樓內配變室砼地板結構振動聲輻射分析

徐祿文，梁 林，高芳清，吳 祺

（1.國網重慶市電力公司 電力科學研究院，重慶 401123；2.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

樓內配變室砼地板結構振動聲輻射分析

徐祿文1，梁 林2，高芳清2，吳 祺2

（1.國網重慶市電力公司 電力科學研究院，重慶 401123；2.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

樓內配變設備（例如變壓器）工作時會引起與之相連的混凝土地板振動，并通過傳遞引起其它結構振動，這些振動會產生結構聲輻射現象。對此進行分析為樓內配變室結構傳聲研究的一部分工作，假定砼地板四邊固支并適當考慮地基的彈性作用，采用Hamilton方程和振型疊加法對地板的振動位移方程進行了推導與求解，并據此對地板的結構聲輻射進行研究。其中注意到振動模態對結構聲輻射功率貢獻的非獨立性，計入結構振動模態耦合項的影響，對地板的結構聲輻射效率與聲功率進行分析。

振動與波；變壓器；混凝土地板；振動模態；結構聲輻射；聲功率

辦公或居民樓內設置配變室已很常見，配變設備（變壓器）常安置于砼地板上，設備運轉激起地板振動[1-3]，向外傳遞并產生結構聲輻射[4-6]，該噪聲作為環境污染影響人們的日常生活，為此掌握相關結構的振動性狀以及其對外聲輻射規律具有現實意義。板結構（包括砼板結構）的受迫振動及其傳遞，已有大量前人研究成果，目前常用的研究方法，主要分數值方法和能量法，數值方法主要包括有限元法（FEM）[7-8]、邊界元法(BEM)[9-10]，其中有限元法對于高頻分析存在相對較大的誤差；能量法對于位移函數的準確選取較為困難。考慮上述因素以及文中砼地板安置于彈性地基上且與四面墻體固結，本文基于溫克勒（Winkler）地基模型適當考慮了地基的彈性支持作用，建立了樓內配變室混凝土地板結構動力分析模型，結合Hamilton原理和振型疊加法對混凝土板的位移方程進行詳細的推導，據此在板的位移方程求解的基礎上，對板的結構聲輻射進行研究。結構聲輻射效率和聲功率是評價結構振動聲輻射能力的重要指標，Wallace在70年代就提出關于簡支板的模態輻射效率[11-12]的計算方法，后續眾多學者對不同邊界條件板結構的聲輻射效率和聲功率也進行了研究，特別是考慮到各階結構模態對聲功率的貢獻互相不獨立[13-15]，總的聲功率并不是等于各個單獨結構模態組成的聲功率之和，而是等于各個獨立模態聲功率加上各階模態之間的耦合聲功率。因此本文在考慮結構模態之間的耦合項的前提下，對室內配電房變壓器振動所致彈性地基上地板的聲輻射進行研究。

1 地板在彈性地基上的理論模型

如圖1所示，將變壓器在地板上激振情況簡化為如下板結構分析模型，變壓器激勵簡化為集中簡諧激振力配電房地板與四面墻體固結，因此考慮地板的邊界條件為四邊固支情況。又考慮到板置于彈性地基上，將地基簡化為剛度為K0的彈簧，不考慮彈性地基阻尼，K0為地基豎向剛度系數動力解，與地基土的力學參數有關，其計算式如下

圖1 混凝土板簡化結構示意圖

混凝土板在變壓器激振下振動，設板振動的總勢能為V，地基的彈性勢能為V0，T表示混凝土板振動時的總動能，W表示外力做功，其與位移的關系表達式如下

式中w表示撓度，ρ為混凝土板密度，μ為其泊松比，h為其厚度，K0為地基彈性剛度。表示彎曲剛度，f(x,y,t)表示施加在混凝土板上的荷載分布函數，變壓器的激振按照點激勵來計算。

