基于統一強度理論的隧洞彈塑性應力解析

谷拴成，黃榮賓，蘇培莉，丁 瀟，2，李 昂

(1.西安科技大學 建筑與土木工程學院，陜西 西安 710054；2.西安工業大學 建筑工程學院，陜西 西安 710021)

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基于統一強度理論的隧洞彈塑性應力解析

谷拴成1，黃榮賓1，蘇培莉1，丁 瀟1，2，李 昂1

(1.西安科技大學 建筑與土木工程學院，陜西 西安 710054；2.西安工業大學 建筑工程學院，陜西 西安 710021)

基于統一強度理論對第一主應力為徑向應力及環向應力2種情況進行彈塑性應力分析，推導得出了圍巖應力及塑性區半徑計算公式。隧洞圍巖有完全彈性狀態、最大主應力為徑向應力的彈塑性狀態及最大主應力為環向應力的彈塑性狀態3種狀態，隧洞彈塑性分析時，首先判斷圍巖所處狀態，進而選擇正確的公式進行計算。分析結果表明中間主應力有利于圍巖充分發揮其強度潛能，從而提高隧洞圍巖穩定性，而且中間主應力系數越小，圍巖穩定狀態對中間應力敏感度越高；當洞內壓力小于第二臨界應力時，增大洞內壓力有利于提高圍巖穩定性，而當洞內壓力大于第二臨界應力時，則圍巖穩定性隨洞內壓力增大而降低。

統一強度理論；隧洞圍巖；芬納公式；中間主應力；彈塑性分析

0 引 言

通過對地下隧洞工程進行彈塑性分析，能夠確定隧洞應力分布、圍巖位移及圍巖塑性區范圍，進而為確定合理支護強度及隧洞安全評價提供依據[1-2]。目前工程中通常采用Mohr-Coulomb強度準則進行彈塑性分析，據此推導得出的Fenner公式[3]、修正的Fenner公式及Kastner公式[4-5]在隧洞工程中得到廣泛應用。試驗證實中間主應力作用能夠使圍巖強度增大30%[6]，但是應用Mohr-Coulomb強度準則進行圍巖彈塑性分析時，將處于三軸應力狀態的圍巖視為平面應變問題而不能合理考慮中間主應力的影響，從而導致分析結果偏于保守[7]。

統一強度理論以正交八面體及其二分之一與四分之一單元體為統一的物理力學模型，建立了統一強度理論表達式以及一系列典型的計算準則。該理論不僅合理考慮了中間主應力的影響，而且能夠退化為Mohr-Coulomb強度準則、Mises強度準則、Tresca強度準則、雙剪強度準則及介于Mohr-Coulomb與雙剪強度準則之間的各種角隅模型，在不同的工程領域都得到了廣泛應用[8]。胡小榮等[9]應用統一強度理論對巖石在三軸壓縮載荷下的強度特性進行了理論分析，并將分析結果分別與實驗結果和Mohr-Coulomb強度理論作了對比，研究表明統一強度理論能較全面地反映巖石的各種強度特征。王繼秀等[10]考慮井筒周圍巖石的滲流作用和孔隙水壓力的基礎上，基于統一強度理對井筒周圍巖石進行了彈塑性分析，并給出了井筒周圍巖石的應力分布表達式和保持井壁穩定的彈性極限荷載及塑性極限荷載的統一解析式。張常光等[11]采用統一強度理論和彈脆塑性軟化模型，推導襯砌和圍巖彈塑性應力統一解，在此基礎上得出統一強度理論參數、軟化特性參數對襯砌和圍巖切向應力的影響規律。曾開華等[12]基于統一強度理論和非關聯線性流動法則，考慮塑性區的真實彈性應變，推導了深埋圓形隧洞彈塑性位移統一解。

以上研究就應用統一強度理論進行隧洞彈塑性應力分析取得了大量富有意義的結論，但是由于隧洞所處的地應力條件，支護強度，隧洞狀態的不同，第一主應力選取有所不同，而現有研究成果未對此加以區分。筆者基于統一強度理論，分別對第一主應力為徑向應力與環向應力條件下的隧洞應力進行分析，推導得出相應的塑性區寬度計算公式，并明確不同計算公式的適用條件，同時分析不同參數條件下的圍巖應力狀態及塑性區寬度的變化規律。

