變速銑削穩定性預測的整體離散算法

宋春雷，彭志科

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

變速銑削穩定性預測的整體離散算法

宋春雷，彭志科

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

在銑削過程中，顫振的發生通常會導致被加工工件表面粗糙、刀具快速磨損，甚至會損壞主軸系統，嚴重影響機床生產效率和產品精度。其中，再生顫振在實際銑削過程中最為普遍?；谠偕澱裨砗碗x散算法進行顫振預測，針對變速銑削中的周期較長、系數變化明顯等問題，提出一種應用于變速銑削過程的整體逼近的離散化算法，并分析算法收斂性。結果證明，此方法可提高計算效率和精度。

振動與波；再生顫振；Floquet原理；變速銑削；穩定性預測

銑削加工具有生產效率高、機械結構簡單、適用性廣等優點，是應用最為廣泛的機械加工方法。在實際加工過程中，操作人員為防止發生顫振，通常會保守選擇切削參數，從而降低機床的真實加工性能。顫振是指機床加工過程中，機床的刀具主軸系統與工件相互作用而產生的自激振動[1]，會導致工件表面粗糙、刀具磨損，嚴重的情況下甚至能損壞主軸系統[2]。

再生型顫振的發生最為普遍，機床刀具系統與工件系統的運動方程通常被表示為周期時滯微分方程[3]。穩定性預測的離散方法是一種有效解析方法。Insperger首先提出了穩定性預測的半離散算法，有效地解決了徑向切深較低的銑削過程的穩定性預測的問題[4-5]。Ding提出了全離散算法，并大幅度提高了算法的計算效率，使算法擁有更強的實用性[6-9]。

基于再生原理[10]，學者們從主軸參數、刀具結構和變速銑削三個角度來探究避免顫振的方法。Segalman和Butcher通過使主軸-刀具系統剛度周期性變化來抑制車削顫振[11]。Duncan等在主軸上加上一些阻尼器來提高主軸-刀具系統在顫振頻率附近的阻尼[12]。第二類方法主要通過改變刀具結構來避免顫振的發生[13-14]。變螺旋角的銑刀和變螺距的銑刀分別被用于避免顫振的發生，其目的是造成相鄰刀齒間不同的延遲間隔。實驗結果顯示，兩類方法在一定程度上改善了實際的切削性能。第三類方法主要通過周期變化的主軸-刀具系統轉速來避免顫振，使得刀齒與工件的再生效應被擾亂[15-16]。由于轉速的變化不需要對主軸和刀具進行加工，并且適用各種機床，因而具有更高的實用價值。

Takemura等建立了第一個變速銑削的模型[17]。Sexton等通過諧波平衡法預測變速銑削的精度，該方法適用于徑向切深較大的情況[18]。Insperger等將半離散算法應用于變速銑削[19]，對于銑削力系數的快速變化和被積分項的逼近方法限制了該算法精度和效率。文中提出一種基于矩陣重構的離散化算法來預測變速銑削的穩定性。在該算法中，被積分項被作為一個整體來進行逼近，主軸轉速和振動速度等因素被加入模型。通過和1階半離散算法的比較表明，本算法具有更高的精度和效率。

1 變速銑削算法

1.1 變速策略

刀具的轉速由機床主軸控制。變速形式主要采取三角波形、正弦波形和方波形?？紤]到機床主軸-刀具系統的動力學特性，文中采取正弦波形。正弦波形的周期為T0，截距為ΩM，振幅為ΩA。該變速策略為

其中，形函數S(t)可表示為

將幅值和頻率歸一化得到

RVA表示轉速變化的幅值和平均轉速度的比率，RVF表示平均周期和變速周期的比率。變速策略如圖1所示。

圖1 主軸變速策略

對于勻速銑削，延遲時間可表示為

其中z是銑刀的齒數。圖2為四刃銑刀的截面圖。相鄰兩個刀齒以此進入銑削過程，兩個齒切入時間差即為齒通周期。

圖2 四刃銑刀截面圖

對于變速銑削，延遲時間τ(t)和變速策略有如

下關系

由于采取正/余弦函數作為變速策略，其積分也為余/正弦函數。將式（1）代入式（6），延遲時間可近似表示為如下周期變化的波形

將時間離散化，在第i個間隔中，延遲時間可表示為

1.2 預測算法

銑削運動方程可表示為時滯周期方程

其中ξ為阻尼比，ωn為固有角頻率，w為軸向切深，mt是主軸系統的模態質量。延遲時間τi等于刀具的齒通周期，變速策略周期為T，主軸平均轉速為τ0，離散時間間隔為Δt。提取齒通周期τi和變速周期T做公約數，計算得系統的周期TF為

其中q和p是最小公因子。K是人為選擇的離散間隔數，當間隔數較多時，可計算出更為精確的解。

銑削運動方程（9）的狀態空間方程為

其中

依次計算出在各個間隔中刀齒的位置。在第n個間隔中，銑刀第j個齒的角位置為

銑刀的切入切出系數由式（13）給出。其中，φst和φex分別為第j個齒的切入和切出角。對于逆銑過程φst=0，φex=arccos(1-2RA)；對于順銑過程φst=arccos(2RA-1)，φex=π。其中，RA徑向切削深度和刀具直徑的比率。

