11)

解得

(12)

用x=0時的初參數表示的位移、轉角、彎矩和剪力為

(13)

式中：

(14)

式中：EA1(x),EB1(x),EC1(x),ED1(x)為不考慮剪切變形影響時基于Euler梁理論的對應無量綱參數函數，具體表達式為[2]

(15)

轉角表達式為

(16)

式中：

·EA4(x)

(17)

式中：EA2(x),EB2(x),EC2(x),ED2(x)為不考慮剪切變形影響時基于Euler梁理論的對應無量綱參數函數，分別由EA1(x),EB1(x),EC1(x),ED1(x)求一次導數后再除以α得到。

彎矩表達式為

(18)

式中：

·EA5(x)

(19)

式中：EA3(x)、EB3(x)、EC3(x)、ED3(x)和EA5(x)、EB5(x)、EC5(x)、ED5(x)為不考慮剪切變形影響時基于Euler梁理論的對應無量綱參數函數，分別是由EA2(x)、EB2(x)、EC2(x)、ED2(x)和EA4(x)、EB4(x)、EC4(x)、ED4(x)求一次導數后再除以α得到。

剪力表達式為

(20)

式中：

(21)

EA4(x)、EB4(x)、EC4(x)、ED4(x)為不考慮剪切變形影響時基于Euler梁理論的對應無量綱參數函數，分別是由EA3(x)、EB3(x)、EC3(x)、ED3(x)求一次導數后再除以α得到。

從以上所推導的計算公式可以看出，正是由于單廣義位移深梁理論具有位移、轉角、彎矩和剪力都可用單廣義位移來表示的特點，使得考慮剪切變形影響的樁基m法分析仍可用級數來求解。如果采用經典的Timoshenko深梁理論來考慮剪切變形的影響，其級數解非常復雜。可以這樣說，選用單廣義位移深梁理論是建立考慮剪切變形影響的樁基m法分析模型的最成功技巧。

3 計算公式的統一表達

從上述計算公式可以看出，考慮剪切變形的計算函數EAi(x)、EBi(x)、ECi(x)、EDi(x)(i=1、2、3、4、5)都可由不考慮剪切變形的無量綱參數函數表示，而不考慮剪切變形影響的計算函數可用一種統一的公式來表達[12]。即

AA(i,j)=S(i,j)·(αx)j-i+

(22)

式中：i=1、2、3、4、5代表上式中撓度、轉角、彎矩、剪力及補充項的計算，j=1、2、3、4代表各計算公式中的A、B、C、D。其中的S(i,j)表達式如式(23)。

(23)

式(23)中，級數收斂很快，一般取前10項就有很高的計算精度，甚至取前5項即可。

4 邊界條件的處理及樁頂位移的確定

4.1 摩擦樁、柱承樁w0、ψ0的計算

當摩擦樁的αh≥2.5、柱承樁的αh≥3.5時，樁底轉角很小，可以忽略[2]，相應的樁頂位移、轉角用樁頂彎矩、剪力表示為

(24)

4.2 嵌巖樁w0、ψ0的計算

嵌巖樁樁底固結，據此條件可求出樁頂位移、轉角用樁頂彎矩、剪力表示為

(25)

5 無量綱參數函數

(26)

改變樁的彎剪剛度比R和換算深度αh，各無量綱參數函數隨R、αh的變化如下圖1所示。計算中R取0、0.1、0.125、0.15、0.175、0.20、0.22、0.23、0.24。當R=0時，表示抗剪勁度無窮大，即為不考慮樁的剪切變形影響的計算結果。

圖1 樁身位移和內力的計算參數函數隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig. 1 Calculating parameter functions of inner displacements and forces changing

從圖1可以看出，當換算深度αh<3.0時，彎剪剛度比R對無量綱參數函數的影響較小；只有當αh>3.0后，彎剪剛度比R對無量綱參數函數的影響才開始顯示出來；在αh>4.0后，彎剪剛度比R對無量綱參數函數的影響的趨勢非常明顯。

根據式(24)，摩擦樁或柱承樁的計算參數隨彎剪剛度比R、換算深度αh的變化如圖2所示。計算中R取0、0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.12、0.14、0.16、0.18、0.20、0.24。

圖2 摩擦樁或支承樁的計算參數隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig.2 Calculating parameters of inner displacements and forces changing

從圖2 可以看出，彎剪剛度比R對摩擦樁、支承樁的計算參數的影響非常小，在圖中由于分辨的原因基本看不出來。其與不考慮剪切變形時(R=0)的相應參數基本一致。因此對于摩擦樁、支承樁，可以不考慮剪切變形的影響。

根據式(25)，嵌巖樁的計算參數函數隨彎剪剛度比R、換算深度αh的變化如圖3所示。計算中R取0～3.6。從圖3可以看出，當換算深度αh<3.0時，彎剪剛度比對嵌巖樁的計算參數影響較大、而在αh>3.0后，其影響則比較小。因此，剪切變形對樁基的影響與其邊界條件有關。

圖3 嵌巖樁的計算參數函數隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig. 3 Calculating parameter functions of inner displacements andf forces changing with converting length and ratio bending stiffness to shear stffness