1 計算模型

假定圓形隧洞半徑為r0，受到地應力為P，內壓力為Pi，塑性區半徑為r0.在對隧洞進行彈塑性應力分析時，按照平面應變問題求解，力學模型的基本假設如下[13]：①隧洞斷面等效為圓形，長度無限；②原巖應力P為靜水壓力，即側壓力系數為1；③圍巖均質、各向同性、不可壓縮材料，計算過程中不計體力影響。

由于隧洞開挖擾動、支護作用及后期運營期間的應力再調整等因素的影響，第一主應力存在徑向應力及環向應力2種情況，不同情況下的圍巖彈塑性應力分布規律是不同的，在應用統一強度理論進行隧洞彈塑性應力分析時便分情況進行研究。

圖1 力學計算模型Fig.1 Mechanical analysis model(a)隧洞受力分布 (b)極坐標系中應力分量

2 彈塑性應力分析

2.1 徑向應力為第一主應力

在隧洞開挖過程或者內壓力相對于地應力處于較小水平時，應力重分布有可能引起圍巖在一定范圍內出現塑性破壞。分析過程中以受拉為正，受壓為負，則此時有σθ<σz<σr<0，即第一主應力應為徑向應力。

對于平面應變問題，可假設中間主應力

(1)

其中m為中間主應力系數，0

根據統一強度理論表達式，

(2)

式中 c，φ分別為圍巖粘聚力與內摩擦角；b為中間主應力影響參數，表征中間主切應力以及相應面上的正應力對材料破壞影響程度的系數，取值范圍為0≤b≤1.

圍巖塑性區內假定m=1，由此隧洞圍巖統一強度理論為式(2)。圖1所示力學計算模型為軸對稱平面應變問題，根據彈性力學相關理論，當rp≤r<∞時，彈性應力分布形式為[15]

(3)

軸對稱平面應變力學模型的平衡方程式為

(4)

聯立式(1)(2b)可得

(5)

聯立式(4)及(5)可得

(6)

解得

(7)

式中C為待定系數。

根據邊界條件(σr)r=r0=-Pi可得塑性區應力分布為

(8)

(9)

由計算模型可有邊界及彈塑性接觸面條件如下

(10)

根據(10)可建立方程組，解得

(11)

當b=0時，公式(2)所示的統一強度理論退化為Mohr-Coulomb強度準則，此時式(11)中第三方程式變為

(12)

上式為Fenner公式，即當b=0時，式(11)退化為Fenner公式[16]。

2.2 環向應力為第一主應力

當內水壓力很大或支護壓力太大時，洞周巖體也可能出現屈服區。由于徑向壓應力較大，環向壓應力較小，甚至成為拉應力，所以第一主應力應為σθ，即σ1=σθ，σ3=σr，同時中間主應力依然為式(1)所示。而圍巖屈服準則表達式變為

(13)

聯立式(1)(13)可得

(14)

從而有

(15)

解得

(16)

式中D為待定系數。

根據邊界條件(σr)r=r0=-Pi可得塑性區應力分布為

(17)

式中

(18)

由邊界條件(10)可解得

(19)

當b=0時，公式(2)所示的統一強度理論退化為Mohr-Coulomb強度準則，此時式(19)中第三方程式變為

(20)

上式即為Mohr-Coulomb強度準則條件下，環向應力為第一主應力時的塑性區半徑公式。

2.3 公式適用條件

式(11)及式(19)別為最大主應力為徑向應力及環向應力條件下，應用統一強度理論推導得出的塑性區半徑求解公式。在工程實際中，處于施工期的隧洞，或者內壓力較小情況下，最大主應力一般為徑向應力，此時應利用式(11)進行隧洞彈塑性應力分析；而處于運行期的水工隧洞或者內壓力過大時，最大主應力則轉換為環向應力，則應該利用式(19)進行分析。

由上述分析發現，在地應力場作用下，隧洞圍巖有3種狀態：彈性狀態、最大主應力為徑向應力條件下的彈塑性狀態及最大主應力為環向應力條件下的彈塑性狀態。在進行隧洞彈塑性分析前，應首先判斷圍巖在當前應力場條件下是否出現塑性破壞，然后確定最大主應力方向，進而選擇正確的計算公式進行隧洞應力分析。

若隧洞圍巖出現塑性區，則應滿足

(21)

引入臨界應力σp，即當Pi=σp時，rp/r0=1，此時圍巖將要出現塑性破壞。分析式(11)及式(19)可知，第一臨界應力

(22)

第二臨界應力

(23)

