乘性噪聲誘導復雜系統陣列信噪比增益

馮天荃,易 鳴

（1.南京師范大學教師教育學院，江蘇 南京210023；2.華中農業大學理學院，湖北 武漢430070）

乘性噪聲誘導復雜系統陣列信噪比增益

馮天荃1,易 鳴2

（1.南京師范大學教師教育學院，江蘇 南京210023；2.華中農業大學理學院，湖北 武漢430070）

研究一類并聯非耦合雙穩振子陣列信號處理中輸入的加性噪聲及彼此獨立的陣列各子系統內部乘性噪聲驅動下的隨機共振現象。通過數值模擬，證明了當陣列數目增加到一定數目時，系統的乘性陣列噪聲將使得信噪比增益大于1，而且陣列數目越大，信噪比增益區間越大。通過對該系統的極限均值函數和穩態相關函數的數值模擬，證明了陣列乘性噪聲誘導的任意兩個獨立的雙穩振子的統計行為能直接反映該系統中信噪比增益特性。研究結果不僅將拓展非線性動力學系統陣列信號處理理論，也將為噪聲誘導復雜系統及復雜網絡中隨機動力學行為研究提供一種新的思路。

陣列隨機共振；信噪比；雙穩系統；乘性陣列噪聲

隨機共振(stochastic resonance，SR)的概念最初于關于地球冰期回歸的研究中提出[1-2]。幾十年來，隨機共振現象引起了包括物理學、生物學、神經科學和信號處理等學科領域研究者的廣泛關注。人們一般采用信噪比來分析隨機共振現象。信噪比增益大于1的區域是當前復雜系統隨機動力學研究及相關應用方面的熱點研究課題[3-7]。對于線性系統，一般信噪比的增益為1。在不適用線性響應理論的體系，已有的研究表明信噪比增益大于1的情況是存在的，比如，閾值比較器或傳感器組成的并聯陣列以及一些非線性動力學系統已觀察到陣列隨機共振現象。

大多數之前的陣列隨機共振研究包含特定的非線性，通過將非線性系統組合成陣列，調整噪聲和信號幅值，已觀察到陣列隨機共振效應。比如，考慮任意可調節靜態非線性時，對于添加白噪聲的弱周期信號通過局部最優非線性能夠達到最大的信噪比增益，而且此時的信噪比增益超過1。文獻[8]在雙穩振子的并聯耦合陣列系統中考慮亞閾值正弦信號驅動包含噪聲的雙穩子系統發現了信噪比增益大于1的現象。然而，該研究假設每個雙穩子系統僅受一個凈正弦信號驅動，僅僅考慮了輸入信號的噪聲效應。而在實際情況下，輸入信號在到達雙穩并聯陣列的傳播路徑中也應該考慮噪聲效應。

基于一類包含輸入噪聲的周期信號驅動的雙穩振子的并聯非耦合動態陣列，本文研究了輸出信噪比增益及優化問題。與前述研究不同的是，本文考慮每個雙穩子系統都同時受到內部乘性噪聲。本文證明了輸出信噪比隨雙穩子系統內部乘性噪聲強度的增加呈現先單調增加的現象，而在內部乘性噪聲強度達到某一特定值時，輸出信噪比達到最大，然后隨著噪聲強度繼續增加，信噪比的輸出呈現緩慢下降。更重要的是，當雙穩并聯非耦合陣列數目增大到一定值時，系統的乘性陣列噪聲將使得信噪比增益大于1，而且陣列數目越大，信噪比增益區間越大，無限并聯陣列的最大信噪比增益可達到全局最優值。

