平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的幾何設(shè)計(jì)與嚙合特性分析

倪高翔,朱才朝,宋朝省,劉懷舉

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,400030,重慶)

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平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的幾何設(shè)計(jì)與嚙合特性分析

倪高翔,朱才朝,宋朝省,劉懷舉

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,400030,重慶)

基于空間齒輪嚙合理論,建立了平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的節(jié)圓錐設(shè)計(jì)模型,提出了平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的幾何設(shè)計(jì)方法。考慮安裝誤差與變形,建立了平行軸漸開線變厚齒輪嚙合分析模型,研究了節(jié)錐角、載荷與安裝誤差對(duì)嚙合特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明:節(jié)錐角增加使接觸壓力減小、齒輪副傳動(dòng)精度降低,但嚙合剛度波動(dòng)更為平緩;載荷增加使角度傳遞誤差均值與峰峰值均增加,但對(duì)嚙合剛度均值的影響不大;安裝誤差中,軸線平行度安裝誤差對(duì)齒輪副的嚙合特性影響較大,將導(dǎo)致齒輪副產(chǎn)生邊緣接觸,而對(duì)于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差產(chǎn)生的邊緣接觸更加嚴(yán)重。研究結(jié)果可望為平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的工業(yè)化推廣提供理論依據(jù)。

漸開線變厚齒輪;平行軸;節(jié)圓錐設(shè)計(jì);嚙合特性;安裝誤差

漸開線變厚齒輪因沿軸線方向的變位系數(shù)呈線性變化,導(dǎo)致齒形在軸線方向上有一定的錐度,通過(guò)調(diào)整軸向位移補(bǔ)償間隙可實(shí)現(xiàn)精密傳動(dòng);根據(jù)安裝方式不同,可實(shí)現(xiàn)平行軸、交錯(cuò)軸、相交軸傳動(dòng)。漸開線變厚齒輪已廣泛應(yīng)用于高速游艇、精密機(jī)器人和全驅(qū)動(dòng)汽車等領(lǐng)域。

國(guó)內(nèi)外對(duì)漸開線變厚齒輪傳動(dòng)開展了大量研究,取得了許多有價(jià)值的研究成果。Tsai等研究了變厚齒輪傳動(dòng)的幾何設(shè)計(jì)方法,并對(duì)近似線接觸的斜錐形齒輪副進(jìn)行了承載接觸分析[1-2]。李瑰賢等對(duì)平行軸內(nèi)嚙合變厚齒輪副進(jìn)行了幾何設(shè)計(jì),并對(duì)相交軸變厚齒輪的齒形誤差與軸線誤差進(jìn)行了計(jì)算[3-4]。林超等對(duì)標(biāo)準(zhǔn)安裝和考慮安裝誤差情況下的平行軸斜齒變厚齒輪進(jìn)行了輪齒接觸分析,得出了該類傳動(dòng)對(duì)軸線安裝誤差較敏感的結(jié)論[5]。Brecher等對(duì)計(jì)算平行軸變厚齒輪齒根承載能力的2種仿真方法進(jìn)行了描述,并通過(guò)疲勞試驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比研究[6]。朱才朝等基于節(jié)圓錐嚙合理論,考慮近似線接觸條件,建立了相交軸、交錯(cuò)軸變厚齒輪傳動(dòng)嚙合模型,對(duì)其幾何設(shè)計(jì)與嚙合特性等方面進(jìn)行了研究[7-10]。Trong等通過(guò)完全彈性多體方法對(duì)變厚齒輪的接觸特性進(jìn)行了研究[11]。Liu等建立了交錯(cuò)和平行軸變厚齒輪嚙合模型,并對(duì)避免根切的條件進(jìn)行了研究[12-13]。

本文基于節(jié)圓錐嚙合理論,建立了平行軸變厚齒輪節(jié)圓錐模型,研究了節(jié)錐角、載荷以及安裝誤差對(duì)其嚙合特性的影響,以期為平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的工業(yè)化推廣提供理論依據(jù)。

1 基于節(jié)圓錐的漸開線變厚齒輪幾何設(shè)計(jì)

