應用于高動態接收機的分數階傅里葉變換實現

董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學 儀器儀表工程，上海200240）

應用于高動態接收機的分數階傅里葉變換實現

董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學 儀器儀表工程，上海200240）

針對傳統的FFT在高動態環境下難以長時間對高動態信號進行相干累積的難題，以及為了達到對高動態信號進行更有效跟蹤的目的，利用FrFT運算瞬時頻率隨時間呈線性變化的性質，將其應用到高動態接收機中去，對多普勒頻率和多普勒頻率變化率同時進行補償。運用基于Closed-form算法實現FrFT運算，并設計高動態接收機信號跟蹤環模塊，通過基于matlab的一、二維搜索仿真，根據測量得到的結果計算多普勒頻率和多普勒頻率變化率，將測量值與真實值相比較。仿真證明該跟蹤環提高了高動態接收機的跟蹤性能和抗干擾能力。

分數階傅里葉變換；接收機；高動態；Closed-form算法

高動態GNSS系統已經越來越廣泛地應用于軍事領域之中，尤其是制導武器方面，彈載高動態衛星接收機的難點主要在于導彈的飛行時間短，在飛行過程中導彈彈體的速度、加速度和加加速度的變化非常劇烈，這導致接收機的接收信號它的載波多普勒變化劇烈，從而使接收機信號跟蹤難度增大[1]。此時多普勒頻移往往會超出一般鎖相環的捕獲帶寬，如果載波多普勒頻偏過大，將導致接收機信號跟蹤失鎖[2]的情況發生。

若在短時間內將加速度視為恒定，則GNSS載波信號等效于一個線性調頻信號（Chirp信號）。Chirp信號最主要的性質是瞬時頻率隨時間呈線性變化。FrFt作為一個有效的Chirp信號檢測工具，可以應用到高動態接收機中去，增加其抗噪聲干擾，抗多徑干擾等能力，并能夠更有效地跟蹤到高動態信號。使用FrFT可以同時對多普勒頻率和多普勒頻率變化率分量進行有效補償，解決了傳統的FFT在高動態環境下難以對高動態信號進行長時間相干累積的難題[3-4]。

文中為了實現對高動態信號的分析檢測和參數估計，分析了整個接收機系統以及分數階傅里葉變換在高動態衛星信號跟蹤的應用并經由結合Closed-form算法，設計了基于分數階傅里葉變換的高動態接收機跟蹤環模塊，通過二維搜索對測試信號進行檢測及估值，以達到對其精確跟蹤的目的。以此來證明該模塊具有能實現跟蹤高動態信號的能力。

1 接收機跟蹤環設計及分數階傅里葉變換

文中所設計的接收機整體主要由以下幾個部分組成：相關積分模塊，信號參數估計模塊和相位估計器；相關積分模塊負責對偽碼對齊后的中頻載波信號進行分段相關積分；信號參數估計模塊負責計算信號的FrFT，并對載波頻率和頻率變化率進行估計；相位估計器負責精確計算載波相位，最終對載波NCO進行精確調整，對信號進行跟蹤。

初始中頻信號經過載波NCO1的初始解調后進入相關積分器，經由FrFT模塊處理并計算得到多普勒頻率和多普勒頻率變化率后進入相位估計器，經過載波NCO2的再解調后留下電文。

FrFT（Fractional Fourier Transform，分數階傅里葉變換），是廣義的傳統傅里葉變換[5]，它含有變量p，被稱為p階傅里葉變換。函數x（t）的分數階傅里葉變換的表達式如下[6]：

圖1 高動態接收機跟蹤環設計

Fp[x（t）]（u）為連續分數階傅里葉變換的運算符。

變換核

其中0＜|p|＜2，變換角度θ=pπ/2。

變換角度為θ=pπ/2的p階傅里葉變換的時頻圖如圖1所示。若我們將Fourier變換看作為一種線性算子，在時頻平面中當時θ=2nπ+π/2，時域轉為頻域。那么FrFT算子就是一個可旋轉任意角度θ的算子，所以我們可以認為FrFT是廣義的傅里葉變換[7]。

圖2 分數階傅里葉變換時頻圖

我們使用FrFT，通過上述計算得到了高動態環境下的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，并運用之后的跟蹤模塊來跟蹤高動態信號。

2 算法分析

離散FrFT常用的方法有兩種，一種是由Ozaktas提出的分解型算法，將FRFT的定義式積分變換分解為幾步簡單的計算步驟，然后經過離散化處理得到離散卷積表達式，這樣可以利用FFT來計算FrFT；另一種是Pei、Ding等人研究出的一種閉合的DFrFT算法，從連續Fourier變換的特征函數是Hermite函數出發，對特征函數Hermite函數經過離散正交處理，得到DFT矩陣的正交向量，而此正交向量也同樣是Hermite特征向量。因此可以構造離散分數階Fourier變換核矩陣。最后通過對信號的時域和分數階Fourier域選擇合適的采樣間隔，得到離散分數階Fourier變換。

2.1 Ozaktas算法

Ozaktas的分解型算法[10-12]將FRFT定義式的計算過程分為了3個步驟：

可以看出該算法運用了3步FFT的運算來得到分數階傅里葉變換結果。

2.2 Closed-form算法

我們將采樣函數x（t）和輸出函數Fp[x（t）]（u）分別按Δt，Δu的間隔進行采樣，y（n）=x（n*Δt）；Yα（m）=X（m*Δu），其中n=-N，-N+1，…，N；m=-M，-M+1，…，M；這里值得注意的是我們采樣的起始點并不在t=0以及uθ=0處。我們將DC成分置于中心位置[13-14]。于是我們將上式轉化為：

