時域有限長信號的頻譜分析與信號還原

田宇澤 (合肥工業(yè)大學(xué)信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國石油集團東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北 涿州 072751)易國華 (長江大學(xué)期刊社，湖北 荊州 434023)

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時域有限長信號的頻譜分析與信號還原

田宇澤 (合肥工業(yè)大學(xué)信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國石油集團東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北 涿州 072751)易國華 (長江大學(xué)期刊社，湖北 荊州 434023)

用數(shù)字的方法對時域有限長信號進行頻譜分析就是對該信號的頻譜在頻率域進行采樣，而采樣點數(shù)的多少對頻譜分析的準(zhǔn)確性將會產(chǎn)生一定的影響。同時，利用頻譜能否正確還原時間信號的必要條件是必須滿足頻率采樣定理。頻譜恢復(fù)時域信號是將序列的頻譜進行IDFT變換(離散傅里葉逆變換)的過程，在實際的工程應(yīng)用中，進行頻譜分析的原始信號在時間域是無限長且連續(xù)的，而不是有限長且離散的，因此利用數(shù)字的方法進行頻譜分析一定會引起諸如頻譜泄露等誤差而影響最終的頻譜分析結(jié)果。從頻域采樣定理出發(fā)，分析了基于離散傅氏變換進行有限長信號時域恢復(fù)時可能產(chǎn)生失真的原因，指出了提高頻譜恢復(fù)原始信號的保真度的方法。理論分析和仿真結(jié)果表明，正確的選擇采樣頻率、譜分析的點數(shù)和頻率域的采樣點數(shù)是關(guān)鍵。

有限長;DFT(離散傅里葉逆變換);頻譜分析；信號還原

工程應(yīng)用中的信號一般為無限長連續(xù)信號，為便于在計算機中進行分析研究，需要將其截斷成有限長信號[1,2]。另一方面，計算機只能處理離散信號，需要對連續(xù)信號進行離散化，此時應(yīng)當(dāng)滿足時域采樣定理的[3]條件。時域采樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號架起了一座橋梁，并為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了依據(jù)。對有限長序列進行離散傅里葉變換DFT[4,5]，得到其離散的譜線，在滿足頻域采樣定理的條件下能夠由這些譜線恢復(fù)出時域有限長信號。對于有限長信號而言，在同時滿足時域和頻域采樣定理的情況下，是否一定能夠得到正確的頻譜并恢復(fù)出原始時域信號呢？為提高有限長信號頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號的準(zhǔn)確性，筆者從理論上研究了時域采樣點數(shù)和頻域采樣點數(shù)之間的深層次聯(lián)系，指出了有限長信號獲得正確的頻譜及準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號的具體條件。

1 連續(xù)信號譜分析的基本原理

利用數(shù)字的方法對連續(xù)信號x(t)進行譜分析時，信號在時間域和頻率域都是數(shù)字信號。對連續(xù)信號x(t)進行等間隔采樣能夠得到時間域的數(shù)字信號x(n):

x(n)=x(t)|t=nT

(1)

其中，n=0,1,2,…,m-1;M表示信號的采樣點數(shù);T是采樣間隔，s;n表示第幾個采樣點。

對x(n)進行傅里葉變換能夠得到信號的頻譜X(ejω) ：

(2)

式中，ω是數(shù)字頻率。

顯然，X(ejω) 是周期為2π的連續(xù)函數(shù)。

進一步對X(ejω) 進行離散化，得到頻域的數(shù)字信號X(k)：

(3)

式中，N表示頻域采樣的點數(shù)；k表示頻域采樣點序號。

在進行連續(xù)信號的頻譜分析時，以X(k)來表示待分析連續(xù)信號x(t)的頻譜X(ejω) 。對X(k)進行離散傅里葉逆變換IDFT得到xN(n)：

(4)

式中，RN(n)是長度為N的矩形序列。

xN(n)即N點IDFT[X(k)]得到的序列，也就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值序列。因此，xN(n)能夠與x(n)保持一致而在時域不發(fā)生混疊，則需要頻域采樣點數(shù)N必須大于等于時域離散信號的長度M(即N≥M)，即滿足頻域采樣定理。此時xN(n)就是原序列x(n)。如果N>M，則xN(n)比原序列x(n)尾部多N-M個零點，反之，時域發(fā)生混疊，xN(n)與x(n)不等。

2 由頻譜恢復(fù)原始信號的參數(shù)選擇

通過前述分析，對于給定有限長信號提高頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號準(zhǔn)確性的前提是分析參數(shù)的準(zhǔn)確選取。設(shè)輸入有限長信號x(t)，以采樣間隔T進行采樣，分析參數(shù)涉及到時域采樣點數(shù)、時域信號記錄長度、頻域采樣點數(shù)等。

2.1 時域采樣點數(shù)的選擇

首先根據(jù)要求確定采樣頻率，采樣頻率要滿足奈奎斯特采樣定理：采樣頻率fs≥2fmax，fmax為所要分辨的最高諧波頻率。并調(diào)整時域采樣點數(shù)L來觀察不同的情形。

