Vandermonde行列式的一個新證法

楊先山,李克娥,李治 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 荊州 434023)

?

Vandermonde行列式的一個新證法

楊先山,李克娥,李治 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 荊州 434023)

利用Vandermonde矩陣的獨特結(jié)構(gòu)，將n階Vandermonde矩陣逐次拆分成n-1個主對角元為1的下三角矩陣與n-1個上三角矩陣的乘積，從而Vandermonde行列式的值等于這n-1個上三角矩陣的行列式的乘積，得到一個新的證明Vandermonde行列式的方法。該證明方法利用了分塊矩陣的記號，證明過程簡潔，推導(dǎo)過程也容易理解。

Vandermonde行列式；上三角矩陣；下三角矩陣；分塊矩陣

n階Vandermonde行列式：

(1)

Vandermonde行列式是高等代數(shù)中的一個典型的行列式，構(gòu)造獨特優(yōu)美，在數(shù)值計算、數(shù)值逼近等自然科學(xué)及工程技術(shù)領(lǐng)域的許多理論和實際問題上有著廣泛的應(yīng)用。文獻[1～3]分別使用數(shù)學(xué)歸納法、遞推法對式(1)進行了證明，文獻[4]利用Vandermonde行列式的結(jié)構(gòu)特征和行列式的定義，直接觀察，得到了結(jié)論。這些方法的證明過程比較繁瑣，不容易理解。考慮到式(1)的右端是一系列因子的乘積，如果構(gòu)造出一系列行列式，其乘積等于原Vandermonde行列式，則式(1)的證明過程將簡潔明了。下面，筆者給出了Vandermonde行列式的一種新的證明方法。

引理1[1]若A，B為同階方陣，則|AB|=|A|·|B|。

推論1若A1,A2,…,Ak都為n階方陣，則|A1A2…Ak|=|A1| ·|A2|…|Ak|。

由此可見，如果能將一個方陣表示成一系列方陣的乘積，而這一系列方陣的行列式都容易算出，則求該方陣的行列式可轉(zhuǎn)化為求這一系列方陣的行列式的乘積。

為了方便表述，引入如下記號：

顯然，|Lk(xs)| =1(k=2,3,…,n)。

為k階上三角矩陣，其第1行元素全為1，主對角元(i,i)=xn-k+i-xn-k+1(i=2,3,…,k)，其余元素全為0。

顯然：

Ek表示k階單位矩陣。

通過計算可得：

由于：

……

由于：

所以：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]游宏，朱廣俊.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]張華民，殷紅彩.范德蒙行列式的幾種證法[J].蚌埠學(xué)院學(xué)報，2013,2(3)：15～18.

[編輯] 張濤

2016-09-18

湖北省自然科學(xué)基金項目(2016CFB478)；湖北省教育廳青年人才項目(20141306)；長江大學(xué)教學(xué)研究項目(JY2015027)。

楊先山(1978-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作；E-mail: 24372967@qq.com。

O151.2

A

1673-1409(2016)34-0071-03

[引著格式]楊先山,李克娥,李治.Vandermonde行列式的一個新證法[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(34)：71～73.