二階廣義Emden-Fowler型微分方程的振蕩性

楊甲山， 方 彬

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002;2.梧州學院 復雜系統仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002;3. 信陽師范學院 數學與信息科學學院， 河南 信陽 464000)

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二階廣義Emden-Fowler型微分方程的振蕩性

楊甲山1，2*， 方 彬3

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002;2.梧州學院 復雜系統仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002;3. 信陽師范學院 數學與信息科學學院， 河南 信陽 464000)

中立型的二階泛函微分方程的振蕩性在理論和應用兩方面均有著重要意義. 本文研究一類具可變時滯的二階廣義非線性的Emden-Fowler型中立型泛函微分方程的振蕩性，獲得了該類方程振蕩的1個新的判別準則.

振蕩性； Emden-Fowler型微分方程； Riccati變換

1引言及問題的提出

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，

t≥t0，

(1)

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u(這里λ>0， β>0為實常數)；而a，p，q∈C([t0，+∞)，R)；f∈C(R，R)且當u≠0時uf(u)>0，并考慮如下假設條件：

(C1) a∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(C3) 當u≠0時f(u)/u≥L(這里L>0是常數).

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t≥t0)

(E)

是振蕩的(這里函數Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，常數k>0). 這是文獻[15]的主要結果，也就是文獻[15]中的定理2.2. 我們注意到，當β<γ時文獻[15]沒有得到方程(E)的振蕩準則，而且文獻[15]中的條件“a′(t)≥0”似乎較為苛刻. 受到以上有關研究的啟發，筆者將利用Riccati變換技術及各種有關不等式技巧來研究方程(1)的振蕩性，得到了該方程振蕩的1個新判別準則，去掉了限制性較強的條件“a′(t)≥0”，拓廣了β，λ的取值范圍. 而作為方程(1)的特殊情形(即當方程(1)中β=γ=1時的情形)，我們的這些準則改進了現有文獻中的一系列結果. 同樣，考慮條件

(2)

2方程振蕩的判別定理

引理1[24]設X，Y為非負實數，則當0<λ≤1時Xλ+Yλ≥(X+Y)λ，等號成立當且僅當X=Y．

引理2設X，Y為非負實數，則當λ>1時Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ，等號成立當且僅當X=Y．

此結果由函數f(x)=xλ(λ>1)的凹凸性即得.

引理3[25]設A>0，B>0和α>0均為常數，則當x>0時，

(3)

引入記號：

定理1設條件(C1)-(C3)及(2)成立，且0≤p(t)≤p0<+∞(這里p0為常數)，如果存在函數φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))使得當λ≤β時

+∞，

(4)

當λ>β時

(5)

證明 反證法，設方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設x(t)為最終正解(當x(t)為最終負解時類似可證)，則?t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥t1. 由z(t)的定義容易看出，z(t)>0且z(t)≥x(t)(t≥t1). 由方程(1)并注意到條件(C1)和(C3)，有

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0.

(6)

由(6)式并利用條件(2)，不難推出z′(t)>0(t≥t1). 應用(6)式，當t≥t1時，可得

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(7)

綜合(6)，(7)兩式，當t≥t1時，就有

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

(8)

若0<β≤1，利用τ′(t)≥τ0>0，τ°δ=δ°τ和z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))及引理1，由(8)式得到

若β>1，類似地，有

于是

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(9)

根據γ及β的取值范圍，下面分兩種情形來討論：(Ⅰ)λ≤β；(Ⅱ) λ>β.

情形(Ⅰ)：λ≤β.

作廣義的Riccati變換w(t)如下：

(10)

顯然，w(t)>0(t≥t1). 考慮到τ′(t)≥τ0>0，由上式，得

(11)

因為z(t)>0，z′(t)>0，所以? η>0使得z(t)≥η且z(τ(t))≥η，t≥t1. 結合引理3 及(10)式，由(11)式，得

(12)

再作廣義的Riccati變換v(t)如下：

(13)

則顯然v(t)>0(t≥t1). 完全類似于上面的推導過程，可得

(14)

于是，綜合由(12)式和(14)式，并利用(9)式，可得

(15)

由(6)式知，a(t)[z′(t)]λ(t≥t1)是單調減少的，所以

(16)

將(16)式代入(15)式，得

因此

這與(4)式矛盾.