2 地板的Hamilton方程及位移函數

2.1 混凝土板的Hamilton方程

通過彈性力學可知，混凝土板的Hamilton方程為

代入哈密頓方程可得

從而得到微分方程為

2.2 混凝土板位移函數的求解

在微分方程式（12）的基礎上，利用振型疊加法求板的位移方程，將混凝土板的位移方程按正則振型Wi,j展開成如下的級數

其中ηi,j(t)為主坐標，將上式代入式（12）求出的振動微分方程中可得

由主振型之間的正交性條件，上式可化簡為

對于Wi,j(x,y)可通過有限積分變換，得

通過上述計算便可得到混凝土板在彈性地基上的位移方程以及混凝土板的固有頻率。

3 變壓器振動所致地板的聲輻射分析

3.1 地板輻射聲功率

設地板表面振動法向速度為V(x，y)，上面已對地板受迫振動的位移方程進行了詳細推導和求解，要得到V(x，y)只需要將位移方程對t求一次偏導便可，現將V(x，y)通過結構模態進行展開，并以矩陣形式表示如下

聲功率的表達式如下

式中C為聲功率傳遞矩陣，是實對稱正定矩陣，矩陣的第(mn，m′n′)階元素為

式中ω為激振頻率，ρ0為空氣密度，a和b分別表示地板的長和寬，k為波數，為聲音速度，傳遞矩陣C中的Cmn，mn為矩陣中的對角元素，表示第階模態對聲功率的貢獻。非對稱元素Cmn，m′n′表示的是第階和階模態之間耦合對聲功率的貢獻。由于傳遞矩陣的對稱性，所以有Cmn，m′n′=Cm′n′，mn。

3.2 地板聲輻射效率A

矩形地板聲輻射效率的定義式如下

式中S表示矩形地板的面積表示矩形地板的表面法向速度的空間均方，其中右上角的“H”表示共軛轉置。

通過式(22)和式(25)可知，想要知道變壓器致地板振動的聲功率和聲輻射效率，最主要的是要求得其聲功率傳遞矩陣，而式(23)關于傳遞矩陣的計算是一個四重積分，計算相當麻煩，下面給出了在考慮振動模態間耦合項的前提下，地板振動聲功率傳遞矩陣更為簡單的解，式(26)-式(29)為傳遞矩陣中各元素的解析解

上式看上去比較復雜，但通過計算機計算該傳遞矩陣是非常方便的，并且只有當(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)中的一組時，傳遞矩陣元素才非零。

4 數值計算

變壓器置于室內配電房地板上，地板長a=5 m ，寬b=5 m ，厚度h=0.1 m ，板密度ρ=3 000 kg/m3，E=300 GPa，μ=0.2，地基的剛度系數K0=5 MPa/mm，聲速c=340 m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3。

為了更精確地得到變壓器激起板振動而產生的聲輻射數值計算結果，考慮模態耦合項的影響因素，對聲功率和聲輻射效率進行計算。而在對此進行分析前先對模態耦合項對計算分析的影響大小做分析，圖2(a)-圖2(d)分別描述了(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)時耦合項的影響因子ζ隨無量綱頻率ka的變化曲線圖，圖中縱坐標影響因子

從圖2可以看出，在低頻時，模態耦合項的影響因子較大，不能被忽略，隨著頻率的升高，耦合項的影響相對趨于零，且當(m，n)和(m′，n′)都同為(奇，偶)或(偶，奇)時，耦合項的影響就更為顯著，另外，圖2(a)-圖2(d)中均存在影響因子為負數的情況，造成此類情況的原因不僅跟模態之間耦合項的正負有關，同時與變壓器的置放位置即激振力的激振位置和相位都是相關的。總的來說，如果分析無量綱頻率達到了較大的值如ka≥35，是可以忽略耦合項的影響，本文主要對變壓器激振引起地板的聲輻射進行分析，圖3為對配電房地板的信號檢測而得到配電房地板的加速度時程曲線及頻譜圖，從圖中可以看出變壓器典型激勵頻率有100 Hz、200 Hz、300 Hz、400 Hz。而代入計算得到的無量綱頻率分別為1.47、2.94、4.41、5.88，因此對典型的變壓器激振環境而言，對地板的聲輻射進行分析研究應該考慮模態之間耦合項的影響。

