一種分析微帶線隨機參數敏感性的多項式混沌展開方法

程市,黃斌科,師振盛

(西安交通大學電子與信息工程學院,710049,西安)

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一種分析微帶線隨機參數敏感性的多項式混沌展開方法

程市,黃斌科,師振盛

(西安交通大學電子與信息工程學院,710049,西安)

針對傳輸線加工中材料及結構參數隨機不確定性對傳輸性能影響的問題,提出了一種計算隨機系數傳輸線電報方程的多項式混沌(PC)展開方法。利用正交多項式混沌基函數,該方法首先將傳輸線電報方程中的隨機等效集總參數、傳輸線電壓及電流響應進行展開;其次利用Galerkin法,將隨機系數的電報方程問題轉化為關于電壓、電流正交多項式展開系數的確定性擴階方程組問題,并結合傳輸線邊界條件可計算電壓、電流的展開系數,進而獲得電壓、電流及傳遞函數的均值、方差和概率密度分布。隨機參數微帶傳輸線的仿真結果表明:低頻時導帶寬度對微帶線的傳輸性能影響較大,高頻時介電常數對其傳輸性能影響較大;在滿足計算精度要求的同時,PC展開方法具有比傳統蒙特卡羅(MC)方法更高的計算效率,計算耗時僅約為MC方法的1/500。

微帶線;電報方程;敏感性;多項式混沌展開;蒙特卡羅方法

微帶線在集成電路互連和平面微波電路設計中有著廣泛的應用。隨著電路器件的小型化和集成度的提高,微帶線加工中的材料和幾何結構參數的隨機不確定性對微帶電路的影響越來越嚴重,因此研究加工參數隨機不確定性對微帶電路性能的影響,并分析電路響應對加工隨機參數的敏感性,對于平面微波電路設計具有重要的應用價值,且可以兼顧性能余量和加工成本問題。

目前在電磁及微波領域研究隨機問題的典型方法為蒙特卡羅(MC)方法和多項式混沌(PC)方法等。MC方法對隨機模型參數進行大量采樣并進行多次統計實驗,得到隨機響應的統計特性。文獻[1]和文獻[2]結合精細積分算法和MC方法對工藝參數隨機擾動下的傳輸線進行了建模和分析,給出了傳輸線隨機模型的瞬態響應。該方法具有易于實現的優點,但其統計結果要達到收斂需要大量的采樣樣本,耗費時間長,計算效率低。文獻[3]提出了一種將拉丁超立方采樣與MC方法相結合的方法,該方法在一定程度上可減小MC方法的采樣數量,提高了采樣效率。目前工程應用中一般將MC方法作為對其他隨機問題計算算法效率的評價標準。PC方法基于隨機變量的概率分布,利用正交多項式混沌對隨機過程進行展開,并結合響應隨機變量的控制方程及Galerkin方法可將隨機模型轉化為擴階的確定性問題進行求解,進而得到響應的統計特性[4]。文獻[5]在研究帶通濾波器電路中溫度隨機變化對電路響應的影響時,采用PC方法對節點方程組中的隨機變量進行展開,較MC方法具有精確快速的優點。文獻[6]和文獻[7]研究傳輸線互連問題時,將PC方法引入到傳輸線方程,計算了材料和結構參數隨機不確定時的傳輸響應,驗證了PC方法的正確性及高效性,但沒有分析加工參數隨機性對傳輸性能影響的敏感性。文獻[8]提出了一種基于PC方法和進化算法相結合的電磁場逆問題魯棒優化設計方法,引入PC方法后有效降低了計算資源。然而,上述文獻沒有分析加工參數隨機性對傳輸線尤其是微帶線性能影響的敏感性。

本文將PC方法引入隨機參數的傳輸線方程,分析微帶線傳輸響應受基板材料及導帶幾何尺寸隨機影響的敏感性。首先介紹了PC展開理論,并針對隨機參數的傳輸線方程將PC展開與Galerkin方法結合,將隨機問題的求解轉化為擴階的確定性方程組的求解;其次,以微帶線為例,研究微帶線參數隨機變化時傳輸響應的統計特性;最后分析微帶線傳輸的影響應受隨機參數影響的敏感性。本文方法與傳統MC方法相比在計算效率上有顯著優勢。

1 多項式混沌展開理論

若Z為一維隨機變量,則關于隨機變量Z的函數f(Z)的多項式混沌逼近為

(1)

