剪切變形對基樁PΔ效應的影響

李微哲,婁平

(1.中南大學 土木工程學院 長沙 410012；2.中煤科工集團 重慶設計研究院有限公司，重慶400016)

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李微哲1,2,婁平1

(1.中南大學 土木工程學院 長沙 410012；2.中煤科工集團 重慶設計研究院有限公司，重慶400016)

1 計入剪切變形的PΔ效應桿單元

假定單元節點的彎矩逆時針方向為正，順時針方向為負；節點剪力、軸力方向與坐標軸方向相為正。則根據材料力學原理,單元節點i、j的彎矩與節點位移關系如下：

(1)

式中:Mi、vi、Mj、vj分別為節點i的彎矩、位移和節點j的彎矩和位移;z為單元長度方向坐標;E為計算彈性模量。

對節點i進行平衡彎矩分析，其彎矩平衡方程為

(Mi+Mj)+FQj(zj-zi)-FNj(vj-vi)=0

(2)

對節點j進行平衡彎矩分析，其彎矩平衡方程為

(Mi+Mj)-FQi(zj-zi)+FNi(vj-vi)=0

(3)

將式(1)代入式(2)得

FNj(vj-vi)=0

(4)

將式(1)代入式(3)得

FNi(vj-vi)=0

(5)

(6)

(7)

1.2 剪切變形和彎曲變形位移模式

假定考慮剪切變形的桿單元水平位移模式為

v=vb+vs

(8)

vb(z)=a0+a1z+a2z2+a3z3

(9)

vs=vsL+vsV=a4+a5z

(10)

式中:v為單元總水平位移;vb彎曲變形引起的水平位移;vs為剪切變形引起的水平位移;vsL為水平力剪切變形產生的水平位移;vsV為豎向力徑向剪切分力剪切變形產生的水平位移。

則僅考慮彎曲變形時，單元i節點(Z=0)和單元j節點(z=l)的水平位移和轉角如下：

(11)

式中:l為單元長度;a0、a1、a2、a3為待定系數;vib、vjb、φib、φjb為僅考慮彎曲變形時單元節點i和j的水平位移和轉角。

根據式(11)，可將a0、a1、a2、a3待定系數表達成vib、φib、vjb、φjb的表達式為

(12)

將式(12)代入式(9),可得單元彎曲變形水平位移函數為

(13)

則僅考慮剪切變形時，單元i節點(Z=0)和單元j節點(z=l)的水平位移和轉角為

(14)

將式(14)代入式(10),則單元剪切變形水平位移函數為

(15)

依材料力學和圖1假定，水平剪力、豎向力徑向剪切分力產生的剪切變形計算為

(16)

(17)

(18)

式中:FQ為單元剪力;k為形狀剪切系數，對矩形截面取1.2，對圓形截面取10/9，G為計算剪切模量;visL、vjsL、φisL、φjsL分別為水平力剪切變形在單元i、j節點產生的水平位移和轉角;visV、vjsV、φisV、φjsV分別為豎向力徑向剪切分力剪切變形在單元i、j節點產生的水平位移和轉角。

1.3 單元剛度矩陣方程

因剪切變形引起的轉角在節點不連續，則

(19)

根據式(5)、式(8)和式(10)可得

(20)

則聯合式(1)、(4)和式(13)，可得單元剪力為

(21)

(22)

將式(13)代入式(22)可得單元節點剪力為

(23)

(24)

將式(13)、(19)代入式(1)可得單元節點彎矩為

(25)

(26)

將式(16)代入式(23)可得計入剪切變形后單元節點位移關系為

(27)

或

(28)

將式(17)代入式(23)可得僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的單元節點位移關系如下：

(29)

由式(18)可得僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形時的單元節點位移關系如下：

(30)

將式(27)代入式(23)可得同時計入水平力剪切變形和豎向力徑向剪切分力剪切變形時，單元節點剪力、彎矩與節點總水平位移、彎曲變形引起的轉角之間關系為

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1.5 考慮剪切變形時單元節點轉角的計算

(40)

(41)

(42)

式中：φi為節點i轉角；vi-1vi、vi+1分別為i-1節點、i節點和i+1節點的位移，式(40)應用于一般節點，式(41)或式(42)適用于端節點。

1.6 單元內力求解

在小變形情況下，當已知節點位移時，可按式(35)～(37)計算單元節點內力時，剪力結果未計入豎向力徑向剪切分力結果。如需在小變形情況下計入豎向力徑向剪切分力影響，在計入剪切變形影響、僅計入水平力剪切變形影響、僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形影響時應分別按式(26)、 (27) 、(28)計算單元節點內力。

(43)

(44)

(45)

式(43)～(45)分別由式(35)～(37)演化而來，主要是在反算單元節點剪力時已計入了小變形情況下豎向力因傾角而產生的徑向剪切分力。式(43)～(45)的剪力項分別減去式(35)～(37)對應的剪力項即可得豎向力因傾角而產生的徑向剪切分力。

某支座高h=0.3 m，直徑d=850 mm，剪切模量G=2 MPa，抗壓彈性模量E=5 000 MPa，豎向力FN= 15 000 kN，水平力FH=180 kN。

支座受力如圖2，支座頂水平位移由剪切變形Vs和彎曲變形Vm組成，但剪切變形遠大于彎曲變形，且與支座高度h同數量級，為典型的大剪切變形構件；支座底部總彎矩由豎向力偏心彎矩和水平力矩組成，豎向力偏心彎矩往往極顯著，且遠大于水平力矩。支座偏心受壓后其豎向抗壓剛度會隨之變化，其彎曲變形會出現一定的非線性，本文暫時忽略此影響，并假定其抗壓彈模不變。

圖2 支座受力示意圖Fig.