由此可以得出應用公式(11)及(19)進行隧洞彈塑性應力分析的適用條件：

1)當Pi<σp1時，圍巖部分區域處于塑性狀態，且第一主應力為徑向應力，此時應用公式(11)進行隧洞彈塑性分析；

2)當σp1≤Pi≤σp2時，圍巖完全處于彈性狀態，可用彈性力學中軸對稱平面應變相關理論進行隧洞應力分析；

3)當σp2

3 算例分析

針對不同的隧洞受力狀態，應采取對應的計算公式進行彈塑性分析，而非不加區別的進行分析。同時由于統一強度理論考慮了中間主應力的影響，使得計算結果與Mohr-Coulomb強度準則有所區別。以下通過算例對文中理論進行分析，以驗證理論的正確性，同時分析相關參數的影響規律。

圓形隧洞半徑r0=8.5m，埋深為180m，原巖應力P=3.55MPa；圍巖的粘聚力c=0.2MPa；內摩擦角φ=30°，內壓力Pi=0.3MPa；中間主應力系數b=0.25.為進一步研究各參數對隧洞圍巖應力分布的影響特點，分別采用單因素影響分析法及多因素影響分析法，得出僅特定因素變化條件下的應力分布變化規律。

在進行分析時，首先利用式(11)計算得出塑性區半徑，并根據式(8)及式(3)分別計算出塑性區及彈性區應力分布曲線，圖2及圖3即顯示的是中間主應力系數b分別取0,0.25，0.5，0.75及1.0時環向應力及徑向應力分布規律。通過分析，不同情況下圍巖塑性區第一主應力都為徑向應力，即此時滿足Pi<σp1.從圖中可以看出，在塑性區范圍內，環向應力以較快速率增大至最大值，且隨著b值的增大，塑性區內應力隨徑向坐標變化速率也有增大趨勢；同時塑性區內同一位置的徑向壓應力及環向壓應力均有增大趨勢，而在彈性區內同一位置的環向壓應力及徑向壓應力隨b的增大均有減小趨勢；隨著b值的增大塑性區范圍明顯減小，同時彈塑性界面環向壓應力由5.49MPa增大至6.63MPa，而徑向壓應力則由1.60MPa減小至0.48MPa，即彈塑性界面最大剪應力由1.95MPa增大至3.07MPa，說明圍巖可以在較大剪應力下仍保持穩定而不發生塑性破壞。

圖2 不同b值下環向應力曲線Fig.2 Circumferential stress curves under different b values

圖3 不同b值下徑向應力曲線Fig.3 Radial stress curves under different b values

圖4顯示的是中間主應力系數b取不同值條件下圍巖塑性區半徑rp的變化規律。隨著b值由0增大至1.0過程中，塑性區半徑rp由14.76m減小至8.70m，b繼續增大則圍巖由彈塑性狀態轉為完全彈性狀態；同時塑性區半徑變化速率由17.81m/L減小至1.78m/L.上述分析說明中間主切應力以及相應面上的正應力有利于圍巖保持穩定性，而且中間主應力系數b越小，圍巖穩定性狀態對中間應力越敏感。

圖4 不同b值下塑性區半徑變化曲線Fig.4 Curves of plastic zone radius under different b values

圖5顯示的是b取值不同條件下臨界應力σp1及σp2的變化曲線。隨著b值由0增大至1.0過程中，第一臨界應力σp1由1.60MPa減小至0.43MPa；第二臨界應力σp2由5.50MPa增大至6.67MPa，即臨界應力差值由3.90MPa增大至6.24MPa.上述分析說明，中間主應力系數b取值越大，圍巖越容易由處于最大主應力為徑向應力的彈塑性狀態進入完全彈性狀態，且處于該彈性狀態的圍巖厚度越大，即b值增大有助于提高隧洞圍巖穩定性。

