自相似性和分形維數(shù)在風場分析中的應(yīng)用

李倩倩，李 春,2，楊 陽

(1.上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海市動力工程多相流動與傳熱重點實驗室，上海 200093)

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自相似性和分形維數(shù)在風場分析中的應(yīng)用

李倩倩1，李 春1,2，楊 陽1

(1.上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海市動力工程多相流動與傳熱重點實驗室，上海 200093)

通過探究風速時間序列的自相似性和分形維數(shù)，將分形學運用到湍流風場分析中，從風速時間序列的局部與整體關(guān)系和風速時間序列的分形維數(shù)2個角度解決選用湍流風譜模型時存在的盲目性問題.選用某一風場風速時間序列，基于Kaimal、Von Karman、SMOOTH和NWTCUP湍流風譜模型得到風速時間序列，采用Hurst值驗證風速時間序列的自相似性，用計盒維數(shù)法計算風速時間序列的分形維數(shù).結(jié)果表明：不同的湍流風譜模型具有不同的分形維數(shù)，湍流風譜模型可定量描述；風速時間序列內(nèi)部波動不是隨機的，是有自相似性的長程相關(guān)過程；分形維數(shù)與參考風速有關(guān).

分形維數(shù)； 湍流風譜模型； 風場； 計盒維數(shù)法； 自相似性

風能作為一種清潔的可再生能源，已越來越受到各國的重視[1].目前，風力機設(shè)為三葉片或兩葉片水平軸以及少數(shù)垂直軸共存的狀態(tài)，并且近幾年出現(xiàn)海上、空中漂浮式風力機[2].因此，建立合適的風場仿真模型對于風力機氣彈響應(yīng)穩(wěn)定性的研究和風力機安全運行具有重要意義.

基于風場實測風速時間序列，通過自回歸滑動平均模型[3]、模糊邏輯預測方法[4]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似算法[5]建立小空間范圍模型的風場建模方法準確度較高，但該風場建模方法的建立需要大量的實驗數(shù)據(jù).因此，基于湍流風譜和地貌特點建立風場模型的方法應(yīng)用最為廣泛.黃鵬等[6]對大氣邊界層風場模擬及測試技術(shù)進行了研究.湍流風是由地形差異造成空氣與地表間摩擦、空氣密度差異以及氣溫變化的熱效應(yīng)引起的空氣團垂直運動[7]，其形成過程非常復雜，因此湍流風譜的選擇需要考慮溫度、壓力、密度、濕度以及空氣本身的運動.湍流風譜模型的選擇難度較大，具有一定的盲目性.國內(nèi)學者對Kaimal模型和Von Karman模型等各向同性模型進行的研究較多，祝賀等[8]基于多點卡曼譜輸入的電塔脈動風數(shù)值進行模擬，根據(jù)隨機振動理論，確定利用多點卡曼譜模擬風速湍流，得出結(jié)構(gòu)振動規(guī)律.高靜等[9]基于Von Karman模型的三維大氣紊流仿真結(jié)果對Von Karman大氣紊流模型進行有理化處理，確定新的濾波器參數(shù).上述學者均采用基于湍流風譜并結(jié)合地貌特點的方法建立風場仿真模型.由于風力機運行環(huán)境差異極大，地形、湍流風譜及其參數(shù)的設(shè)置對建模結(jié)果的適用性有較大影響.通常根據(jù)經(jīng)驗使用相應(yīng)參數(shù)選擇湍流風譜，但無法確保生成的風場對結(jié)果具有可適用性.上述文獻均可為工程實際提供參考，但局限性都是基于1種或2種湍流風譜模型進行的研究.

自相似性最早是由數(shù)學家Benoit B. Mandelbrot提出的，并將其應(yīng)用于水紋方面的研究.自相似性可用來描述物體或曲線，若物體具有自相似性，則說明它和它本身的一部分完全或幾乎相似；若曲線具有自相似性，則說明該曲線的每部分都有一小塊和它相似.自相似性是分形的重要特征之一，當某一物體具有自相似性時，則認為其分形在幾何變換下具有標度不變性.在數(shù)學理論研究中，人們通常借助隨機過程的相關(guān)函數(shù)來證明自相似性過程具有標度不變性.后來，部分學者引入長程相關(guān)性，借以表示在一定范圍內(nèi)的相關(guān)性.分形形體中的自相似性有3種形式，包括隨機自相似性、漸進自相似性以及統(tǒng)計自相似性.Hurst系數(shù)為自相似參數(shù)，也稱為自相似系數(shù)H，用來度量隨機過程的持續(xù)性，H越大，長程相關(guān)性越強.