為了說明模態耦合項對砼地板聲功率的影響，考慮典型變壓器振動環境，在砼地板中心即（2.5 m，2.5 m）處進行激勵，得到的聲功率曲線如圖4所示，其中紅色實線為忽略耦合項的計算結果，藍色實線為考慮耦合項的計算結果。

通過圖4可以看出模態耦合項對聲功率有著一定的影響，且在低頻段表現較為明顯。因此，為了得到聲功率更為精確的解，有必要考慮模態耦合項對砼地板輻射聲功率的影響。

變壓器不同放置位置對砼地板輻射聲功率顯然是有影響的，在考慮模態耦合項對輻射聲功率影響的前提下分別對變壓器置于地板對角線上的A、B、C三點進行分析，其座標分別為A(1 m，1 m)、B(2 m，2 m)、C（2.5 m，2.5 m），通過分析，得到變壓器在以上三點激勵時砼地板輻射聲功率曲線的對比圖，如圖5所示。

由圖5可以看出在不同點激勵時砼地板聲功率是有所差別的，離地板中心越近，輻射聲功率越大，遠離中心越小，雖然三者有所差別，但是在變化趨勢上還是有著相似的規律性。因此在變壓器布置時應盡量遠離地板中心。

圖2 影響因子隨無量綱頻率的變化曲線圖

圖3 配電房地板加速度時程曲線及頻譜圖

圖4 中心點激勵砼地板聲功率曲線

圖5 不同激勵點的聲功率曲線

5 結語

變壓器在配電房中振動，使地板隨之發生受迫振動，通過建立分析模型結合Hamilton原理和振型疊加法對板的受迫振動進行詳細的計算分析，得到其振動位移方程。在位移方程的基礎上，對砼地板的輻射聲功率進行分析，不僅給出了聲功率傳遞矩陣各個元素較為簡單的計算方法，同時也考慮了模態之間耦合項對聲功率的影響因素，在此基礎上得到了模態耦合項影響因子的變化曲線，揭示了模態耦合項在不同頻率下對聲功率的影響大小。在考慮模態耦合項的情況下得到變壓器在不同點激振時的聲功率曲線，發現距離地板中心越近，相應的輻射聲功率會越大，因此在變壓器布放時應盡量避開中心位置。

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Structural Vibration and Sound RadiationAnalysis of the Concrete Floor of Indoor Substations

XU Lu-wen1,LIANG Lin2,GAO Fang-qing2,WU Qi2
（1.Electric Power Science Research Institute,State Grid Chongqing Electric Power Company, Chongqing 401123,China; 2.School of Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China）

Operation of indoor substations(e.g.transformers)in buildings can induce adjacent concrete floor vibration, which can be transferred to the other portions of the building structure and cause the structure-borne sound radiation.In this paper,the structure-borne sound radiation induced by the indoor substations is studied.The concrete floor is simplified to an elastic plate with the four sides simply supported laid on the elastic foundation.The vibration displacement equations of the floor are derived and solved using the Hamilton equation and the modal superposition method.Accordingly,the structureborne sound radiation is studied.It is noticed that the contribution of the vibration modes to the structure-borne sound radiation is not individual.Thus,the influence of the coupling terms of the structural vibration modes is considered for analyzing the radiation efficiency of the structure-borne sound and the sound power of the concrete floor.

vibration and wave;transformer;concrete floor;vibration mode;structure-borne sound radiation;sound power

O422.6

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.024

1006-1355(2016)06-0121-05+191

2016-06-08

國網重慶電力公司科學技術研究項目(2014H01580)

徐祿文（1968-），男，四川省廣安市人，高級工程師，主要從事電網電磁環境與噪聲振動控制研究。E-mail:xuluwen023@qq.com