1 模型與方程

考慮并聯非耦合雙穩態振子陣列模型，該陣列模型由N個并聯非耦合雙穩振子組成，每個雙穩振子的輸入都是受相同的正弦信號加噪聲的混合信號s（t）+η（t）。其中，s（t）=Asin（2πt/Ts）是一個周期為Ts、幅值為A的確定性的正弦信號，η（t）是零均值高斯白噪聲，不受s（t）的約束，并且自關聯函數為（[η（t）η（0）]＝Dηδ（t）（Dη表示噪聲強度）。同時，每個雙穩振子的內部乘性噪聲ξi（t）（i=1，2，…，N）與輸入的混合信號s（t）+η（t）無關聯。N個雙穩振子陣列內部乘性噪聲項ξi（t）是相互獨立的，其自關聯函數為[ξ（t）ξ（0）]=Dξδ（t）（Dξ為噪聲強度）[9-14]。陣列中雙穩振子的內部狀態xi（t）可以通過郎之萬方程來描述：

其中：i=1，2，…，N；τa和xb為雙穩子系統的實參數。陣列的輸出設為這些雙穩子系統的輸出xi（t）的算術平均值，即

由于參數τa和xb分別具有時間和幅值的量綱，需要將方程（1）進行無量綱化。假設xi（t）＝xi（t）／xb，A=A／xb，t=t／τa，Ts＝Ts／τa，Dη＝Dη／（τax2b）和Dξ＝Dξ／（τax2b），方程（1）可以被改寫為下面的無量綱化形式，即

需要注意的是，如果輸入信號s（t）的無量綱幅值滿足，則輸入信號s（t）是亞閾值信號，否則，s（t）是超閾值信號。通常情況下，陣列的求和輸出響應是一個隨機信號。但是，如果s（t）是周期為Ts的周期性輸入信號，那么，輸出y（t）一般是一個具有相同的周期Ts的穩態隨機信號。為了研究并聯非耦合雙穩態振子陣列系統的輸入－輸出反應，本文將利用Euler-Maruyama離散數值方法求解方程（3），且數值求解過程中的采樣時間步長δt遠小于周期Ts。根據廣義的輸入－輸出理論[9]，在任意時間t，陣列的求和響應y（t）可以表示為它的非穩態平均值E［y（t）］加上統計擾動之和，即。這里的非穩態平均值具有n階傅里葉系數

根據方程（5），可以得到穩態自關聯函數Ryy（τ）

其中，Cyy（τ）為穩態自協方差函數。功率譜密度Ryy（v）是自關聯函數Ryy（τ）的傅里葉變換

從方程（7）可以看出功率譜密度Pyy（v）由相干頻率為n＝Ts幅值為的頻譜構成，疊加到Cyy（τ）的傅立葉變換表示的寬帶背景噪聲中。需要指出的是，表示［y（t）］的非穩態方差，Cyy（0）＝（var［y（t）］）為陣列輸出y（t）的穩態方差。穩態自協方差函數Cyy（τ）可以表示為

其中，h（τ）為互關聯系數，且其傅里葉變換為F［h（τ）］＝H（v）。這樣，方程（7）的功率譜密度可以改寫為

陣列輸出信噪比被定義為譜線1/Ts上的功率與以頻率1/Ts為中心的附近頻帶ΔB內的噪聲功率之比，即

以同樣的方法，可以得到周期性信號加噪聲的混合信號s（t）+η（t）的輸入信噪比

其中，ση為高斯噪聲η（t）的均方根。根據方程（10）和（11），可以得到并聯非耦合雙穩陣列的信噪比增益，即

基于方程（10）－（12），本文將通過雙穩陣列各子系統及陣列噪聲的調控，詳盡分析并聯非耦合雙穩陣列的信噪比及信噪比增益性質。如果該陣列的信噪比增益G（1/Ts）大于1，則說明雙穩子系統陣列和陣列噪聲的相互作用是一種潛在可靠的控制陣列信號的方法。

2 陣列隨機共振和信噪比增益的計算結果

本文已經推導得到了系統的輸入、輸出信噪比Rin（1/Ts），Rout（1/Ts）及信噪比增益G（1/Ts）的精確表達式。值得指出的是，本文考慮了該陣列系統同時受到兩種不同的噪聲的作用，即輸入的外部加性噪聲η（t）以及每個子系統彼此獨立的內部乘性噪聲ξi（t）。這一點不同于前人的研究[8]。在本文中，信噪比及信噪比增益會受到輸入的外部加性噪聲及子系統內部乘性噪聲的共同影響。

