基于學情有的放矢，預設開放促進對話
——“相似三角形的判定（2）”課例解讀

☉江蘇省沭陽縣龍廟初級中學 王 靜

基于學情有的放矢，預設開放促進對話
——“相似三角形的判定（2）”課例解讀

☉江蘇省沭陽縣龍廟初級中學 王 靜

初中幾何的教學都是先學全等，隔了“較長時間”才學習相似，這時引導學生復習、類似全等學習相似很關鍵.筆者近期有機會開設相似三角形的判定（2）研究課，對“兩角分別相等的兩個三角形相似”一課的思考較為深入.本文梳理該課的教學過程，并跟進闡釋教學立意，供分享與研討.

一、“相似三角形的判定（2）”教學過程

教學環節（一）開課階段，探究新知

問題1：我們已學習過哪些判定三角形相似的方法？（要求學生回顧、列舉此前已學習的定義法、平行法、兩邊對應成比例且夾角相等、三邊對應成比例）

問題2：類比全等三角形判定方法“ASA”，你能否猜想出新的相似三角形判定方法？

預設：如果有兩角對應相等，則兩個三角形相似.證明方法類似于此前兩個定義的證明方法，這里讓優秀學生口述證明思路即可.進而歸納出這種判定方法的文字表述和符號語言.

文字表述：兩角分別相等的兩個三角形相似.

圖1

符號語言：如圖1，

∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

教學環節（二）例題講評，鞏固新知

例1如圖2，點D、E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.

（1）求證△ABC∽△AED；

（2）若DE=4，AE=5，BC=8，求AB的長.

圖2

圖3

同類練習：如圖3，已知在等腰三角形ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線，圖中有相似三角形嗎？

設計意圖：例1及其同類練習主要訓練新學的判定方法.同時同類練習也是一類經典圖形：黃金三角形（頂角為36°的等腰三角形）.

例2如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D.

圖4

（1）求證：CD2=AD·BD；

（2）你還能得出哪些“這樣”的乘積式？

同類練習：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′= 90°，若添加一個條件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，則下列條件中不符合要求的是（）.

設計意圖：例題及同類練習主要關注“射影定理”基本圖形，這類圖形有很廣泛的應用，后續還會有豐富的變式與應用.

教學環節（三）綜合拓展，引入圓的背景習題

例3如圖5，已知△ABC和△ABD都是⊙O的內接三角形，AC和BD相交于點E.

圖5

圖6

（1）求證：△ADE∽△BCE；

（2）求證：AE·CE=BE·DE.

同類練習1：如圖6，⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，PB交⊙O于A、B兩點，PC交⊙O于C、D兩點.

（1）求證：PA·PB=PD·PC；

同類練習2：如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E.（1）求證：△EBC∽△EAC；（2）若AE=6，CE=4，求⊙O的半徑及陰影部分面積.

圖7

設計意圖：引入圓的背景問題，讓學生在圓的背景問題中也能靈活地應用新知判定兩個三角形相似，并解決相關問題.

教學環節（四）課堂小結，聽課檢測

問題1：通過本課的學習，有人說要判斷兩個直角三角形相似，只要找到一組角相等就可以.你覺得這個命題正確嗎？

問題2：這節課中，你覺得哪一種圖形值得積累？它能為你的解題帶來哪些方便？

問題3：有人發現，過圓上任意一點作直徑的垂線段，則垂足將直徑分成的兩條線段的積等于該垂線段的平方.你覺得他的發現正確嗎？

聽課檢測：

題1：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高.

（1）求證：AC2=AD·AB；

（2）若BD=1，AD=3，求BC、AC的長.

題2：如圖5，已知△ABC和△ABD內接于圓O，AC和BD相交于點E.

（1）找出圖中一對相似三角形，并證明；

（2）若AD=2，BC=4，BD=4，求DE的長；

（3）延長BA、CD交于點F，求證：FA·FB=FD·FC.

設計意圖：這兩道聽課檢測簡單改編自上面的例2、例3，可有效檢測學生聽課的效果.而且圖形及字母也沒有變換，目的是讓學生快速理解題意.

二、教學立意的進一步闡釋

1.理解課標、理解教學，有的放矢組織教學內容

筆者備課時再次檢索、研習《義務教育數學課程標準（2011年版）》，發現國家對相似三角形的判定的教學要求如下：

（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.*了解相似三角形判定定理的證明.

（5）了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.

特別是，這里還增加了“底注：考試中，不要求用（4）（5）證明其他命題.”

根據以上表述，我們在預設本課教學時，沒有糾結于如何引導學生證明相似三角形的判定定理，只是基于“上不封頂”的理念，讓高層次學生“知其所以然”，安排優秀學生口述證明思路，使其知道這里的判定是“定理”而非“公理”.

2.基于學情增設內容，從“教教材”走向“用教材教”

由于證明“兩角相等的三角形相似”定理的時間大大節省出來，故基于學情的理解，我們增加了例3，即以圓為背景的相似問題，而這些問題基于圓周角性質可以很快轉化為新學知識的證明，使學生發現并證明“相交弦性質”，這樣有利于學生獲得一個整體觀，也對不少練習題的快速求解帶來幫助.

3.預設開放問題，促進教學對話、互動展示

南京大學哲學系鄭毓信教授近年來一直倡導從開放題到開放的數學教學，并要求廣大一線教師通過恰當的設問、追問，促進學生想得更深、更合理、更準確.基于上述思考，我們對不少例題的設問方式進行構思，比如例2在證出一個“比例中項”等式之后，追問“你還能得出哪些‘這樣’的乘積式”，使得學生想得更深入、更全面，讓不同的學生在同一個問題上有不同的收益和探究深度，并在后續交流展示過程中，讓思考深刻的學生獲得更多的學習成就感.

4.加強學情反饋，當堂開展聽課檢測

采用聽課檢測的方式，對本課講評過的例題、習題進行簡單改編，即時反饋教學效果，這種做法非常接地氣，能弄清哪些學生是真懂、會做、做對.在本課的最后階段，我們也安排了一組聽課檢測，分別改編自上面例題，圖形與字母都沒有改變，只是變換了問題的設問方式，有效檢測了學生聽課的效率.

三、寫在最后

對常態課的教學設計研究是各級教研活動中比較薄弱的環節，本文選取平時教學進度中的一節常態課開展教學研討，敬請同行批評指正，更歡迎類似的常態課的教學設計能呈現出來，以豐富常態課的教學研究.

1. 鄭毓信.數學教師如何才能用好教材［J］.小學教學（數學版），2016（3）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3. 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4. 鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

5. 章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013，56（6）.Z