圖1所示為變厚齒輪工作節(jié)圓錐簡(jiǎn)圖[8],其中M為節(jié)圓錐上的點(diǎn),ni為其單位法矢量,γwi為工作節(jié)錐角,θi為其在xi-yi平面內(nèi)的展角。M點(diǎn)的坐標(biāo)Rwi在坐標(biāo)系Si(i=1,2)中可表示為

(1)

M點(diǎn)的單位法矢量ni可表示為

(2)

圖1 工作節(jié)圓錐

圖2 平行軸漸開線變厚齒輪節(jié)圓錐模型

兩節(jié)圓錐在P點(diǎn)的接觸方程為

(3)

可以得到如下方程組

(4)

式中

(5)

通過(guò)式(4)可以得到兩錐角的關(guān)系式

(6)

以及E與d1的表達(dá)式

(7)

(8)

若圖2中兩母線的夾角為φ,則其滿足如下關(guān)系式

(9)

聯(lián)立式(2)、(4)、(8)、(9)可得

(10)

由于兩節(jié)圓錐大端為異側(cè),所以兩節(jié)圓錐的工作螺旋角應(yīng)滿足如下關(guān)系式

(11)

定義變厚齒輪端面齒形角系數(shù)[1]

(12)

式中:cosαtL(R)wi為齒輪左(右)端面工作節(jié)圓壓力角;cosαtL(R)i為齒輪左(右)端面參考節(jié)圓壓力角;mn為變厚齒輪的法向模數(shù);Ni為變厚齒輪的齒數(shù);rPi為齒輪參考節(jié)圓的壓力角,rPi=Nimn/(2cosβi)。從而得到法面齒形角系數(shù)

(13)

根據(jù)漸開線齒輪正確嚙合的條件[12],得到如下公式

(14)

(15)

式中:αnw為公共齒條壓力角;mnw為公共齒條法向模數(shù);βi為齒條刀具齒線傾斜角;γi為齒輪節(jié)錐角。

根據(jù)無(wú)側(cè)隙嚙合方程[15]

(16)

可得到另一齒輪的端面變位系數(shù)。式中:xt1、xt2分別為兩齒輪的端面變位系數(shù)。

根據(jù)上述推導(dǎo),建立平行軸漸開線變厚齒輪的幾何設(shè)計(jì)流程,如圖3所示。其中,中心距E,2個(gè)齒輪的齒數(shù)N1、N2及節(jié)錐角γ1、γ2,法向模數(shù)mn和壓力角αn,齒輪1的齒條刀具齒線傾斜角β1以及節(jié)端面變位系數(shù)xt1為已知參數(shù),法面齒形角系數(shù)ξn和齒輪2的齒條刀具齒線傾斜角β2為待求變量。

圖3 平行軸漸開線變厚齒輪的幾何設(shè)計(jì)流程圖

2 平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的嚙合分析模型

(a)中心距誤差 (b)軸向位置誤差

(c)x方向軸線平行度誤差 (d)y方向軸線平行度誤差圖4 平行軸漸開線齒輪副安裝誤差示意圖

結(jié)合實(shí)際嚙合工況,定義平行軸漸開線變厚齒輪副的安裝誤差,如圖4所示。其中,S1(x1,y1,z1)、S2(x2,y2,z2)分別為標(biāo)準(zhǔn)安裝時(shí)小齒輪與大齒輪所在的坐標(biāo)系,Se(xe,ye,ze)、Sz(xz,yz,zz)、Sx(xx,yx,zx)和Sy(xy,yy,zy)分別為齒輪副產(chǎn)生中心距誤差、軸向位置誤差、x方向軸線平行度誤差和y方向軸線平行度誤差時(shí)大齒輪所在的坐標(biāo)系。

定義實(shí)際中心距與標(biāo)準(zhǔn)安裝中心距的誤差為中心距安裝誤差ΔE,如圖4a所示;定義齒輪沿其軸線移動(dòng)所產(chǎn)生的誤差為軸向位置安裝誤差Δz,如圖4b所示;當(dāng)兩齒輪的軸線不平行時(shí)將產(chǎn)生軸線平行度誤差,若齒輪軸線繞y軸旋轉(zhuǎn),將產(chǎn)生x方向的軸線平行度誤差Δfx,如圖4c所示;若齒輪軸線繞x軸旋轉(zhuǎn),將產(chǎn)生y方向的軸線平行度誤差Δfy,如圖4d所示。圖4中所示的安裝誤差均為正向。