將離散切削系數及其微分離散化，結果由式（14）和式（15）計算得出。

在離散算法中，方程的解是在一段時間間隔內逼近方程的精確解。式（16）為銑削振動方程式（11）在時間點t0附近的解。

在任一時間間隔[iΔt，iΔt+Δt]中，方程的解可等價表示為式（17）。

計算時滯項所對應的延遲間隔，時滯項的延遲時間由下式給出

在變速時，速度項和銑削系數項變換較為明顯，在本算法中，Hermite多項式被用來近似表示方程解的被積分項

系數矩陣B(t)中第一行均為0。因此，對于精確解的逼近精度決定于下式

由于延遲時間為時變值。通過Hermite多項式，對精確解的時滯部分和當前部分進行分開逼近。式（24）中當前部分積分區域為[iΔt，iΔt+Δt]，由下式計算得出

時滯部分的積分區域為[riΔt-τi，riΔt+Δt-τi]，可用相同計算方法得出。

將式（18）-式（27）代入式（17）得FTi的維數為

其中

Floquet矩陣可表示為

根據Floquet原理，如果矩陣F的所有特征值均位于復平面的單位圓之內，則系統穩定。如果存在任一特征值位于單位圓之外，則系統不穩定。穩定性圖的邊界可根據特征值的分布來判定。

2 收斂性分析及比較

1階半離散算法的局部離散誤差被證明為o(Δt3)[5,20]。本算法用相似的方法來證明局部離散誤差。精確解和近似解的局部離散誤差為

其中K0是常數，可由積分計算得到。

本方法利用兩個離散點，局部離散誤差為ο((Δt)5)。零階半離散算法和1階半離散算法的局部離散誤差分別為為簡化分析，圖3-圖4給出了當銑削參數Ω=5 000 r/min、RAV=0.001、RAV=1時，1階半離散算法和本算法矩陣F特征值的絕對值的收斂率。

圖3 軸向切削深度為0.5 mm時穩定性界限的收斂性結果（參考值由零階半離算法得出，其中離散間隔K取400）

圖4 軸向切削深度為0.1 mm時穩定性界限的收斂性結果（參考值由零階半離算法得出，其中離散間隔K取400）

通過0階半離散算法計算得出參考特征值的絕對值ur，為保證精確度，離散間隔K取400。w為軸向切削深度，n表示離散間隔數。

由圖中顯示，文中提出方法收斂速度比1階半離散算法快，主要有兩方面原因：對于被積分函數的整體逼近可以減小由兩個逼近相乘從而導致的誤差。相較于勻速銑削加工過程，變速銑削所引起的狀態向量的系數變化更為劇烈，1階半離散算法對于逼近項的處理方式使得系數的變化被削弱。通過矩陣重構使得方程的解可導入微分項，并且對被積分項做整體逼近，大幅提高了算法精度。如果切削過程中所采用的變速策略為三角波形或矩形波形，在算系數微分時，導數均采用不可導點的左導數。

3 穩定性分析

將提出的算法應用于單自由度銑削模型，并將結果和1階半離散算法作比較。模態參數取為Kt=6×108N/m2，Kn=2×108N/m2，ωn=922Hz，ξ=0.011，mt=0.039 93 kg，離散間隔數n=40，軸向切削深度變化步長和速度變化步長分別被離散為100和200個間隔。為了使變速策略更符合真實切削過程，RVA取為0.01，RVF取為1。圖5-圖7為順銑過程中所提算法穩定性預測結果。

對算法時間進行比較，本算法計算時間為120 s～160 s，1階半離散算法為460 s～480 s，本算法可減少65%～70%的計算時間。綜合以上兩種因素可知，本算法具有更高的效率和精度。

圖5 RA=1時系統銑削穩定性預測結果

圖6 RA=0.5時系統銑削穩定性預測結果

圖7 RA=0.1時系統銑削穩定性預測結果

4 結語

針對變速銑削中速度項和銑削力系數項變化較快等特點，提出一種變速銑削穩定性的預測算法。通過被積分項的矩陣重構，將微分項引入方程，并且將被積函數進行整體逼近，減少了半離散和全離散算法中對于狀態向量及系數矩陣分開逼近所造成的誤差和削弱效應?；趩巫杂啥茹娤髂Ｐ停容^了本算法和半離散算法局部離散誤差和收斂性。結果顯示，本算法和一階半離散算法的局部收斂誤差分別為并且能夠減少約65%的計算時間，擁有更大的實用價值。

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Stability Prediction of Milling with Periodic Spindle Speed Modulation based on Global DiscreteAlgorithm

SONG Chun-lei,PENG Zhi-ke
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

In the milling process,chatter always results in poor workpiece surface smoothness,tool wear,and other potential damage which reduce the productive efficiency and the accuracy of the workpiece processing.The regenerative chatter is the most common chatter in the actual milling process.An effective method to avoid the chatter is to change the spindle speed periodically.In this paper,a novel discretization method based on the regenerative principle is proposed to predict the stability of the variable speed milling.The differential terms of the solution is used through the matrix reconstruction.The results show that the proposed method can reduce the computation time and improve the accuracy of the solution.

vibration and wave;regenerative chatter;Floquet theory;variable speed milling;stability prediction

TH113

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.002

1006-1355(2016)06-0007-05+31

2016-08-11

國家杰出青年科學基金資助項目（11125209）；上海市科委基金資助項目（14140711100）

宋春雷（1990-），男，鄭州市人，碩士生，主要研究方向為機床動力學分析。E-mail:mit1191@sjtu.edu.cn

彭志科（1974-），男，博士生導師。E-mail:z.peng@sjtu.edu.cn