“問題”喚醒“沉睡”的數學復習課堂
——對問題驅動下的數學復習課的感悟

☉浙江省寧波市鄞州區姜山鎮中心初級中學 王 沖

“問題”喚醒“沉睡”的數學復習課堂
——對問題驅動下的數學復習課的感悟

☉浙江省寧波市鄞州區姜山鎮中心初級中學 王 沖

《義務教育數學課程標準》中提出課堂教學應激發學生學習興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維.學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.因此，讓學生主動、輕松、愉快地學習，已經成為當下課堂教學改革的主題.

在日常的教學過程中，筆者曾發現這樣一個現象：在上新授課的時候，學生面對新知識的探索欲望強烈，能積極主動地參與到課堂活動中來；但是，上復習課的時候，學生面對舊知識的探索欲望顯得有些低落，不能積極主動地參與到復習課堂活動中來，復習效率低下.同時，學生覺得數學復習課很枯燥、乏味.所以，筆者覺得有必要落實學生在數學復習課中的主體地位，激發學生在數學復習課上的學習興趣，讓學生在數學復習課中主動、輕松、愉快地學習.

著名數學教育家波利亞曾說過：“問題是數學的心臟.”而數學課堂正是在提出問題和解決問題的循環反復過程中培養、發展和提高學生的思維品質與學習能力的.同時，學生探究知識的欲望一般都是從問題開始的.所以問題應該是數學課堂的中心.因此，筆者認為，我們可以根據教學任務和學生學習的需要，將復習內容問題化，讓學生自主、合作、探究學習，落實學生在復習課堂中的主體地位，激發學生的學習興趣.同時，以“問題解決”獲得知識與技能，提高學習能力和思維能力，促進情感、態度與價值觀發展.

筆者結合自己曾經面向初二學生執教過的“直角三角形中求線段長度的方法”的教學片斷，談談自己對問題驅動下的數學復習課的感悟.

一、問題驅動，生成相關方法

問題1：如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，CD是斜邊AB上的中線，則CD=______.

生1：CD=5.

師：你是怎樣求得的？你的依據是什么？

生1：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

（板書：①利用性質定理）

圖1

圖2

問題2：如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，∠B=30°，CD是斜邊AB上的中線，你能求哪些線段的長度？

師：如果我再添一個條件，∠B=30°，你能求圖2中哪些線段的長度？

生2：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以求得CD=5.

師：請你談談求解的過程并敘述其依據.

生3：因為∠ACB=90°，∠B=30°，所以根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求得AC=AB=5.

（板書：②利用特殊角）

生3：因為∠ACB=90°，AC=5，AB=10，所以根據勾股定理可以求得.

（板書：③利用勾股定理）

生3：因為CD是斜邊AB上的中線，所以根據三角形中線的意義可以求得AD=BD=AB.另外，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以得到CD=5.

師：就是剛才生1總結的利用性質定理求直角三角形中的線段.

師：良好的開始是成功的一半，同學們已經總結了三種在直角三角形中求線段長度的方法，請大家思考一下，這三種方法在下題中是否適用？

問題3：如圖3，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，AC=6，CD是斜邊AB上的高線，則BC=______，CD= ______.

生4：可以根據勾股定理求得BC的長等于8.

師：那么CD呢？

生4：可以利用面積法.

師：有點兒意思了，可以更具體些.

圖3

生4：因為∠ACB=90°，AC=6，BC=8，所以S△ABC=AC· BC=24.又CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高線，所以S△ABC=AB·CD=5CD=24，因此CD=.

（板書：④利用面積法）

生5：我認為可以利用勾股定理求CD的長，因為CD是Rt△ACD與Rt△BCD的公共邊，那么CD的計算方法有兩種.第一種：CD2=AC2-AD2，第二種：CD2=BC2-BD2.如果設AD=x，則BD=10-x，所以可以得到方程36-x2=64-（10-x）2，解得x=，然后代入CD2=AC2-AD2，可以求得CD=

師：感謝你的發言，給同學們開啟了另一扇思維的天窗.

師：當兩個直角三角形有一條公共直角邊的時候，我們可以利用勾股定理，構建方程模型求直角三角形中線段的長度.