根據(jù)平行軸漸開線變厚齒輪節(jié)圓錐的設(shè)計(jì)方法,得到表1所列的齒輪副幾何設(shè)計(jì)參數(shù)。考慮安裝誤差,基于有限元法建立平行軸漸開線變厚齒輪嚙合模型(使大齒輪大端與小齒輪小端相嚙合),如圖5所示,并在有限元軟件Abaqus中進(jìn)行平行軸漸開線變厚齒輪副接觸特性分析。

表1 平行軸變厚齒輪副幾何設(shè)計(jì)參數(shù)

(a)齒輪副嚙合實(shí)體模型 (b)網(wǎng)格劃分

圖5 平行軸漸開線變厚齒輪副嚙合模型

齒輪嚙合模型選用的材料為17CrNiMo6,其彈性模量為208 GPa,泊松比為0.298。因?yàn)闈u開線變厚斜齒輪左、右齒面的螺旋角和壓力角均不相同,所以當(dāng)主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)方向不同時(shí),分析結(jié)果也會(huì)不一樣。本文選取小齒輪為主動(dòng)輪,其旋轉(zhuǎn)方向從小端看為逆時(shí)針?lè)较颉?duì)主動(dòng)輪施加轉(zhuǎn)角,使其轉(zhuǎn)過(guò)4個(gè)齒的角位移1.256 rad;對(duì)從動(dòng)輪施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩500 N·m。將計(jì)算過(guò)程中相互接觸的5對(duì)齒面定義成接觸對(duì),接觸方式為無(wú)摩擦。劃分網(wǎng)格時(shí),采用全六面體網(wǎng)格類型,將接觸對(duì)所在齒面劃分較密的網(wǎng)格,對(duì)其余部分劃分較粗的網(wǎng)格。選擇的輸出量有2個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)角、接觸應(yīng)力和接觸力矩等。

3 平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的嚙合特性分析

3.1 節(jié)錐角對(duì)嚙合性能的影響

合理選擇節(jié)錐角的大小十分關(guān)鍵:當(dāng)選取的節(jié)錐角過(guò)小時(shí),可能導(dǎo)致變厚特征不明顯,達(dá)不到預(yù)期效果;當(dāng)選取的節(jié)錐角過(guò)大時(shí),設(shè)計(jì)出來(lái)的齒輪大端有可能產(chǎn)生齒頂變尖現(xiàn)象,會(huì)降低齒頂部分的強(qiáng)度與剛度,影響齒輪的正常傳動(dòng),還有可能造成齒面漸開線段的有效區(qū)域減少。為保證齒輪副正常工作,選取節(jié)錐角分別為6°、7°、8°、9°、10°,得到節(jié)錐角對(duì)角度傳遞誤差和嚙合剛度的影響規(guī)律,如圖6、圖7所示。

從圖6中可以看出,隨著節(jié)錐角的增加,角度傳遞誤差的均值逐漸增大,但角度傳遞誤差峰峰值逐漸減小,說(shuō)明節(jié)錐角的增加使齒輪副的傳動(dòng)精度逐漸降低,但工作狀態(tài)變得更加平穩(wěn)。從圖7中可以看出,隨著節(jié)錐角的逐漸增加,嚙合剛度的均值逐漸減小,但在一個(gè)嚙合周期內(nèi)嚙合剛度波動(dòng)更為平緩,這必然會(huì)減小輪齒嚙合過(guò)程中的內(nèi)部時(shí)變激勵(lì),改善齒輪傳動(dòng)的嚙合平穩(wěn)性。

(a)角度傳遞誤差曲線

(b)角度傳遞誤差峰峰值圖6 節(jié)錐角對(duì)角度傳遞誤差的影響

(a)嚙合剛度曲線

(b)嚙合剛度均值圖7 節(jié)錐角對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響

(a)節(jié)錐角為6°

(b)節(jié)錐角為10°圖8 節(jié)錐角對(duì)大齒輪嚙合印痕及接觸壓力的影響

為研究節(jié)錐角的變化對(duì)嚙合印痕的影響規(guī)律,選取節(jié)錐角為6°和10°兩種工況進(jìn)行分析,得到的大齒輪嚙合印痕圖如圖8所示。從圖中可以看出,大齒輪小端的接觸壓力大于大端的,且節(jié)錐角增加使得齒面最大接觸壓力減小,嚙合印痕的形狀更加傾斜。