表1 支座位移內力結果

Table1 Deformation and moment of bearing element

計算點距支座頂面距離/mm節點水平位移/mm彎曲轉角/(10-3)總彎矩/(kN·m)水平力產生的彎矩/(kN·m)053．07-0．9960．0003047．75-0．986-85．155．46042．43-0．956-170．2910．89037．12-0．906-255．4116．212031．81-0．837-340．5121．615026．50-0．747-425．562718021．19-0．637-510．5832．421015．88-0．508-595．5437．824010．58-0．358-680．4443．22705．29-0．189-765．2648．63000．000．000850．0154

3 支座基樁共同作用算例二

某橋梁基樁[1,7,9]，沖刷線以上樁長30.212 m，其中l1=8.012 m，d1=1.8 m，E1=1.933 3×104MPa；l2=22.2 m，d2=2.2 m，E2=1.8×104MPa；在沖刷線以下樁長l3=42.8 m，d3=2.2 m，E3=1.8×104MPa；地基比例系數m=10 000 kN/m3，豎向荷載Fz=9 102.2 kN，水平荷載Fx=165 kN。設墩頂支座同算例一，且基樁剪切模型G=0.4E。

支座基樁受力如圖3，支座頂水平位移由基樁水平位移Vp和支座自身水平變形Vb組成；且二者同數量級。基樁頂荷載除了上部結構傳遞的豎向力FN和水平力FQ外，還有豎向力因支座自身變形而產生的偏心彎矩FN·Vb，因豎向力和支座變形均很大，因此偏心彎矩不能忽略。

圖3 支座基樁受力示意圖Fig.

將支座劃分了2個桿單元，其單元剛度矩陣方程采用式(36)；基樁劃分了731個桿單元，在忽略和計入樁身剪切變性影響情況下其單元剛度矩陣方程分別采用 (38)和式(35)；并用自編MATLAB有限元程序計算，結果如表2和圖4。

項目文獻[1]文獻[9]本文1本文2本文3不計PΔ效應考慮PΔ效應和樁自重xp/mm134．019133．96133．956x0/mm6．4266．4196．419xz/mm257．931259．742xp/mm182．17182．15182．159206．581208．376φp(10-3)-7．784-7．7846-9．222-9．273x0/mm8．4348．4188．41839．2469．331ф0(10-3)-2．324-2．319-2．3193-2．558-2．596Mmax/(kN．m)6918．16915．76914．87663．07680．7Qmax/kN-923．3-918．9-1016．2-1006．4Qp/kN235．86248．95249．55σmax(kPa)91．3599．9499．84

圖4 支座和基樁PΔ效應的內力位移分布圖(忽略樁身剪切變形影響)Fig.4 Distribution of internal force, displacement and soil pressure for pile and bearing while shear

4 結論

[1] 趙明華.軸向和橫向荷載同時作用下的樁的計算[J].湖南大學學報,1987,14(2):68-81. ZHAO M H. The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading [J]. Journal of Hunan University, 1987, 14(2):68-81.

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(編輯 胡玲)

LiWeizhe1,2,LouPing2

(1.School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410000,P.R. China；2. China Coal Technology &Engineering Group, Chongqing Design & Research Institute Co. Ltd. Chongqing 400016,P.R. China)

Finite pole element method is presented forP-Δeffect analysis of pile and bearing while shear deformation is well considered. It is assumed that horizontal displacement of the pole element has a longitudinally cubic power function and the shear displacement has a longitudinally linear function, theP-Δeffect pole element rigid equation considering the shear deformation produced by lateral load and the radial component of vertical load, is derived. TheP-Δeffect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by lateral load is derived in the paper. TheP-Δeffect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by the radial component of vertical load, is derived in the paper. And theP-Δeffect pole element considering the shear deformation only produced by lateral load can simulate the bearing working eccentrically well in real-time. Matlab process of finite pole element method forP-Δeffect analysis of pile and bearing is edited, and case analysis is done, and the theory and the method is proved good. Finally conclusions are drawn as follows: (i) theP-Δeffect analysis result of pile will increase obviously while the eccentric bending moment of the bearing is well considered; (ii) the deformation has little effect on theP-Δeffect analysis result of the pile and bearing.

pile; bearing; lateral shear deformation; radial component of vertical load;P-Δeffect; finite pole element method

2016-03-07

李微哲(1981-)，男，主要從事樁基礎及路基研究,(E-mail)46414461@qq.com。

10.11835/j.issn.1674-4764.2016.06.009

TU470

A

1674-4764(2016)06-0062-10

Received:2016-03-07

Author brief：Li Weizhe(1981-),main research interests: pile foundation and subgrade engineering, (E-mail)46414461@qq.com.