首先，考慮單個雙穩振子的情況，即選取并聯非耦合雙穩振子陣列大小為N=1，則對應的輸出?？紤]輸入信號是一個振幅為A＝0.5，頻率1/Ts的正弦信號并包含輸入噪聲η（t），圖1（a）和1（b）分別繪出了輸出均值E［y（t）］和穩態自協方差函數Cyy（τ）的時間演化曲線。圖1（a）和1（b）均選取了不同的輸入噪聲強度值，即，ση＝0.5（實線），ση＝1.2（虛線），ση＝2（點線）和ση＝3（點-虛線）。從圖1（a）可以看出：隨著噪聲強度ση的增加，周期性輸出均值E［y（t）］有一個相同的頻率1/Ts＝0.01，輸出均值E［y（t）］的最大振幅出現在輸入外部噪聲強度為ση＝1.2的位置。此外，從圖1（b）的穩態自協方差函數Cyy（τ）可以看出：隨著輸入噪聲強度ση從0.5增加到3，關聯時間τ從72逐步減小到18。但是，穩態方差Cyy（0）=（var［y（t）］）表現出非單調特性，即隨著輸入外部噪聲強度ση從0.5，1.2，2增加到3，穩態方差Cyy（0）分別對應為0.394，0.323，0.405和0.781。根據圖1的結果，結合輸入、輸出信噪比Rin（1/Ts）的精確表達式，通過簡單的計算就能得到系統存在典型的陣列隨機共振現象，這一結果與已有的研究結果是一致的[8]。此外，從信噪比增益G（1/Ts）的表達式也能看出，信噪比增益G（1/Ts）是小于1的。實際上，只要輸入的正弦信號的振幅A是亞閾值或稍微超閾值[3]，都不會出現信噪比增益，即G（1/Ts）＜1。但是，當輸入的正弦信號的振幅A增加到一個更大的值時，在一定的噪聲水平下，才可能實現信噪比增益[3]。

圖1 陣列系統輸出特性Fig.1 The output properties of the array

接下來，研究并聯非耦合雙穩振子陣列大小滿足N≥2時的信噪比及信噪比增益性質?？紤]輸入的加性噪聲強度值為ση＝1.9，對輸入亞閾值信號（A=0.34）及超閾值信號（A=1）兩種不同的條件，圖2繪出了并聯非耦合雙穩動態陣列的信噪比增益G（1/Ts）隨陣列內部乘性噪聲ξi（t）強度σξ的變化曲線。圖2（a）-（b）分別選取了不同的輸入信號幅值和輸入信噪比，即圖2（a）A=0.34，Rin=8.89；圖2（b）A=1，Rin=76.2。從圖2可以看出，當陣列數目N達到一定值時，陣列的信噪比增益G（1/Ts）隨陣列內部乘性噪聲強度σξ的變化展示為非單調曲線，該類現象是典型的“陣列隨機共振”現象[9]。而且，圖3的結果也表明，信噪比增益大于1的結果（即G（1/Ts）＞1）不僅在超閾值信號輸入時（即A=1）出現，而且在亞閾值信號情況（即A=0.34）時也能有效觀察到G（1/Ts）＞1的現象。更重要的是，圖2也證明了信噪比增益大于1的參數區間隨著陣列數目的增加而擴展，而且，隨著輸入信號幅值A的增大，對于同等大小的陣列數目N，信噪比增益G（1/Ts）能達到一個更大的局域最大值。例如，從圖2（a）和圖2（b）的比較，可以看出在陣列大小同為N＝100的情況，信號幅值為A= 0.34時的信噪比增益G（1/Ts）要比信號幅值為A=1時的要小。研究結果表明了陣列隨機共振與前面所介紹的隨機共振理論[8]不同之處。前人的研究[8]假設了每個雙穩子系統僅受一個凈正弦信號驅動，僅僅考慮了輸入信號的噪聲效應，其隨機共振的機制歸因于輸入信號中的加性噪聲。而本文中的隨機共振是由每個雙穩子系統中的乘性噪聲誘導的雙穩陣列的集振非線性反應。同時，在某些情況下，可以通過調諧內部乘性噪聲ξi（t）的強度，使得陣列輸出處于最佳工作區域，即G（1/Ts）＞1的區域，這是陣列信號處理中一個很有意義的結果。圖2已經證明了陣列信噪比增益G（1/Ts）隨陣列數目的增加局部最大值會相應增加，且對應的最優化的內部乘性噪聲強度σξ向右偏移；因此，研究陣列數目N→∞時的陣列信噪比增益G（1/Ts）的全局最大值是極有意義的。