3.2 載荷對(duì)嚙合性能的影響

載荷是影響漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的因素之一,研究其對(duì)平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)嚙合特性的影響十分必要。本文選取的齒輪材料為17CrNiMo6,其屈服強(qiáng)度σs為835 MPa。在有限元分析中,選取載荷10～500 N·m,研究載荷變化對(duì)齒輪副嚙合特性的影響規(guī)律。圖9為10、500 N·m載荷下同一時(shí)刻齒面的Mises應(yīng)力圖,可以看出接觸狀態(tài)為明顯的線接觸,且載荷為500 N·m時(shí)的最大Mises應(yīng)力為732.1 MPa。

(a)載荷為10 N·m

(b)載荷為500 N·m圖9 不同載荷下齒輪齒面的Mises應(yīng)力

使用相同的嚙合分析模型分別計(jì)算當(dāng)載荷從10 N·m提高至500 N·m時(shí)的角度傳遞誤差和嚙合剛度,結(jié)果如圖10、圖11所示。從圖10中可以看出,隨著載荷的增加,角度傳遞誤差的均值和峰峰值均呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢(shì),從而傳動(dòng)精度逐漸下降。從圖11中可以看出,在輕載(10 N·m)工況下,齒面接觸面積較小,導(dǎo)致嚙合剛度較小;隨著載荷的增加,齒面接觸區(qū)域也逐漸增大,從而嚙合剛度明顯增加,但當(dāng)載荷增加到一定范圍后,接觸區(qū)域的增幅變小,導(dǎo)致嚙合剛度的變化也較小,原因在于平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)的接觸類型為線接觸。

(a)對(duì)角度傳遞誤差的影響

(b)對(duì)角度傳遞誤差峰峰值的影響圖10 載荷對(duì)角度傳遞誤差及其峰峰值的影響

(a)對(duì)嚙合剛度的影響

(b)對(duì)嚙合剛度均值的影響圖11 載荷對(duì)嚙合剛度的影響

為了研究載荷對(duì)齒輪副參與嚙合的區(qū)域的影響,通過(guò)Abaqus的后處理功能對(duì)不同載荷下大齒輪齒面的嚙合印痕進(jìn)行了分析,得到如圖12所示的嚙合印痕圖。從圖中可以看出:當(dāng)載荷為10 N·m時(shí),齒面參與嚙合的區(qū)域較小,齒面上半部分幾乎不參與嚙合;隨著載荷增加到100 N·m,齒面參與嚙合的區(qū)域逐漸增大;當(dāng)載荷增加到一定范圍之后,齒面參與嚙合區(qū)域的變化逐漸減小,同時(shí),載荷增加使齒面間的接觸力增加。

(a)載荷為10 N·m

(b)載荷為100 N·m

(c)載荷為300 N·m

(d)載荷為500 N·m圖12 載荷對(duì)嚙合印痕及接觸壓力的影響

3.3 安裝誤差對(duì)嚙合性能的影響

當(dāng)中心距安裝誤差ΔE分別為-0.1、0和0.1 mm時(shí),其對(duì)嚙合印痕、角度傳遞誤差和嚙合剛度的影響規(guī)律如圖13～圖15所示。從圖中可以看到:當(dāng)存在中心距誤差時(shí),嚙合印痕、角度傳遞誤差均值和嚙合剛度均值的變化都不大;負(fù)向中心距誤差使角度傳遞誤差峰峰值減小,正向中心距誤差使角度傳遞誤差峰峰值增大。