考慮到風是空氣流動形成的自然運動，具有非常明顯的混沌特征，風速時間序列曲線具有明顯的自相似性，因此基于風速時間序列數(shù)據(jù)的湍流風譜可以通過分形學進行分析.Chang等[10]對大元、恒春、澎湖等風場的實測數(shù)據(jù)進行了分形維數(shù)的分析，研究結(jié)果表明，風速具有中等高值的分形維數(shù).邱玉珺等[11]驗證了分形維數(shù)可作為反映地面狀況的一個參數(shù).孫斌等[12]通過計算廣義Hurst系數(shù)尺度函數(shù)和多重分形譜，細致量化了風速時間序列的局部與整體波動的奇異性.因此，可以從風速時間序列的局部與整體的奇異性和風速時間序列的維度空間來量化風場.

筆者結(jié)合分形學的自相似性和分形維數(shù)，分別從風速時間序列的局部與整體之間的奇異性和風速時間序列的分形維數(shù)來研究不同湍流風譜模型下的風場.選用某一風場風速時間序列和基于Kaimal、Von Karman、SMOOTH和NWTCUP湍流風譜模型得到的風速時間序列，通過與實測NREL風速時間序列得出的結(jié)果對比，研究湍流風譜模型對于特定風場的適用性.

1 湍流風譜模型

1.1 Kaimal模型

Kaimal模型假設(shè)大氣為中性穩(wěn)定條件，風在3個方向(u,v,w)的分量功率譜密度函數(shù)為

(1)

式中：LK為整體尺寸參數(shù)，根據(jù)IEC標準[13]，定義整體尺寸參數(shù)分別為8.10ΛU(K=u)，2.70ΛU(K=v)，0.66ΛU(K=w)，其中ΛU為湍流尺度參數(shù)；K為風向，K=u,v,w；f為頻率；uhub為輪轂高度處的平均風速；σK為3個方向上分量的標準偏差，標準偏差之間的關(guān)系定義為σv=0.8σu，σw=0.5σu.

1.2 Von Karman各向同性模型

Von Karman模型同樣假設(shè)大氣為中性穩(wěn)定條件，風在3個方向(u,v,w)的分量功率譜密度函數(shù)為

(2)

式中：K=v,w；L為u方向的整體尺寸參數(shù)，為湍流尺度參數(shù)ΛU的函數(shù)，定義為L=3.5ΛU；各分量間標準偏差的關(guān)系為σv=σw=σu[13].

1.3 Ris?光滑地形模型

Ris?光滑地形模型(SMOOTH模型)是在Olesen等[14]的研究基礎(chǔ)上開發(fā)的.SMOOTH模型使用當?shù)馗叨群惋L速來定義功率譜密度函數(shù)，這與Kaimal模型和Von Karman模型使用風速和輪轂高度定義所有點的功率譜密度函數(shù)有所不同.SMOOTH模型的功率譜密度函數(shù)為所有特定地形模型的基礎(chǔ)，高頻和低頻SMOOTH湍流風譜模型相同，風在3個方向(u,v,w)的分量功率譜密度函數(shù)為

(7)

(8)

1.4 NWTCUP模型

美國風能研究中心(NWTC)基于實測風場數(shù)據(jù)和SMOOTH[16]風譜模型建立了NWTCUP湍流風譜模型，通過比例縮放SMOOTH湍流風譜模型功率譜密度函數(shù)，具體縮放系數(shù)則根據(jù)實測數(shù)據(jù)總結(jié).其中，非穩(wěn)定流動的功率譜密度函數(shù)為高頻和低頻SMOOTH湍流風譜模型的線性組合[17]，即：

式中：Pi,K和Fi,K(i=1,2)為縮放系數(shù)，由根據(jù)測量數(shù)據(jù)總結(jié)的關(guān)于無量綱數(shù)Ri的經(jīng)驗函數(shù)確定.