正交多項式基函數的選取與隨機變量Z的概率密度分布函數ρ(Z)有關,不同概率分布的隨機變量可選擇不同的Askey正交多項式作為最優逼近的基函數[9]。Xiu等人從Askey多項式族出發,將基于高斯隨機變量的Hermite多項式混沌展開拓展到其他不同概率密度分布的隨機變量的Askey PC族[4],如Gamma分布對應Laguerre多項式基展開、Beta分布對應Jacobi多項式基展開和均勻分布對應Legendre多項式基展開等。將一維隨機變量拓展到多維獨立隨機變量的正交多項式展開時,對n維相互獨立的隨機變量采用m階PC展開逼近,PC展開項數P+1=(n+m)!/(n!m!)[4,9]。如對2維獨立隨機變量采用3階、5階、7階展開時,對應的展開項分別為10項、21項、36項。

PC展開理論中,利用有限項正交多項式混沌之和的形式表示隨機參數,并代入到隨機偏微分方程中實現系統響應求解,系統響應的隨機統計特性如均值、方差、概率密度等可解析表示。PC展開方法只需一次仿真,這是PC展開方法相較于傳統MC方法的優勢所在。

2 微帶線隨機參數傳輸線方程計算

以微帶線模型為例,圖1所示的為含源和負載的傳輸線電路。傳輸線理論中,將傳輸線分布參數效應用其單位長度等效集總參數電路進行分析[10]。采用基爾霍夫電壓和電流定律得到關于傳輸線上電壓、電流滿足的電報方程

(2)

式中:R、L分別為單位長度傳輸線串聯電阻和電感;G、C分別為并聯電導和電容;s=jω為拉普拉斯變換域復變量。為書寫方便,令串聯復數阻抗Z=R+sL,復數導納Y=G+sC。

E(s)為電壓源;ZS和ZL分別為電壓源內阻和負載;V1(s)和V2(s)分別為近端電壓和遠端電壓;I1(s)和I2(s)分別為近端電流和遠端電流;l為傳輸線長度圖1 含源和負載的傳輸線電路

在加工中,實際微帶線結構模型的基板材料參數εr、基板高度h和導帶寬度w等受加工工藝的影響會存在隨機不確定性,進而對微帶線作為傳輸互連結構時的性能產生影響。本文考慮基板材料相對介電常數εr和導帶寬度w近似服從高斯分布

(3)

(4)

利用PC理論,傳輸線方程中的隨機變量系數阻抗、導納可用正交多項式基函數展開,這些正交多項式基函數與傅里葉級數中的正余弦函數類似。對于阻抗、導納變量服從高斯隨機分布,其對應的正交基函數為Hermite多項式。將微帶線電報方程阻抗、導納隨機變量用Hermite正交多項式展開如下

(5)

(6)

式中:ξ為隨機矢量,ξ=[ξ1,ξ2]T;Zk、Yk為展開系數,其計算公式如下

(7)

(8)

對于展開系數Zk和Yk的計算,阻抗、導納對于結構較復雜的傳輸線無解析表達式,通常采用高斯數值求積方法得到。電壓、電流響應隨機變量用Hermite正交多項式展開如下

(9)

(10)

式中:Vj和Ij為待求的展開系數,將式(5)、(6)、(9)、(10)代入電報方程(2),可得

(11)

(12)

對式(11)、(12)應用隨機Galerkin方法展開,得到

(13)

(14)

令

(15)

(16)

式中:P為展開項數。

將式(15)、(16)代入到式(13)、(14)中,將得到關于電壓、電流展開系數的方程組

(17)

利用式(17),微帶線終端電壓V2、電流I2與始端電壓V1、電流I1的關系為

(18)

(19)

考慮圖1中源和負載的邊界條件

(20)

(21)

式中:V1和V2分別為始端和終端電壓;I1和I2分別為始端和終端電流;ZS和ZL分別為始端和終端阻抗;E(s)為激勵電壓源。將式(20)、(21)用PC方法展開并結合式(18),得到關于電壓、電流展開系數的矩陣方程

(22)

式(19)中的各項都是用PC方法展開后得到的系數矩陣,求解式(19)得到電壓、電流展開系數后,結合Hermite正交多項式基函數可得到關于電壓、電流及傳遞函數的統計特性如均值、方差和概率密度函數等,由計算得到的統計結果可用于分析微帶傳輸線傳輸性能受其材料及結構參數隨機性的敏感性。