這樣Yα（m）可逆；當M≥N時將Yα（m）的反變換表示為Fα（m，n）的赫米特轉置形式，可以得到[15]：

根據式（8）和（9），

其中|S|是2M+1的一個整數質數，這樣的話式（9）可以變成

由式（16）我們可以看出Closed-form算法[13-14]相對于Ozaktas算法更簡便，它避免了Ozaktas算法中繁瑣的卷積計算，從計算量出發來考慮的話，Closed-form算法的1次FFT運算所需的計算量要遠遠小于Ozaktas算法卷積運算中用到的3次FFT運算。所以總體來說Closed-form算法計算復雜度相較Ozaktas法要小。

3 算法實現與模塊仿真

經過對兩種算法的比較，Closed-form算法的結構相對更簡單，復雜度更小，故選擇該法作為FrFT模塊[16]的算法。

具體模塊實現步驟如下：

1）原信號與某一線性調頻函數相乘；

2）對1）的結果進行Fourier變換（其變元乘以尺度系數）；

3）將2）的結果再與（1）中的線性調頻函數相乘；

在仿真測試信號選方面，選擇載波信號參數如下：加速度a=200 g，g=10 m/s2，加加速度為0，初始相位為φ≠0，采樣頻率為fs=10 MHz，中頻頻率為2.046 MHz，初始多普勒頻率為fd0=50 Hz，濾波器點數為512點，信號觀測時間為；將載波信號x（t）=exp（j（2πf0t+πhat+φ））作為輸入信號，在分數階傅里葉變換階次p分別為p=1，p=1.136時，仿真結果分別如圖3所示。

圖3 階次p=1、p=1.136的分數階傅里葉變換仿真結果

從仿真圖中圖3可以看出，仿真信號聚集成為一個沖激函數，證明了當且僅當分數階傅里葉變換階次p為最佳階次時，Chirp信號能量聚集為一個沖激函數的結論，即對我們的仿真信號在階次p=1.136時達到最佳階次，其信號積聚性最好，從而驗證了該模塊應用的正確性。

之后我們在一維算法實現的基礎上，通過改變分數階傅里葉變換階次，對chirp信號分數階傅里葉變換結果作出二維分布，并對其峰值進行搜索，得到圖4所示。

將搜索范圍定在p∈[1，1.2]，搜索步長Δp=0.001，時間步長為Δu=0.2 ms，得到峰值坐標為（1.136，315，3.412*104）。由上得出在p=1.136，即旋轉角度θ=0.568π=102.24°時可搜索到仿真信號峰值。此時我們將得到的計算結果代入式（4），得到多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

圖4 仿真信號分數階傅里葉變換二維分布圖

而當加速度a=100g時（其余參數不變），得到二維分布結果圖如圖5所示。

圖5 a=100g時，仿真信號分數階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標為（1.068，289，4.514*104），即在p=1.068，旋轉角度θ=0.534π=96.12°時可搜索到仿真信號峰值。此時的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

加速度a=50g時，得到二維分布結果圖6如下。

圖6 a=50g時，仿真信號分數階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標為（1.034，275，3.611*104），即在p=1.068，旋轉角度θ=0.517π=93.06°時可搜索到仿真信號峰值。此時的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為

表1 不同加速度下仿真信號多普勒頻率的測量值和計算值及其誤差

整理以上計算結果，得到下表：

經過對在不同加速度的高動態信號下的多普勒頻率估計值與計算真實值的比較，誤差都在1%以內，可見該模塊可以實現對高動態信號的跟蹤，且精度較高。

4 結束語

文中針對接收機的高動態環境下多普勒頻移大，跟蹤信號相對困難的特點，研究了分數階傅里葉變換針對跟蹤高動態信號的應用，利用Closed-form算法和FrFT運算設計了高動態接收機信號跟蹤環模塊，并計算得出高動態信號的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，以達到跟蹤到高動態信號的目的；該方法在保證精度的同時，盡量減小了運算量，最后給出對仿真測試信號的一維仿真以及二維搜索仿真結果，對該算法應用進行了驗證，證實了該算法的可行性和正確性。可以在之后將此模塊運用于實際工程項目中去，以體現其滿足高動態信號跟蹤的精確性和實時性。

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The application and realization of Fractional Fourier Transformation to high-dynamic GNSS receiver

DONG Jun-xiang，ZHAO Jian-kang，ZHU Cheng-guang，XIA Xuan
（Instrument Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

For the problem that traditional FFT can't accumulate coherently under high-dynamic environment during a longtime period，and in order to track high-dynamic signal more efficiently，we use the feature of FrFT that its instantaneous frequency varies with time，to compensate Doppler frequency and Doppler frequency rate in the high-dynamic receiver. Closed-form algorithm is used to realize FrFT and design the tracking loop of high-dynamic receiver.Through one-dimension and two-dimension simulation based on Matlab，calculating Doppler frequency and Doppler frequency rate，and compare measurement value with the real value.The simulation proves that this tracking loop improve the tracking performance and the ability of anti-interference of the high-dynamic receiver.

fractional Fourier transformation；GNSS receiver；High-dynamic；closed-from algorithm

TN911

A

1674－6236（2016）24-0070-04

2015-12-09 稿件編號：201512113

董俊翔（1991—），男，上海人，碩士研究生。研究方向：高動態接收機。