6 計算示例

已知一樁基，彈性模量E=2.6×107kPa、樁徑r=1.65 m、計算寬度b=0.9(r+1)=2.385 m、抗彎剛度折減系數0.67，樁身抗彎剛度實際取值為D=0.67EI=6.338×106kN·m2、抗剪剛度C=kGA=2.085×106kN，樁長10 m，邊界條件為嵌巖樁，按式(25)計算樁頂的變形參數。樁頂作用的水平剪力Q0=35.70 kN、彎矩M0=684.70 kN·m。計算時樁的變形系數α=0.327 39。人為改變彎剪剛度比R，樁身水平變形、彎矩、樁側土水平壓力隨樁長的變化如圖4～6所示。

圖4 樁身水平變形分布圖Fig.4 Horizontal displacement

圖5 樁身彎矩分布圖Fig.

圖6 樁側土水平壓力分布圖Fig.6 Horizontal stress

Table 1 Comparing of calculating results

R樁頂水平位移計算結果/m差別/%正側最大彎矩計算結果/(kN·m)差別/%負側最大彎矩/(kN·m)計算結果正側最大壓應力計算結果/(kN·m-2)差別/%負側最大壓應力計算結果/(kN·m-2)差別/%0．000．00209920．00716．230．00無負彎矩19．5590．0023．3400．000．100．00213301．61715．06-0．1610．23420．4714．6629．76927．540．150．00221495．51713．57-0．37110．1322．53115．2045．40894．55

從圖4和表1的樁頂水平位移數據欄可以看出，隨著R的加大，樁的抗剪剛度減小，樁頂水平位移加大。當R=0.15時，樁頂水平位移與不考慮剪切變形的位移大5.51%。

從圖4和表2的正側最大彎矩、負側最大彎矩數據欄可以看出，考慮剪切變形影響時，樁側最大正彎矩減小、負側最大彎矩增大。本算例中，不考慮剪切變形時，樁身長度范圍內不出現負彎矩，但考慮剪切變形后，由于樁身的彎曲剛度減小，樁身變形加大，正側彎矩與不考慮剪切變形影響時的結果減小0.37%，同時，在另一側出現負彎矩現象，不考慮剪切變形影響時則無負彎矩出現。因此，剪切變形對樁身的彎矩分布有一定影響，并有提高彎矩0點位置的作用。

從圖5和表2的正側最大壓應力和負側的最大壓應力數據欄可以看出，考慮剪切變形的影響后，正、負側的最大壓應力都有所擴大，其中，正側正應力與不考慮剪切變形時的結果擴大15.20%、負側正應力擴大94.55%。

7 結論

從以上的分析、公式推導和算例分析可以看出：

1)本文精心選擇單廣義位移深梁理論，建立樁基m法分析方法，可以考慮樁身剪切變形影響，當彎剪剛度比為0時可退化成不考慮剪切變形影響的形式，因此，所導出計算公式的適應性比目前基于Euler梁理論的常用m法更好。

2)不考慮邊界條件時，樁身位移、內力計算的無量綱參數函數有統一表達式，計算時取級數的前10項就有非常高的精度。

3)當換算深度αh>3.0時，剪切變形對位移、內力計算的無量綱參數函數的影響才開始顯示出來，當換算深度αh<3.0時剪切變形影響甚小。

4)隨著彎剪剛度比的增大，剪切變形有擴大樁頂位移、減小樁身正彎矩、改變樁身兩側彎矩的分布特征、提高彎矩0點位置等作用。

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(編輯 胡玲)

Calculating theory of m method assumption for piles with shear deformation effect

YangMeiliang，LuoWanqing，ZhangJianren

(School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, P.R. China)

Considering the shear deformation effect of piles, the calculating theory of m method assumption for piles was presented by using the single generalized displacement theory of deep beam. The initial parameter formulae to horizontal displacement, slope, moment and shear force were derived. The unified non-dimensional functions were also put forward. According to the boundary conditions, the initial parameters solutions were determined. The changing figures of non-dimensional functions with converting length and ratio of bend stiffness to shear stiffness were plotted. Some conclusions were summarized that when the converting length was less than 3.0, there was little influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the non-dimensional functions , while the converting length was greater than 3.0, the influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the non-dimensional functions became obvious; the influencing degree of the shear deformation effect was related to the boundary conditions. Example results showed that shear deformation can enlarge the horizontal displacement at the top, lift the position of zero moment, change moment distribution and magnify the soil pressure on pile.

pile; single generalized displacement beam theory; shear deformation; initial parameter; m method

2016-04-08

國家自然科學基金(51278072)；湖南交通科技創新項目(201452)

楊美良(1967-)，女，教授，博士，主要從事橋梁結構理論分析,(E-mail)yangmeiliang@163.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No.51278072)；Communication Science and Technology Innovation Project of Hunan(No.201452)

10.11835/j.issn.1674-4764.2016.06.008

TU473

A

1674-4764(2016)06-0054-08

Received:2016-04-08

Author brief：Yang Meiliang(1967-)，professor，PhD, main research interest：theoretical analysis of bridge structure,(E-mail)yangmeiliang@163.com.