上述理論是在考慮傳輸線等效集總RLGC參數影響條件下給出的,對一般結構較復雜的傳輸線,其頻散RLGC參數并沒有明確的解析表達式。對PC展開中需要的受頻率和傳輸線結構及材料參數影響的RLGC計算,通常引入宏模型來表征以提高計算精度和效率[12]。對于工作頻率較低或結構尺寸較大的傳輸線模型可忽略傳輸損耗的影響,只需分析加工隨機參數對傳輸相移的敏感性,可有效降低本文算法的計算復雜度。

3 微帶線模型仿真與分析

為簡潔起見,本文算例考慮無耗傳輸線工作狀態。以微帶線模型為例,導帶厚度t=35 μm,基板介質高度h=60 μm,微帶線長度l=5 cm。圖1所示傳輸線電路中激勵電壓源為正弦信號,源阻抗ZS=50 Ω,負載阻抗ZL=1/(sCL+GL),其中CL=10 pF,GL=1/(10 kΩ)。微帶線基板介質相對介電常數εr和微帶線導帶寬度w均服從高斯分布,εr均值取3.7,w均值為100 μm,兩個隨機變量的相對標準偏差均取0.1。

本文方法在實現中,考慮導帶厚度、電容、電感作為微帶線基板材料介質參數、基板介質高度、微帶線導帶寬度等的函數可利用解析公式進行求解[13]。求解式(6)、(7)對應的電容、電感展開系數時,采用數值求積方法結果精度高且易于實現。這里分別計算了微帶線的近端傳遞函數Hn=V1(s)/E(s)和遠端傳輸函數Hf=V2(s)/E(s)。本文同時也給出了MC方法的計算結果,以驗證本文PC方法計算結果的正確性,在MC方法中采樣次數取40 000,滿足統計結果的收斂性。

3.1 微帶線基板介質相對介電常數隨機變化

只考慮微帶線基板介質相對介電常數εr隨機變化,微帶線其他參數都是確定性的。采用一維3階正交Hermite多項式基函數,展開項數P=4。圖2a和2b分別為微帶線近端和遠端傳輸傳遞函數在0.3 GHz時的概率密度分布,本文PC方法結果和MC方法結果取得了較好的一致性。從圖2a中可見近端傳遞函數取值大致在0.2～0.28區間,圖2b所示遠端傳遞函數取值大致在0.73～0.83區間。

(a)近端

(b)遠端圖2 εr隨機變化時傳遞函數的概率密度分布

(a)近端

(b)遠端圖3 w隨機變化時傳遞函數的概率密度分布

3.2 微帶線導帶寬度隨機變化

只考慮導帶寬度w隨機變化,微帶線其他參數都是確定性的。同樣采用一維3階正交Hermite多項式基函數,展開項數P=4。圖3a和3b分別為微帶線近端和遠端傳遞函數在0.3 GHz時的概率密度分布,本文PC方法結果和MC方法結果同樣取得了較好的一致性。由圖3a可見近端傳遞函數取值大致在0.17～0.29區間,圖3b所示遠端傳遞函數取值大致在0.72～0.84區間。

3.3 微帶線基板介質相對介電常數和導帶寬度均隨機變化

考慮微帶線基板介質相對介電常數εr和導帶寬度w均隨機變化,微帶線其他參數確定。采用二維3階正交Hermite多項式基函數,展開項數P=10。圖4a和4b分別為微帶線近端和遠端傳遞函數在0.3 GHz時的概率密度分布,本文PC方法結果和MC方法結果同樣取得了較好的一致性,說明3階PC方法有較高的精度。對于二維隨機變量的響應,其概率也近似服從高斯分布。由圖4a可見近端傳遞函數取值大致在0.16～0.31區間,圖4b所示遠端傳遞函數取值大致在0.70～0.86區間。

(a)近端

(b)遠端圖4 εr和w隨機變化時傳遞函數的概率密度分布

利用仿真得到的微帶線傳輸函數概率密度分布,可計算其均值和標準偏差,并利用3σ準則可對傳遞函數受微帶線隨機材料和結構尺寸參數變化的上、下界給出估計。表1～表3分別給出了0.3、1.3和2.3 GHz時近端、遠端傳遞函數隨微帶線基板介質相對介電常數εr和導帶寬度w隨機變化時的均值和偏離均值的上、下界估計值。