感悟：回顧自己剛參加工作的時候，上復習課習慣于先梳理、歸納知識點，然后講解一兩道典型例題，接著讓學生進行課堂練習，檢測學生的掌握情況.現在想想，這種形式的復習課，學生被動地接受復習內容，沒有經歷思考、探索等體驗活動，導致學生不能積極主動地參與到課堂活動中來，復習效率低下.同時，學生也覺得數學復習課很枯燥、乏味.所以，在本次“直角三角形中求線段長度的方法”的專題復習課中，筆者摒棄了傳統復習課的基本思路.

課堂伊始，筆者就拋出了一道已知直角三角形斜邊長，求斜邊上中線長的題目.筆者再提出“遞進式問題”———你是怎樣求得的？你的依據是什么？引導學生主動歸納出直角三角形中求線段長度的方法之一：利用性質定理.問題2是問題1的延伸，在問題1的基礎上添加了一個特殊角的條件.此時，筆者提出一個“開放性的問題”———你能求哪些線段的長度？不再局限于學生求某條線段的長度，旨在讓學生從多角度去探究直角三角形中求線段長度的方法.問題3是問題2的拓展，在解決問題2的過程中，學生已經主動探究出了直角三角形中求線段長度的的另外兩種方法：利用特殊角；利用勾股定理.所以，學生很輕松地求得了BC的長.這時，筆者就提出了一個“引導性問題”———那么CD呢？引導學生積極主動地去探究求CD的方法.這樣就出現了直角三角形中求線段長度的第四種方法：利用面積法.同時，生5利用勾股定理，構建方程模型求直角三角形中線段的長度的方法，讓學生在親身經歷解決問題的過程中，不僅領略了數形結合思想和方程思想的魅力，而且很好地處理了知識與方法應用之間的關系，提高了復習課的效率.

通過三個“循序漸進式的問題”，讓學生去求解直角三角形中的線段長度，并敘述求解過程及依據，使學生輕松、自主地復習了與求直角三角形中線段長度有關的知識與方法，通過讓學生自主、探究學習，激發學生的學習興趣.同時，學生通過親身經歷求直角三角形中線段長度的過程，主動構建了直角三角形中求線段長度的方法的知識網絡.

二、更換背景，促進知識遷移

師：我們從邊、角入手梳理了直角三角中求線段長度的方法，同時對解決直角三角中求線段長度的方法也有了進一步的體驗.下面讓我們繼續探究.

問題4：如圖4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，且AD是△ABC的內角∠CAB的平分線，求BD的長.

圖4

圖5

師：大家好像遇到了困難，剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長度的四種方法，而現在BD不在直角三角形中，我們該怎么辦？

生齊答：可以構造直角三角形.

師：如何構造？

生齊答：過D作DE⊥AB于E.

師：當所求的線段不在直角三角形中時，我們可以通過作垂線將一般三角形轉化成直角三角形，我們把這種數學思想稱為轉化思想.

師：同學們，觀察圖形，你們發現了哪些結論？

生6：因為AD是△ABC的內角∠CAB的平分線，∠ACB=90°，DE⊥AB，所以根據角平分線的性質可以得到CD=DE.

生7：根據剛才生6的結論CD=DE，再結合∠ACB= 90°，DE⊥AB，AD=AD，就可以證明△ACD≌△AED，所以AE=AC=6.

師：非常棒，現在以小組為單位討論解決這道題的不同方法.

師：A組把你們集體討論的成果跟大家分享一下.

A組：第一種方法：先根據勾股定理求得BC=8.設BD= x，則CD=8-x.結合剛才生6和生7發現的結論，可以得到DE=CD=8-x，BE=AB-AE=AB-AC=4.所以在Rt△BDE中，根據勾股定理，列出方程x2=（8-x）2+42，解得x=5，即BD=5.

第二種方法：因為∠ACB=90°，所以S△ABC=AC· BC=24.由DE⊥AB，得S△ABC=S△ACD+S△ABD.設BD=x，則DE= CD=8-x.可以得到關于x的一元一次方程×6（8-x）+× 10（8-x）=24，解得x=5，即BD=5.