(a)中心距安裝誤差為-0.1 mm

(b)中心距安裝誤差為0.1 mm圖13 中心距安裝誤差對(duì)嚙合印痕及接觸壓力的影響

(a)對(duì)角度傳遞誤差均值的影響

(b)對(duì)角度傳遞誤差峰峰值的影響圖14 中心距安裝誤差對(duì)角度傳遞誤差及其峰峰值的影響

(a)對(duì)嚙合剛度的影響

本文還分析了軸向位置安裝誤差和軸線平行度安裝誤差對(duì)嚙合印痕、角度傳遞誤差及嚙合剛度的影響規(guī)律,結(jié)果表明:中心距誤差和軸向位置誤差對(duì)嚙合印痕、角度傳遞誤差及嚙合剛度的影響較小;軸線平行度安裝誤差將導(dǎo)致齒輪副產(chǎn)生偏載,x方向的軸線平行度誤差均使嚙合剛度降低,x正向的軸線平行度誤差使大齒輪的小端出現(xiàn)邊緣接觸,并使角度傳遞誤差和均值和峰峰值均增大,導(dǎo)致傳動(dòng)精度降低;y方向的軸線平行度誤差均使角度傳遞誤差峰峰值增大,導(dǎo)致傳動(dòng)不平穩(wěn),y負(fù)向的軸線平行度誤差使大齒輪的小端產(chǎn)生邊緣接觸,對(duì)于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差對(duì)平行軸漸開線變厚齒輪副的嚙合印痕影響更大。

(b)對(duì)嚙合剛度均值的影響圖15 中心距安裝誤差對(duì)嚙合剛度的影響

4 結(jié) 論

本文基于節(jié)圓錐共軛嚙合理論,提出了平行軸漸開線變厚齒輪傳動(dòng)節(jié)圓錐模型,對(duì)平行軸漸開線變厚齒輪副進(jìn)行了幾何設(shè)計(jì);研究了節(jié)錐角、載荷以及安裝誤差對(duì)角度傳遞誤差、嚙合剛度和嚙合印痕的影響規(guī)律,得到的主要結(jié)論如下。

(1)節(jié)錐角的增大將導(dǎo)致齒面接觸壓力減小和齒輪副傳動(dòng)精度降低,但可使嚙合剛度波動(dòng)更為平緩,從而減小輪齒嚙合過(guò)程中的內(nèi)部時(shí)變激勵(lì),改善齒輪傳動(dòng)的嚙合平穩(wěn)性。

(2)隨著載荷的增加,角度傳遞誤差均值及峰峰值均增大,從而導(dǎo)致齒輪副傳動(dòng)精度降低,而嚙合剛度變化不大,剛度波動(dòng)趨于平緩。

(3)中心距安裝誤差和軸向位置誤差對(duì)齒輪副的嚙合特性影響不大,但軸線平行度誤差將導(dǎo)致齒輪副產(chǎn)生邊緣接觸;齒輪副對(duì)x正向的軸線平行度誤差和y負(fù)向的軸線平行度誤差更為敏感;對(duì)于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差所產(chǎn)生的邊緣接觸更加嚴(yán)重。

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(編輯 葛趙青)

Geometric Design and Meshing Characteristics Analysis of Beveloid Gear Transmission with Parallel Axes

NI Gaoxiang,ZHU Caichao,SONG Chaosheng,LIU Huaiju

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Based on spatial gearing theory, a pitch cone design model of beveloid gear transmission with parallel axes was developed, and the geometric design method of beveloid gear transmission with parallel axes was proposed. Considering the installation errors and deformation, a meshing model of beveloid gear transmission with parallel axes was developed to investigate the influences of the cone angle and load as well as installation errors on the meshing characteristics. The results show that the increasing of the cone angle can decrease the contact force and reduce the transmission precision of the gear pair, but suppress the fluctuation of meshing stiffness; the increasing of torque load can increase both the mean value and peak to peak value of transmission error, but has only small influence on the mean value of meshing stiffness. However, the installation error in axis parallelism has a strong effect on the meshing characteristics and it will cause edge contact in gear transmission. This edge contact caused by the axis parallelism installation error inydirection is more serious under the same error condition. The research results are expected to provide a theoretical basis for industrial popularization of the beveloid gear transmission with parallel axes.

beveloid gear; parallel axes; pitch cone design; meshing characteristics; installation error

10.7652/xjtuxb201605009

2015-09-22。 作者簡(jiǎn)介:倪高翔(1991—),男,博士生;朱才朝(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405043,51575061,51175523);中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015M582517)。

時(shí)間:2016-03-02

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160302.2014.008.html

TH132.413

A

0253-987X(2016)05-0057-08