余能原理基面力元法在桁架大變形分析中的應用

任 聰，李瑞雪，單巖巖，彭一江

(北京工業大學建筑工程學院，北京 100124)

?

余能原理基面力元法在桁架大變形分析中的應用

任 聰，李瑞雪，單巖巖，彭一江

(北京工業大學建筑工程學院，北京 100124)

為了對桁架彈性大變形問題進行針對性研究，對平面二維問題的基面力單元模型進行了改進，把平面四邊形四邊中節點基面力單元退化為平面二節點桁架基面力單元，推導了桁架大變形余能原理控制方程和單元軸力、節點位移表達式，根據由控制方程得出的桁架大變形問題的非線性方程組，利用Matlab語言編制了基面力元程序，計算了桁架結構幾何非線性算例。與大型通用有限元軟件ANSYS的計算結果進行了對比分析，所用方法的結果與理論解一致，與ANSYS的計算結果相差較小。因此可得結論：所介紹的基面力元模型是可靠的，可以應用于對桁架結構的幾何非線性問題分析，具有較廣闊的前景。

彈性力學；基面力元法；余能原理；桁架；彈性大變形

隨著高強、輕質、彈性好的合成材料相關研究的不斷發展進步，柔性桿件已經在很多工程結構中被廣泛應用。經典的小變形理論已不能滿足建筑結構的需求，人們越來越多的將研究工作重點放在了桿件彈性大變形的研究工作中。有限元法作為研究工程結構力學的重要數值方法之一，近些年來隨著計算機技術水平的提高，取得了顯著的進步。但是傳統的有限元法均是以二階應力張量作為描述體系，在這種理論框架下，建立和表述彈性大變形問題的數學模型較為復雜繁瑣，高度非線性，適用性較差。

GAO[1-2]提出了“基面力”的概念，給出了彈性大變形問題新的描述方法，利用基面力可以較簡潔地完全描述一點的應力狀態，為研究彈性大變形問題提供了一個良好的分析工具。在高玉臣[3]提出的基面力理論體系基礎上，彭一江等[4-9]進行了基于基面力概念的新型有限元方法“基面力元法”的研究工作，推導了適用于彈性大變形余能原理大位移、大轉動問題基面力元法模型，把基面力元法應用到了彈性大變形有限元問題的分析中。經過近幾年的研究，余能原理基面力元法在彈性大變形問題的研究取得了一些成果[10-13]。

本文以余能原理基面力元法理論為基礎，針對桁架結構彈性大變形問題，推導了對應的余能原理基面力桁架單元模型，并利用Matlab語言編制了有限元程序，驗證了該模型的適用性。

1 彈性大變形問題的余能原理基面力元法

1.1 基面力的二維表示

對于二維平面問題，分別用P，Q來表示物質變形前后的徑矢，用xα(α=1,2)來表示Lagrange隨體坐標，則對每個點可以建立以下2種標架：

(1)

為了描述一點Q的應力狀態，在向量dx1Q1,dx2Q2上作一個平行四邊形微元,將基線力定義為

(2)

式中：dx3=dx1；dTα為第α邊上的合力。

1.2 基面力的平面二節點桁架單元

如圖1所示為傳統的具有平面四邊中節點平面四邊形基面力元法有限元單元[14]。當單元足夠小時，假設應力均勻地分布在每一個邊上，I，J分別表示平面4節點單元的第I個邊和第J個邊,且I，J=1,2,3,4；TI，TJ為作用在第I個邊和第J個邊中點上面力的合力，簡稱為單元面力。

本文把基面力元法四邊形單元退化為平面二節點桁架單元，如圖2所示。I，J分別表示單元的第I個邊和第J個邊,且I，J=1,2。

圖1 平面4節點的單元Fig.1 Four-nodes plane element

圖2 平面2節點桁架單元Fig.2 Two-nodes plane truss element

以基線力作為基本未知量，物質余能密度可表示為

(3)

式中：W為變形前的應變能密度；AP為變形前的基面；uα為位移梯度。

(4)

根據式(3)和式(4)，可將余能密度分為變形和轉動兩部分

(5)

單元余能變形部分的具體表達式為

(6)

式中：A0為單元的面積；pI,J為I邊和J邊邊中節點變形前徑矢PI和PJ的點積；MI為第I邊邊中點的徑矢，其表達式為

MI=MPI。

(7)

式中：M為由PI到MI的轉動張量，對平面單元其表達式為

(8)

單元余能轉動部分的具體表達式為

(9)

式中：U為單位張量。

1.3 修正的余能原理

設桁架結構存在n個桁架單元，則余能原理有限元的支配方程是下列系統泛函的約束極值問題：

(10)

單元的余能泛函可用單元面力T和單元轉角θ組成的顯式來表示：

(11)