圖2 陣列信噪比增益隨陣列內部乘性噪聲強度的變化曲線Fig.2 The array SNR gain as a function of the amplitude of array noise

在t時刻如果陣列數目N→∞，可以通過穩態自關聯函數和穩態自協方差函數極限來進一步分析陣列的信噪比增益性質。在任意時刻t，穩態自關聯函數和穩態自協方差函數極限表示為

圖3 陣列系統輸出特性Fig.3 The output properties of the array

其中，方程（13）和（14）中的下標滿足i≠j，i，j＝1，2，…，N；因此，可以利用任意兩個相互獨立內部乘性噪聲ξi（t）和ξj（t）中的雙穩態振子來代替陣列數目趨于無窮大（N→∞）的情況來計算陣列的信噪比增益G（1/Ts）。圖3（a）繪出了陣列數目N→∞時內部乘性噪聲強度σξ取不同值時輸出y（t）的非穩態均值E［y（t）］的演化曲線。圖3（b）繪出了對應于圖3(a)的輸出y（t）對應的穩態自協方差函數Cyy（τ）的演化曲線。圖3（a）和圖3（b）中不同的內部乘性噪聲強度σξ＝0，1.4，3分別用實線，虛線和點線來表示。本文采用了文獻[9]中的數值方法，選取頻帶ΔB＝1/Ts，采樣時間Δt=0.001／ΔB。這樣，可以依據非穩態均值E［y（t）］和穩態自協方差函數Cyy（τ）分析陣列輸出的信噪比Rout（1/Ts）及信噪比增益G（1/Ts）。

圖4 陣列信噪比增益隨陣列內部乘性噪聲強度的變化曲線Fig.4 Changing curve of array SNR gain with the function of the amplitude of array noise

圖4（a）和圖4（b）分別繪出了信號幅值為A=0.34和A=0.5所對應的信噪比增益G（1/Ts）隨內部乘性噪聲強度σξ的變化曲線。為了對比陣列數目不同情況下的信噪比增益，圖4給出了不同陣列數目的信噪比演化曲線。從圖4可以看出當陣列數目N≥5時，信噪比增益G（1/Ts）開始表現為隨內部乘性噪聲強度σξ增加而單調增加達到一個峰值，而隨著σξ強度的繼續增加，信噪比增益呈現單調減小，這是一類典型的陣列隨機共振現象。當陣列數目N→∞時，信噪比增益G（1/Ts）的局部最大值也隨之增大，且對應于G（1/Ts）的最大值的內部乘性噪聲區間向右偏移。此時，信噪比增益的最大值位置對應于乘性噪聲強度σξ=1.4，這與圖3中輸出均值曲線一致。也就是說，噪聲強度取σξ=1.4時的輸出均值曲線振幅最大，信噪比增益也最大。當陣列數目N=∞，信噪比增益G（1/Ts）能達到全局最大值。值得指出的是，這里對應于陣列數目N=∞的信噪比增益G（1/Ts）數據是由任意兩個處于獨立的內部乘性噪聲中的雙穩態振子性能分析得到的。