(17)

再定義Riccati變換如(13)式，則完全類似于(14)式的推導過程，可得

(18)

綜合(17)，(18)兩式，并分別利用(9)式、z′(t)>0及(16)式，有

≤-L0φ(t)Q(t)Ψβ(t，t1)+

于是

這與(5)式矛盾. 定理證畢.

注1本文定理1給出了一類非常廣泛的二階廣義的Emden-Fowler型非線性變時滯的中立型泛函微分方程(1)的振蕩性判別準則. 由定理1看出，對于λ>β和λ<β兩種情形，方程(1)的振蕩準則不盡相同；當λ=β≤1時的結果即為文獻[4]中定理4；當λ=β時我們的結果還推廣并且改進了現有文獻中的一系列結果，這由下面的幾個例子也可以得到說明.

例1考慮二階時滯微分方程

(E1)

其中對常數q0>0. 對應于方程(1)，這里λ=β=1，a(t)≡1，p(t)=4/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t-1，δ(t)=t，f(u)=u. 顯然條件(C1)-(C3)均滿足. 現取φ(t)=t，用定理1的第1種情形(注:L=1，p0=4/5，τ0=1，Ψβ(s，t1)=1)，則

因此，由定理1知，當q0>9/20=0.45時方程(E1)是振蕩的.

注2我們也可以用文獻[11]的定理2.1來判定方程(E1)的振蕩性：因為λ=β，

例2考慮二階時滯微分方程

(E2)

這里常數α>0. 對應定理1，則λ=1，a(t)≡1，p(t)=1/4，q(t)=α/t2，τ(t)=t/4，δ(t)=t，f(u)=u. 顯然，條件(C1)-(C3)均滿足. 若取φ(t)=t，由定理1(注意到此時L=1，p0=1/4，τ0=1/4且Ψ(s，t1)=1)，則當α>5/4=1.25時，

因此，由定理1知，當α>5/4=1.25時方程(E2)是振蕩的.

注3我們也可以用文[12]的定理3.4來判定方程(E2)的振蕩性：由于當α>2時，

所以當α>2時方程(E2)是振蕩的. 因此，本文定理1不僅包括了文獻[12]中的定理3.4，而且改進了文獻[12]中的有關結果.

例3考慮二階泛函微分方程

(E3)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于

顯然條件(C1)-(C3)全部滿足. 又因為

為了計算簡單，取φ(t)=1，則

所以定理1的條件全部滿足，故由定理1知，方程(E3)是振蕩的.

注4由于方程(E3)的中立項系數函數p(t)>1且λ≠β，因此文獻[1-8，11-25]等中的定理都不能用于方程(E3).

[1] HASANBULLI M，ROGOVCHENKO Y V. Oscillation criteria for second order nonlinear neutral differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 215(12):4392-4399．

[2] LI T， PAGARWAL R P， BOHNER M. Some oscillation results for second-order neutral differential equations[J].The Journal of the Indian Mathematical Society， 2012， 79(1-4):97-106．

[3] LI T， AGARWAL R P，BOHNER M. Some oscillation results for second-order neutral dynamic equations[J].Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics， 2012， 41(5):715-721．

[4] LI T， ROGOVCHENKO Y V. Oscillatory behavior of second-order nonlinear neutral differential equations[J]. Abstract and Applied Analysis， 2014:1-5．

[5] SUN S， LI T， HAN Z，et al.Oscillation theorems for second-order quasilinear neutral functional differential equations[J]. Abstract and Applied Analysis， 2012:1-17．

[6] ZHANG C，AGARWAL R P， BOHNER M， et al. New oscillation results for second-order neutral delay dynamic equations[J]. Advances in Difference Equations， 2012:227．

[7] ZHONG J， OUYANG Z， ZOU S. An oscillation theorem for a class of second-order forced neutral delay differential equations with mixed nonlinearities[J]. Applied Mathematics Letters， 2011， 24(8):1449-1454．

[8] AGARWAL R P， BOHNER M， LI T， et al.A new approach in the study of oscillatory behavior of even-order neutral delay differential equations[J]. Appl Math Comput， 2013， 225:787-794.