2.2 信號的記錄時間

當(dāng)信號的采樣間隔確定時，信號的記錄時間將隨時域采樣點數(shù)的不同而不同。

2.3 頻域采樣點數(shù)的選擇

頻率采樣點數(shù)N的選取首要條件是滿足頻域采樣定理N≥M。當(dāng)N與M之間存在整數(shù)倍的關(guān)系時能夠觀察得到正確的頻譜，其頻譜能夠恢復(fù)出原始信號。當(dāng)N與M相等時得到的頻譜不是正確信號的真實頻譜，但是依然可以通過內(nèi)插公式由其頻譜恢復(fù)出原始信號。

3 試驗分析

圖1 矩形序列RN(n)及其頻譜和還原信號

假設(shè)x(t)經(jīng)過采樣后是矩形序列RN(n)，長度M=4，如圖1(a)所示。當(dāng)頻域采樣點數(shù)N滿足N=M時，對RN(n)作N=4的DFT和IDFT變換，結(jié)果分別如圖1(b)和圖1(c)所示。

從圖1(b)的頻譜圖可以發(fā)現(xiàn)，該條件下的頻譜只有X(0)=1，而其他值均為零，這與矩形序列的真實頻譜之前存在明顯的差異，可以認(rèn)為矩形序列離散頻譜無法體現(xiàn)其連續(xù)頻譜的特點；分析圖1(c)的結(jié)果，還原信號與圖1(a)完全相同。因此在滿足時域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N=M時，得不到期望的矩形序列頻譜，但是由此頻譜利用內(nèi)插公式能夠正確恢復(fù)時間域矩形序列。可見由頻譜恢復(fù)正確的原始序列僅僅需要滿足頻域采樣定理就可以了。

當(dāng)N>M時，繼續(xù)對RN(n)進行頻譜分析以及信號的還原分析。此時信號時間域長度M選取4，作N點離散傅里葉變換，頻域采樣點數(shù)N分別取12和14，并進行離散傅里葉反變換求取還原信號。

在滿足時域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N>M時，得到矩形序列RN(n)的振幅譜和還原信號分別如圖2、圖3中的(a)和(b)所示，其中圖2的頻域采樣點數(shù)N=12(N=3M)，圖3的頻域采樣點數(shù)N=14。因為滿足頻域采樣定理，因此頻率采樣點數(shù)為12和14時都正確恢復(fù)了原始信號，如圖2(b)和圖3(b)所示。

圖2 N=12時矩形序列振幅譜及還原信號

圖3 N=14時矩形序列振幅譜及還原信號

分析圖2(a)和圖3(a)所示的振幅譜，可以認(rèn)為，圖2(a)能夠正確反映振幅譜最大值最小值的分布，能夠反映頻譜的變化走勢，而圖3(a)中無法反映信號振幅譜的過零點及最小值的位置，不能精確反映頻譜的變化趨勢。對比分析頻譜差異以及頻率采樣點數(shù)與信號在時間域長度的關(guān)系，認(rèn)為當(dāng)N為M的整數(shù)倍時，得到的頻譜更加的準(zhǔn)確。

4 結(jié)語

針對有限長信號頻譜分析和信號復(fù)原中參數(shù)選取問題開展研究，重點分析了有限長信號頻譜分析產(chǎn)生失真的原因并提出提高頻譜復(fù)原信號保真度的方法。理論分析和仿真試驗結(jié)果表明，正確選取采樣頻率、譜分析及頻率域采樣點數(shù)可正確恢復(fù)原信號及其頻譜。有限長信號在頻譜分析和頻譜恢復(fù)原始信號的過程中，要想能夠得到正確的頻譜且能夠由該頻譜恢復(fù)出原始信號，除了需要滿足頻域采樣定理N≥L之外，還要滿足N為L的整數(shù)倍。

[1]胡廣書.數(shù)字信號處理(理論、算法與實現(xiàn))[M].北京:清華大學(xué)出版社，2003:115～117.

[2]李永全，楊順遼，孫祥娥.數(shù)字信號處理[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2011:16～18.

[3] 趙霞，李蓉艷.采樣定理與確定系統(tǒng)采樣周期的教學(xué)方法研究[J].工業(yè)和信息化教育，2014 (5):24～29.

[4]馬令坤，吳波.基于DFT的周期信號諧波特性測試與仿真研究[J].計算機仿真，2015，32(11):207～211.

[5] 謝海霞，孫志雄.連續(xù)非周期信號頻譜分析及Matlab實現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2013，36(11):53～56.

[編輯] 洪云飛

2016-09-28

易國華(1965-)，男，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事信號處理、科技期刊編輯方面的研究工作；E-mail:229500441@qq.com。

TN911.6

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1673-1409(2016)34-0033-03

[引著格式]田宇澤，霍秋娟，易國華.時域有限長信號的頻譜分析與信號還原[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(34)：33～35.