從表1～表3對比發現:①在相同的標準偏差下,1.3 GHz和2.3 GHz時相對介電常數εr隨機變化對近端傳遞函數的影響較大,而在0.3 GHz時導帶寬度w隨機變化對近端傳遞函數的影響較大,因此在低頻時近端響應受導帶寬度不確定性的敏感性大,而高頻時近端響應受基板介質參數不確定性的敏感性大;②在相同的標準偏差下,遠端傳遞函數受導帶寬度w隨機不確定性的影響稍大于相對介電常數εr的不確定性影響,但差別不大;③近端傳遞函數隨著頻率增加而增大,而遠端傳遞函數隨著頻率增加而減小;④對于兩個隨機變量均考慮時的傳遞函數,其3σ上下界范圍均比單個隨機變量時的上下界范圍要寬,即兩個隨機變量時的傳遞函數的標準偏差比單個隨機變量要大,說明微帶線加工中多個參數隨機變化時對傳輸性能的影響更大。另外從表1～表3中3種不同隨機參數情況的比較可見,微帶線傳遞函數響應主要受制于對其敏感性影響更大的加工參數,因此在微帶線加工中對不同材料及結構參數可分類采用不同的加工精度,以兼顧加工質量和成本。

表1 0.3 GHz時近端和遠端傳遞函數3σ上下界估計及均值

表2 1.3 GHz時近端和遠端傳遞函數3σ上下界估計及均值

表3 2.3 GHz時近端和遠端傳遞函數3σ上下界估計及均值

為了說明PC展開方法處理隨機參數傳輸線互連問題的高效性,表4給出了PC方法和MC方法在微帶線輸入隨機參數在3種情況下的計算耗時比較,從計算耗時上看,對一維和二維隨機變量問題的求解,PC方法的計算時間僅約為MC方法的1/500,因此本文PC方法與傳統MC方法相比大大節約了計算時間。

表4 本文PC方法和MC方法計算耗時比較

4 結 論

本文將PC展開理論引入到隨機參數的傳輸線方程計算中,通過計算微帶線基板介質介電常數及微帶線導帶寬度隨機變化時傳輸響應的統計特性,可有效分析微帶線加工參數不確定性對其傳輸性能的影響,可為微帶線傳輸互連結構及平面微波電路設計中的加工容差給出指導。通過對微帶線隨機傳輸響應的均值及仿真計算,結果表明低頻時導帶寬度對微帶線傳輸性能影響較大,高頻時介電常數對傳輸性能影響較大。本文方法在保證計算精度的同時在計算耗時上僅約為傳統MC方法的1/500。本文后續工作中將對導帶橫截面更小的微帶線模型,考慮其導體損耗,分析受加工參數不確定性對高頻段微波傳輸互連性能影響的敏感性問題。

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(編輯 劉楊)

A Polynomial Chaos Expansion Method for Sensitivity Analysis of Microstrip Transmission Lines with Stochastic Parameters

CHENG Shi,HUANG Binke,SHI Zhensheng

(School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A method based on polynomial chaos (PC) expansion is proposed to calculate the response of transmission lines with uncertain parameters, such as variability in the substrate material and conductor geometry introduced in manufacturing processes. The stochastic per-unit-length lumped equivalent parameters of the transmission line, as well as the stochastic voltage and current responses for the transmission line, are expanded in terms of a series of orthogonal polynomial chaos basis functions, and all these stochastic variables are substituted into telegraph equations with random parameters. Then Galerkin’s method is used to transform the telegraph equations into a set of augmented equations with the expansion coefficients of voltage and current as variables. The expansion coefficients are then obtained by solving the augmented equations combined with source and load conditions. Moreover, the statistical properties, such as the means, variance and probability density distribution of the voltage and current responses and transfer functions, are obtained. Simulation results of the microstrip transmission lines show that the conductor width has a greater impact on the performance of the microstrip transmission line at lower frequencies, while the dielectric constant has a greater effect on transmission performance at higher frequencies. In addition, the computational cost of the proposed method is lower, and its simulation time is about 0.2% of the Monte Carlo method.

microstrip; telegraph equations; sensitivity; polynomial chaos expansion; Monte Carlo method

2016-04-27。 作者簡介:程市(1992—),男,碩士生;黃斌科(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(61471293)。

時間:2016-10-26

10.7652/xjtuxb201612019

TN811.2

A

0253-987X(2016)12-0121-07

網絡出版地址:http: ∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20161026.1751.002.html