第三種方法：因為∠ACB=90°，所以S△ABD=AC· BD.由DE⊥AB，得S△ABD=AB·DE.設BD=x，則DE=CD= 8-x.可以得到關于x的一元一次方程×6x=×10（8-x），解得x=5，即BD=5.

師：集體的力量真是大，想出了那么多方法.我也跟大家分享一下我的想法.剛才大家發現△ACD≌△AED，也就是說如果將△ACD沿AD所在的直線對折，△ACD與△AED將互相重合.所以，我們可以把它歸類于折疊問題.當在直角三角形中碰到折疊問題時，我們就可以利用面積法或利用勾股定理構建方程模型求線段的長度，請看直角三角形中的折疊問題.

問題5：如圖6，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，沿DE所在的直線折疊，使得點A與點B重合，折痕DE交BC于D，交AB于E，求BD的長.

師：分析條件，大家能得到哪些結論？

圖6

師：你的思維真敏捷，一下子發現了這么多結論，結合生8發現的結論，哪位同學可以幫忙解答？

生9：根據生8發現的結論，設BD=x，則AD=BD=x， CD=8-x.因為∠ACB=90°，所以62+（8-x）2=x2，解得，即BD=.

師：你表達得特別清楚，讓大家一聽就懂.當某條線段所在的直角三角形無法求解時，我們不妨通過數量關系轉化到另一個直角三角形中，求與之相關的線段的長度.

感悟：問題4的設置建立在前三個問題的基礎之上，此時學生已經基本掌握了直角三角形中求線段長度的四種方法.所以，筆者提出思考力度較大的問題，有部分學生一時之間難以想到解題思路.這時，筆者就提出了一個“引導性問題”———大家好像遇到了困難，剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長度的四種方法，而現在BD不在直角三角形中，我們該怎么辦？讓學生自主去探究發現可以過D作DE⊥AB于E，構建直角三角形.然后，筆者又提出了一個“引導性問題”———觀察圖形，你們發現了哪些結論？通過這兩個問題，學生拾級而上，主動探究發現CD=DE，△ACD≌△AED，為問題的解決奠定基礎.

“義務教育數學課程標準”在7～9年級的學段目標中提出：讓學生經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法；在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論.所以，筆者讓學生通過小組合作的形式探討問題4的多種解法，培養學生從多角度思考問題的習慣，同時也讓部分學生主動發現自己在求直角三角形中線段長度時方法方面的缺漏，親身經歷解決問題的過程，掌握解決問題的方法，主動彌補缺漏的知識，形成對知識的深層次理解.最后，筆者引導學生發現問題4可以類比于折疊問題，為探究問題5埋下伏筆，培養和提升學生舉一反三、觸類旁通的能力.

以“問題”代替直接復習知識點，充分激發學生在數學復習課堂中的探究欲望，落實學生在數學復習課堂中的主體地位.學生通過親身經歷求直角三角形中線段長度的過程，主動構建直角三角形中求線段長度的方法的知識網絡.同時，“問題”助推了師生互動與生生互動，學生不再是“靜止”狀態，而是積極主動地參與到教學活動中來.所以，筆者認為，教師在上復習課的時候，應該以“問題”代替直接復習知識點，引發學生積極主動地參與到教學活動中來，通過問題讓學生自主歸納，總結知識點和方法，使學生在數學復習課中主動、輕松、愉快地學習.

1.王建波.初中數學新課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.黃勤新.問題，數學的心臟——數學課堂觀察反思［Z］.百度文庫.

3.陳鋒，薛鶯.以問題引領，提升復習效能——對初三“圓的復習”課幾個片段的感悟［J］.中學數學（下），2013（5）.

4.朱紹志.“問題引領，自主學習”的教學探討——《一元一次不等式》復習課實錄與反思［J］.中小學數學（中學版），2012（6）.

5.姜曉翔.“問題串”引領下的“導學式生本課堂”——由一堂“平行四邊形性質與判定”的復習課說起［J］.上海中學數學，2012（12）.

6.覃小平.以問題為中心引領教學，以思維為核心促進發展——小學數學“以問導學”教學方法探究［J］.廣西教育（小教版），2012（1）.Z