圖2、圖3和圖4曲線中表現的陣列隨機共振及陣列信噪比增益大于1的物理機制，可以通過相互獨立的陣列各子系統的內部乘性噪聲ξ（t）來解釋。一方面，陣列各子系統的內部乘性噪聲誘導了陣列集體響應以達到其輸出均值E［y（t）］，另一方面，陣列各子系統的內部乘性噪聲也能對輸入的加性噪聲η（t）產生部分抑制作用從而減小輸出的統計擾動。正如圖3所描繪的結果一樣，陣列各子系統的內部乘性噪聲能減小穩態方差Cyy（0）和關聯時間τ。

3 結論

本文研究了一類并聯雙穩振子組成的陣列信號處理中的隨機共振現象及信噪比增益問題。陣列信號輸入為包含加性噪聲的正弦信號，當該輸入信號通過并聯雙穩態振子組成的陣列時，受到相互獨立的陣列各子系統內部乘性噪聲的積極影響，使得該陣列系統中輸出信噪比增益出現了典型的隨機共振現象。有趣的是，這種由陣列各子系統內部乘性噪聲誘導的非線性現象不僅適用于超閾值輸入信號，也適用于亞閾值輸入信號；因此這是一種新的隨機共振現象，即陣列隨機共振。

雖然，文獻[8]在類似系統中也發現了信噪比增益大于1的現象。但是，該研究僅僅考慮了輸入信號的噪聲效應，其獲得的信噪比增益大于1的結果是由外部輸入的加性噪聲所誘導的。而在實際情況下，輸入信號在到達雙穩并聯陣列的傳播路徑中也應該考慮內部噪聲效應。對于固定的加性噪聲強度，本文證明了并聯雙穩態振子組成的陣列系統的輸出信噪比增益是關于陣列大小的遞增函數。當陣列數目增加到一定數目時，陣列的信噪比增益存在大于1的區域，且這一區域隨著陣列數目的增加而擴展。本文的研究結果表明了陣列隨機共振與文獻[8]結果的不同之處。本文中的隨機共振及信噪比增益是由每個雙穩子系統中的乘性噪聲誘導的雙穩陣列的集振非線性反應。

此外，通過對并聯雙穩態振子組成的陣列非穩態輸出均值和穩態自協方差函數的極限性質的研究，證明了無限并聯雙穩態振子組成的陣列信噪比增益問題可以簡化為由任意兩個相互獨立處于不同內部乘性噪聲驅動的雙穩態振子的統計性能分析。這些研究結果不僅豐富了非線性陣列信號處理理論，也為復雜隨機系統理論中噪聲作用分析提供了一種新的思路[9-15]。

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Signal-Noise-Ratio Gain from Array of Complex System Induced by Multiplicative Array Noise

Feng Tianquan1，Yi Ming2
（1 School of Teacher Education，Nanjing Normal University，Nanjing 210023，China；2 College of Sciences，Huazhong Agricultural University，Wuhan 430070，China）

We investigated the array stochastic resonance induced by the multiplicative array noise in a parallel uncoupled array of identical bistable systems driven by the mixing signal of sinusoids and additive Gaussian white input noise.Our numerical simulating results showed that the signal-to-noise ratio gain could exceed unity for both subthreshold and suprathreshold sinusoids input when the array size reached a number.Interestingly，the region of SNR gain exceeding unity corresponding multiplicative noises could be extended as the array size arises.By simulating numerically the function limits of non-stationary array mean and stationary auto-convariance，we found that the performance of an infinite array can be approached by an array of two bistable oscillators operating in different noisy conditions.The present nonlinear phenomenon of SNR gain exceeding unity in parallel uncoupled arrays not only represent a promising application in array signal processing of complex random systems but also proved a new scheme for stochastic dynamics induced by the array noises.

array stochastic resonance；signal-noise-ratio（SNR）；bistable dynamic system；multiplicative array noise

O59；N93

A

1005-0523（2016）06-0103-07

（責任編輯 劉棉玲）

2016－09－26

國家自然科學基金項目（31100752，11275259，91330113）

馮天荃(1981—)，女，講師，博士，研究方向為統計物理和生物物理。