利用Lagrange乘子法，放松平衡條件約束，則修正后的單元余能泛函可以表示為

(12)

式中λ=[λ1,λ2]為Lagrange乘子。

則系統的修正泛函為單元的修正泛函總和

(13)

由修正的余能原理可得，系統泛函的駐值條件寫為

(14)

由式(14)可以得到系統關于未知量單元面力T單元轉角θ，以及單元拉格朗日乘子λ組成的控制方程的一組非線性方程組：

(15)

對單元之間的面力協調約束條件，傳統的基面力單元只有2個面相交，交點處共用一個節點號，利用編程，分別賦予兩單元接觸面以大小相等、方向相反的單元面力T和-T即可。但對于桁架結構的基面力元法桿單元來說，多個桿單元交于一個點，顯然是不適用的。

本文利用編程，根據單元節點處力的平衡條件∑Tα=0，對于n根桿交于一點處的情況，賦予n-1個相應單元的節點編號，通過程序自動生成n-1個節點號相應的控制方程元素，使這一約束條件得到滿足。求解上述非線性方程組，即可得到各單元的面力T。

1.4 軸力及位移表達式

在求出單元面力T后，各單元應力可由式(16)計算:

(16)

式中：TI為平面節點桁架單元第I邊上的單元面力；QI為變形后單元第I邊邊中節點的徑矢；AQ為變形后的單元面積。

由于桁架單元受單向應力狀態，一點的主應力僅有一個非零，則其軸向應力表達式為

(17)

軸力表達式為

(18)

式中A為桁架的橫截面面積。

平面單元的邊中節點位移可通過各單元的支配方程求得，其公式可寫為

(19)

節點位移的顯式表達式可寫為

MI-PI+λ。

(20)

2 數值算例

2.1 算例1

如圖3所示的平面2單元桁架，為方便研究，取各桿的剛度均為EA=10 000 N，泊松比v=0。在單元的交點處作用一個大小為1 000 N豎向集中力P。通過Matlab程序計算得出各單元軸力和各節點位移解(BFEM解)與運用ANSYS有限元軟件建模計算進行了對比分析，結果如表1和表2所示。

圖3 平面2單元桁架Fig.3 Two plane elements of truss

單元號軸力/NBFEMANSYS理論解線性12000.01995.72000.01666.72-1176.5-1173.2-1176.5-1333.3

由表1和表2可得該算例的Matlab程序計算結果與該問題的理論解吻合[15]，與ANSYS計算結果相比誤差較小，結果具有較高的精度。

表2 節點位移

根據計算結果可知，該桁架結構彈性大變形與線性彈性變形的節點位移、軸力相差較大。圖4為結構的變形圖，其中位置A為本文的幾何非線性解，位置B是線性變形解。

圖4 桁架結構變形圖Fig.4 Map of the deformation of the truss structure

2.2 算例2

計算條件：如圖5所示的平面14單元桁架，為方便研究，取各桿的剛度均為EA=10 000 N，泊松比v=0。在單元節點5處作用一個大小200 N豎直向下的集中力P。通過Matlab程序計算得出各單元軸力和各節點位移(BFEM解)，與運用ANSYS有限元軟件建模計算進行了對比分析，結果如表3和表4所示。

圖5 平面5單元桁架Fig.5 Five plane elements of the truss

單元號軸力/NBFEMANSYS1-450.1230-450.13562-468.3929-468.39293-432.6308-432.64644-393.8450-393.88065441.4040441.44986436.1052436.15297410.8765410.8940單元號軸力/NBFEMANSYS8410.9600410.97469-14.3509-14.359710-18.6855-18.68671128.435128.417712-74.2537-74.227313-13.4145-13.456714-114.1244-114.1370

表4 節點位移

由計算結果可得該算例的Matlab程序計算與ANSYS計算結果相比誤差較小，具有較高的精度。

圖6所示為該桁架結構的幾何非線性變形圖。

圖6 桁架結構變形圖Fig.6 Map of the deformation of the truss structure

3 結 論

與傳統的位移模式有限元相比，本文介紹的桁架結構大變形分析余能原理基面力元模型具有簡潔的表達形式，有利于應用軟件進行編程計算。給出的桁架結構幾何非線性基面力元分析方法的結果與理論解一致，與ANSYS有限元軟件的非線性解相差較小，具有較高精度和收斂性，具有較好的計算性能。以基面力為基礎建立的桁架結構幾何非線性分析基面力元模型具有良好的適用性，可以用于分析各種類型的復雜桁架結構問題。

[1] GAO Yuchen. Large deformation field near a crack tip in rubber-like material[J]．Theoretical and Applied Fracture Mechanics，1997，26(3)：155-162．

[2] GAO Yuchen. A new description of the stress state at a point with applications[J]. Archive of Applied Mechanics，2003，73(3)：171-183．

[3] 高玉臣. 固體力學基礎[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 1999.