2 分形理論方法

(10)

計算分形維數(shù)是分析研究對象自相似性的一種數(shù)學方法，對于一組不規(guī)則的時間序列數(shù)據(jù)，分形維數(shù)越大,表示數(shù)據(jù)的隨機性越強[10].現(xiàn)今的研究中計盒維數(shù)法最為常用，應(yīng)用該方法計算分形維數(shù)的公式[18]為

D=2-H

(11)

式中：D為分形維數(shù).

上述分形維數(shù)計算方法中，Hurst系數(shù)H是此指數(shù)分析中最重要的參數(shù).H. E. Hurst分析R(τ)/S(τ)=R/S的統(tǒng)計規(guī)律時發(fā)現(xiàn)存在如下關(guān)系式：

R(τ)/S(τ)=R/S

(12)

(13)

域值R(τ)為

(14)

標準差S(τ)為

(15)

在時刻tj響應(yīng)量的累積偏差A(τ,tj)為

(16)

(17)

如果{xi}是相互獨立的，則有H=1/2.H>1/2時，所研究的風速時間序列不是相互獨立的，而是正相關(guān)的，且表示時間序列所代表的過程具有持久性，H越大，持續(xù)性越強，H越接近1，隨機成分越少.當0

3 計算結(jié)果與分析

采用NREL實測風場風速實驗值作為樣本數(shù)據(jù)[17].此數(shù)據(jù)采用同一天、海拔80 m和50 m處風速計所測得的風速時間序列.其速度波動情況如圖1所示.樣本風速時間序列的分析結(jié)果見表1.

圖1 樣本實測風速Fig.1 Wind speed measurement of the sample field

表1 樣本風速分析結(jié)果Tab.1 Analysis results of the sample data

分別基于Kaimal、Von Karman、SMOOTH和NWTCUP湍流風譜模型，結(jié)合相應(yīng)的地貌條件，建立多種湍流風場即風速時間序列曲線，按表2和表3的模擬風況大氣邊界條件進行風場仿真.圖2和圖3為模擬風場中風速隨時間變化的曲線.

圖2為參考風速在9.67 m/s條件下，4種湍流風譜模型下距地面50 m處的風速.由圖2可以看出，4種湍流風譜模型的風速變化范圍不同；Von Karman湍流風譜模型下風速波動幅度最大，波動范圍為2～16 m/s；SMOOTH風譜模型下風速波動幅度最小，波動范圍為6～13 m/s.

表2 在50 m處模擬風況大氣邊界條件設(shè)置及分形維數(shù)Tab.2 Atmospheric boundary settings at the height of 50 m and the fractal dimension

圖2 高度為50 m時風速隨時間變化的曲線Fig.2 Wind velocity variation for four spectrums at the height of 50 m

圖3 高度為80 m時風速隨時間變化的曲線Fig.3 Wind velocity variation for four spectrums at the height of 80 m

表3 在80 m處模擬風況大氣邊界條件設(shè)置及分形維數(shù)Tab.3 Atmospheric boundary settings at the height of 80 m and the fractal dimension

圖3為參考風速在10.06 m/s條件下，4種湍流風譜模型下距地面80 m處的風速.由圖3可以看出，Von Karman湍流風譜模型下風速的波動幅度最大，波動范圍為4～18 m/s；SMOOTH湍流風譜模型下風速的波動幅度最小，波動范圍為5～14 m/s.

為使結(jié)果更具有說服力，從某一風場隨意選取一組風速時間序列，如圖4所示.根據(jù)圖4中任意風場的風速時間序列計算出的Hurst系數(shù)為0.420 0，分形維數(shù)為1.580 0.

圖4 某一風場風速時間序列Fig.4 Wind speed time sequence of a wind field

由圖2和圖3表明在同樣的參考風速下，4種湍流風譜模型仿真得出的風速波動范圍是完全不同的，4種湍流風譜模型仿真可以代表4種不同風場.任意一風場風速時間序列又代表了一種實際而非模擬的情況，使結(jié)果更具說服力.

由表2和表3總結(jié)得出6種風況分別在50 m處和80 m處的Hurst系數(shù)，如表4所示.

表4 Hurst系數(shù)Tab.4 Hurst exponents

圖5和圖6分別為表4中風況1～風況5在50 m和80 m處的分形維數(shù).由圖5和圖6可以看出，樣本風速的分形維數(shù)最接近NWTCUP湍流風譜模型的分形維數(shù)，在誤差允許范圍內(nèi)NWTCUP湍流風譜模型能近似表示樣本風速時間序列所在風場.