圖5 不同b值下臨界應力變化曲線Fig.5 Curves of critical stress change under different b values

圖6顯示的是隧洞內壓Pi取不同值條件下塑性區半徑變化曲線。利用式(22)及(23)計算確定第一臨界應力σp1=1.26MPa，第二臨界應力σp2=5.84MPa.當Pi<1.26MPa時，由于隧洞開挖引起地應力釋放而造成圍巖處于彈塑性狀態，且此時最大主應力為徑向應力，因此應通過公式(11)計算圍巖塑性區半徑，隨著Pi由0增大至σp1，塑性區半徑由20.16m減小至8.50m；當1.26MPa≤Pi≤5.84MPa時，圍巖處于完全彈性狀態，此時可應用彈性理論進行隧洞應力分析；當Pi>5.84MPa時，由于隧洞內壓力過大圍巖再次出現塑性破壞且此時最大主應力為環向應力，因此應通過公式(19)計算圍巖塑性區半徑。利用Fenner公式進行分析時，第一臨界應力值為1.68MPa，較式(22)計算結果增大了0.42MPa，且相同隧洞內壓力條件下塑性區半徑較大，同時沒有第二臨界應力值，即表示無論隧洞內壓力增大至何值，圍巖都不會出現塑性破壞，顯然該結論是不合理的。

圖6 不同隧洞內壓Pi下塑性區半徑變化曲線Fig.6 Radius change curve of plastic zone under different tunnel pressure Pi

4 結 論

1)基于統一強度理論對隧洞進行彈塑性應力分析，推導得出了第一主應力分別為徑向應力與環向應力條件下的隧洞應力解及相應的塑性區半徑計算公式。當b=0且僅考慮徑向應力為第一主應力時，則文中理論退化為基于Mohr-Coulomb強度理論，而塑性區半徑公式退化為Fenner公式；

2)Pi<σp1時圍巖部分區域處于塑性狀態，且第一主應力為徑向應力；σp1≤Pi≤σp2時圍巖完全處于彈性狀態；σp2

3)隨著中間主應力影響系數b增大，彈塑性界面最大主應力、最大剪應力均有增大趨勢而塑性區半徑有減小趨勢；同時圍巖越易由處于最大主應力為徑向應力的彈塑性狀態進入完全彈性狀態，且處于該彈性狀態的圍巖厚度越大。上述分析說明中間主應力有利于圍巖充分發揮其強度潛能，從而提高隧洞圍巖穩定性，而且b越小，圍巖穩定性狀態對中間應力敏感度越高；

4)隨著隧洞內壓力Pi增大，圍巖依次處于(2)中的3種狀態，且當Pi≤σp2時，增大Pi有利于提高圍巖穩定性，而當Pi>σp2時，圍巖再次出現塑性破壞，且穩定性隨Pi增大而降低。說明隧洞支護抗力(水工隧洞表現為隧洞內水壓力)過小或過大都不利于隧洞圍巖穩定性，上述結論為隧洞采取合理的支護強度提供科學依據。由于Mohr-Coulomb強度準則沒有充分考慮中間主應力的影響，計算結果相對保守，且未能合理顯示Pi過大時對圍巖穩定性的不利作用。

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Elastoplastic stress analysis of tunnel based on the unified strength criterion

GU Shuan-cheng1，HUANG Rong-bin1，SU Pei-li1，DING Xiao1，2，LI Ang1

(1.CollegeofCivilandArchitecturalEngineering,Xi’anUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710054,China；2.SchoolofCivilandArchitectureEngineering，Xi’anTechnologicalUniversity，Xi’an710021，China)

Based on the unified strength theory，the elastic-plastic stress analysis is carried out under the premise that the first principal stress in two cases of radial stress and circumferential stress，and the formula of the radius of the surrounding rock and the plastic zone is derived.Tunnel surrounding rock has three states including the elastic state，the elastoplastic state that the maximum principal stress is the radial stress and the elastoplastic state that the maximum principal stress is the circumferential stress.When the elastic-plastic analysis was carried out on the tunnel，the state of the surrounding rock should be judged and the correct formula is chosen to calculate.Analysis results show that the intermediate principal stress is benefit to the rock to give full play to the strength of the potential，so as to improve the stability of surrounding rock of the tunnel and the smaller intermediate principal stress coefficient，the higher sensitivity of the surrounding rock stability to the intermediate stress.When the inside pressure is less than the second critical stress and increasing the hole pressure is beneficial to improving the stability of surrounding rock，while the hole pressure is greater than the second critical stress，the stability of surrounding rock will reduce with the increase of the hole pressure.

unified strength theory；tunnel surrounding rock；fenner formula；intermediate principal stress；elasto-plastic analysis

10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2016.0608

1672-9315(2016)06-0806-07

2016-08-11 責任編輯：李克永

國家自然科學基金(51508462)；陜西省科學基礎研究計劃(2016JM4014)

谷拴成(1963-)，男，陜西省扶風人，博士生導師，E-mail：yikaiyizhi@qq.com

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