[4] 彭一江.基于基面力概念的新型有限元方法[D].北京:北京交通大學,2006. PENG Yijiang. A New Finite Element Based on the Base Forces[D].Beijing:Beijing Jiaotong University,2006.

[5] PENG Yijiang,LIU Yinghua. Base force element method of complementary energy principle for large rotation problems[J].Acta Mechanica Sinica,2009,25(4):507-515.

[6] PENG Yijiang, DOGN Zhanlong, PENG Bo,et al. The application of 2D base force element method (BFEM) to geometrically non-linear analysis[J].International Journal of Non-Linear Mechanics，2012,47(3):153-161.

[7] PENG Yijiang, PU Jiwei, PENG Bo, et al. Two-dimensional model of base force element method (BFEM) on complementary energy principle for geometrically nonlinear problems[J]. Finite Elements in Analysis and Design，2013, 75: 78-84.

[8] PENG Yijiang, GUO Qing, ZHANG Zhaofeng,et al. Application of base force element method on complementary energy principle to rock mechanics problems[J].Mathematical Problems in Engineering,2015, 2015:1-16.

[9] LIU Yinghua，PENG Yijiang, ZHANG Lijuan, et al. A 4-mid-node plane model of base force element method on complementary energy principle[J]. Mathematical Problems in Engineering，2013,2013:1-8.

[10]彭一江，劉應華．基面力概念在幾何非線性余能有限元中的應用[J]．力學學報,2008, 40(4): 496-501. PENG Yijiang,LIU Yinghua.Application of the base forces concept in geometrically nonlinear finite element method on complementary energy[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2008, 40(4): 496-501.

[11]彭一江，劉應華．基于余能原理的有限變形問題有限元列式[J]．計算力學學報,2009，26(4)：460-465. PENG Yijiang， LIU Yinghua. Finite element formulation for finite deformation problem based on complementary energy principle[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics,2009，26(4)：460-465.

[12]LIU Yinghua，PENG Yijiang．Base force element method(BFEM) on complementary energy principle for linear elasticity problem[J].Science China Physics，Mechanics and Astronomy，2011，54(11)：2025-2032．

[13]張昭鋒，彭一江，郭慶，等.余能原理基面力元法在重力壩應力分析中的應用[J].河北工業科技,2014,31(5):425-428. ZHANG Zhaofeng, PENG Yijiang, GUO Qing,et al.Application of complementary energy principle based base force element method in stress analysis of gravity dam[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2014,31(5):425-428.

[14]PENG Yijiang, DONG Zhanlong, PENG Bo,et al. The application of 2D base force element method (BFEM) to geometrically non-linear analysis[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2012, 47(3): 153-161.

[15]徐友良.桁架結構大變形問題的位置解法[J].工程力學，2010,27(sup1)：43-47. XU Youliang.Location vector method to solve the large deformation of truss structure[J].Engineering Mechanics, 2010,27(sup1):43-47.

Application of base force element method on complementary energy principle in large deformation analysis of the truss

REN Cong, LI Ruixue, SHAN Yanyan, PENG Yijiang

(College of Civil and Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

In order to pointedly research the large elastic deformation problems of the truss, the model of the plane base force element method is improved. The plane 4-side 4-node base force element is degenerated into the 2-node truss element. The governing equations of the BFEM for large elastic deformation of truss, the expressions of the axial force and the displacements formulation of nodal point are derived. According to the system of nonlinear equations for the large elastic deformation problems of the truss obtained by the governing equations, the base force element program is developed by MATLAB technology. The typical numerical examples of the truss in geometric nonlinearity are calculated. The result is compared with that calculated by the ANSYS finite element software. It shows that the result of the proposed method is in accordance with the theoretical solution, and the difference between the result and that calculated by ANSYS is little. So the conclusion can be made that the model of BFEM given in this paper is reliable, and it can be used for geometric non-linear analysis of truss structure with wide application extension.

elastic mechanics；base force element method; complementary energy principle; truss; large elastic deformation

1008-1534(2016)04-0288-05

2016-04-12;

2016-05-12；責任編輯：陳書欣

國家自然科學基金(10972015)

任 聰(1990—)，男，河北保定人，碩士研究生，主要從事余能原理基面力元法方面的研究。

彭一江教授，博士生導師。 E-mail:pengyijiang@bjut.edu.cn

O343

A

10.7535/hbgykj.2016yx04004

任 聰，李瑞雪，單巖巖，等.余能原理基面力元法在桁架大變形分析中的應用[J].河北工業科技,2016,33(4):288-292. REN Cong, LI Ruixue, SHAN Yanyan,et al. Application of base force element method on complementary energy principle in large deformation analysis of the truss[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2016,33(4):288-292.