圖5 在50 m處5種風況的分形維數(shù)Fig.5 Fractal dimensions of 5 types of wind at the height of 50 m

圖6 在80 m處5種風況的分形維數(shù)Fig.6 Fractal dimensions of 5 types of wind at the height of 80 m

圖7和圖8分別為50 m和80 m處某一風場數(shù)據(jù)的Hurst系數(shù).由圖7和圖8可知，所有風場風速的Hurst系數(shù)都不等于0.5，風速時間序列具有長程相關(guān)性，這種長程相關(guān)性破壞了風速時間序列的隨機性，使得風速時間序列發(fā)生了變異，Hurst系數(shù)偏離0.5越遠，序列的這種變異就越明顯.如圖4所示，在14～17時，風速發(fā)生了顯著的變異，所以圖4中某一風場風速時間序列的Hurst系數(shù)明顯偏離0.5.因此，根據(jù)Hurst系數(shù)的取值可以識別序列是否隨機，即序列是否發(fā)生了變異，由此可知風速是具有自相似性的.本文中計算出的Hurst系數(shù)均小于0.5，所以系統(tǒng)表現(xiàn)出反持久性，即上一階段是上升的，而下一階段極有可能是下降的.從一段時間的風速時間序列(即系統(tǒng)的局部)可以預測整個風場的風速波動情況，有利于精確預測風場的能量以及對風力機系統(tǒng)提前進行安全防護.分形維數(shù)可以定量描述湍流風譜模型，為風場模擬選擇合適的湍流風譜模型提供一定的依據(jù).

圖7 在50 m處6種風況的Hurst系數(shù)Fig.7 Hurst exponents of 6 types of wind at the height of 50 m

圖8 在80 m處6種風況的Hurst系數(shù)Fig.8 Hurst exponents of 6 types of wind at the height of 80 m

4 結(jié) 論

(1) 在相同參考風速條件下，Kaimal、Von Karman、SMOOTH和NWTCUP等湍流風譜模型具有不同的分形維數(shù)，因此湍流風譜模型在一定參考風速下的風場仿真可用分形維數(shù)量化表示.

(2) 經(jīng)計算，H值不等于0.5，同時驗證了風速時間序列內(nèi)部波動不是隨機的，而是有自相似性的長程相關(guān)過程.

(3) 同一種湍流風譜模型的分形維數(shù)與湍流強度無關(guān)，在地形確定的條件下，風速的分形維數(shù)與參考風速有關(guān).

(4) 可通過Hurst系數(shù)進行風場局部與整體之間的研究，為更精確地描述風場打下基礎(chǔ).

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Application of Wind Speed Self-similarity and Fractal Dimension in Wind Field Analysis

LIQianqian1,LIChun1,2,YANGYang1

(1. School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China; 2. Shanghai Key Laboratory of Multiphase Flow and Heat Transfer in Power Engineering, Shanghai 200093, China)

The fractal theory was applied to turbulent wind field analysis by studying the self-similarity and fractal dimension of the wind speed time sequence, so as to overcome the blindness in selecting the turbulent wind spectrum model from the following two aspects: the local-global relations and the fractal dimension of the wind speed time sequence. Taking the wind speed time sequence of a wind field as the sample data, different wind speed time sequence curves were obtained respectively with Kaimal, Von Karman, SMOOTH and NWTCUP turbulent wind spectrum model, and its self-similarity was then verified with Hurst exponents while the fractal dimension was calculated using box counting method. Results show that different turbulent wind spectrum models have different fractal dimensions, which can be described in a quantitative way; the internal fluctuation of wind speed time sequence is not random, but a long-term correlated process with self-similarity; the fractal dimension is related to the reference wind speed.

fractal dimension; turbulent wind spectrum model; wind field; box counting method; self-similarity

2015-09-23

2016-03-05

國家自然科學基金資助項目(51176129);上海市科委資助項目(13DZ2260900)

李倩倩(1989-),女,山東濟寧人,碩士研究生,主要從事風力發(fā)電方面的研究.電話(Tel.):15902136852; E-mail:LI861758463@163.com.

1674-7607(2016)11-0914-06

TK83

A 學科分類號：480.60