帶非線性阻尼的歐拉方程組正規解的爆破

朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學理學院,江西 南昌330013）

帶非線性阻尼的歐拉方程組正規解的爆破

朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學理學院,江西 南昌330013）

研究了n（n≥1）維空間理想可壓縮流中帶有非線性阻尼項的等熵歐拉方程組的初值問題。當初始密度有緊支集時，利用泛函結合特征線的方法，證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項的可壓縮等熵歐拉方程組，其阻尼系數α為正常數時的正規解在初始數據一定大時必定爆破,其中0＜θ＜1。

等熵歐拉方程組；泛函方法；爆破

考慮下列n（n≥1）維空間中帶阻尼項的等熵歐拉方程組：

的Cauchy問題.其初始條件為

其中：ρ，u，p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態方程為p=Aργ（A＞0）；γ為絕熱指數（γ＞1）；其中常數α＞0；0＜θ＜1。

對帶阻尼項的歐拉方程組的研究有很多成果，大多是研究ρ＞0的情形，當初值是在一個擴散波或者常狀態的平衡解附近的小擾動，經典解整體存在詳情參見[1-3]；但關于歐拉方程組的爆破也有大量的研究，例如[4-11]。文獻[4-6]研究了初值具有緊支集的情形，證明了某些情況下正規解會在有限時間內爆破；文獻[7]研究三維空間的可壓縮流的非等熵歐拉方程組的奇性的形成；文獻[8-9]研究等熵歐拉方程組初邊值問題的軸對稱解的爆破；文獻[10]考察運用泛函方法證明一維空間中帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組在初始密度有緊支集時正規解的爆破；文獻[11]研究了阻尼系數為常數的歐拉方程組和帶退化阻尼的等熵歐拉方程組，得到了在初始密度有緊支集時，正規解都將在有限時間內爆破。本文在文獻[4，8，10，11]的基礎上運用泛函結合特征線的方法考察了帶有如阻尼的歐拉方程組的情形,其中0＜θ＜1。而當θ＝1時的情形在文獻[10]已有詳細證明。

1 主要定理及其證明

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[10]熊顯萍，朱旭生.帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組正規解的爆破[J].西南大學學報：自然科學版，2014，36（3）：71-76.

[11]ZHU XUSHENG，WANG WEIKE.The regular solutions of the isentropic Euler equations with degenerate linear damping[J]. Chinese Annals of Mathematics，2005，26（4）：583-598.

Blowup of the Regular Solutions of the Euler Equations with Nonlinear Damping

Zhu Xusheng，Fu Chunyan，Zhao Kangxin
（School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The regular solutions of then-dimensional isentropic Euler equations with the nonlinear damping for a perfect gas are investigated in this paper.Utilizing the methods of the functional in combination with characteristics,we prove the compressible isentropic Euler equations in vacuum case with the damp like-αρ|u|θu.If its damping coefficientαis positive constant when the initial data are large enough the regular solutions would blow up in finite time.

isentropic Euler equation；functional methods；blowup

O175.4

A

1005-0523（2016）06-0137-06

（責任編輯 劉棉玲）

2016－02－28

國家自然科學基金項目（11161021，11561024）；江西省自然科學基金項目（20151BAB201017）

朱旭生（1968—），男，副教授，博士，研究方向為偏微分方程。