[9] YANG J S, QIN X W.Oscillation criteria for certain second-order Emden-Fowler delay functional dynamic equations with damping on time scales[J].Advances in Difference Equations， 2015:97．

[10] YANG J S，QIN X W， ZHANG X J.Oscillation criteria for certain second-order nonlinear neutral delay dynamic equations with damping on time scales [J].Mathematica Applicata， 2015， 28(2):439-448．

[11] YE L， XU Z.Oscillation criteria for second order quasilinear neutral delay differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation，2009， 207(2):388-396．

[12] SUN S，LI T， HAN Z，et al.Oscillation theorems for second-order quasilinear neutral functional differential equations[J]. Abstract and Applied Analysis， 2012:1-17．

[13] LI T X， ROGOVCHENKO Y V， ZHANG C H. Oscillation of second-order neutral differential equations[J].Funkcialaj Ekvacioj， 2013， 56:111-120．

[14] AGARWAL R P，BOHNER M， LI T X， et al.Oscillation of second-order Emden-Fowler neutral delay differential equations[J]. Annali di Matematica Pura ed Applicata， 2014， 193(6):1861-1875．

[15] 黃記洲，符策紅.廣義Emden-Fowler方程的振動性[J].應用數學學報， 2015， 38(6):1126-1135．

[16] 于 強， 楊甲山. 二階非線性變時滯中立型微分方程的振蕩性分析[J].安徽大學學報(自然科學版)， 2016, 40(4):22-29．

[17] 楊甲山.具非線性中立項的二階變時滯微分方程的振蕩性[J].華東師范大學學報(自然科學版)， 2016(4): 30-37．

[18] 楊甲山.時間測度鏈上一類二階Emden-Fowler型動態方程的振蕩性[J].應用數學學報， 2016， 39(3): 334-350．

[19] 楊甲山.具正負系數和阻尼項的高階泛函微分方程的振動性[J].華東師范大學學報(自然科學版)，2014(6): 25-34+38．

[20] 楊甲山，譚偉明，覃學文，等.時間模上二階非線性阻尼動力方程的振動性分析[J].浙江大學學報(理學版)， 2016, 43(1): 64-70．

[21] 楊甲山.具阻尼項的高階中立型泛函微分方程的振蕩性[J].中山大學學報(自然科學版)， 2014， 53(3):67-72．

[22] 莫協強，張曉建，楊甲山.一類高階泛函微分方程非振動解的存在性[J].四川師范大學學報(自然科學版)，2014， 37(6):861-866．

[23] 楊甲山，覃學文.具阻尼項的高階Emden-Fowler型泛函微分方程的振蕩性[J].中山大學學報(自然科學版)， 2015， 54(4):63-68．

[24] XING G J， LI T X， ZHANG C H.Oscillation of higher-order quasi-linear neutral differential equations[J]. Advances in Difference Equations， 2011: 45．

[25] 楊甲山.具可變時滯的二階非線性中立型泛函微分方程的振動性[J].浙江大學學報(理學版)， 2016, 43(3): 257-263．

Oscillation of certain second-order generalized Emden-Fowler-type differential equations

YANG Jiashan1，2, FANG Bin3

(1.School of Information and Electronic Engineering， Wuzhou University， Wuzhou， Guangxi 543002;2.Laboratory of Complex Systems Simulation and Intelligent Computing， Wuzhou University， Wuzhou， Guangxi 543002;3.College of Mathematics and Information Science, Xinyang Normal University, Xinyang, Henan 464000)

The oscillation of second-order neutral functional differential equations has important implications in both theory and application.In this article， the oscillatory behavior is studied on a class of second-order generalized nonlinear Emden-Fowler-type neutral functional differential equations with variable delay，and a new oscillation criteria of the equations is established.

oscillation; Emden-Fowler-type differential equation; Riccati transformation

2016-06-06.

梧州學院2014年校級科研重大項目(2014A003);碩士學位授予單位立項建設項目(桂學位[2013]4號);廣西教育廳科研項目(2013YB223) 及河南省基礎與前沿技術研究計劃項目(142300410434).

1000-1190(2016)06-0799-06

O175.7

A

*E-mail: syxyyjs@qq.com.