從數(shù)學(xué)模型談“解決問題”的教學(xué)嘗試與思考

史厚勇

摘要：數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)眼光對客觀事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似反映。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型屬于啟蒙階段，應(yīng)以滲透為主線，要基于學(xué)生經(jīng)驗基礎(chǔ)、情境基礎(chǔ)，以“兒童化”的視角，在“模型思想”引領(lǐng)中，促進學(xué)生“模型”思想的建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；模型思想；解決問題

數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，借助數(shù)學(xué)語言，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的，描述數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對客觀事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似反映。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》正式提出數(shù)學(xué)模型思想的重要意義，明確在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”。然而，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型屬于啟蒙階段，對于學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的提升，不能照搬建模思路，而應(yīng)強化滲透、引領(lǐng)，促進學(xué)生“模型”思想的建構(gòu)。

一、“去情境化”引領(lǐng)信息加工

在問題解決的教學(xué)實踐中，學(xué)生的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”的過程，需要將現(xiàn)實問題進行轉(zhuǎn)化，從人情入境的現(xiàn)實情境中將情境剝離，觀察、收集、提煉數(shù)學(xué)信息，抽象出數(shù)學(xué)問題。這種“去情境式的數(shù)學(xué)化”過程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“本”，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中模型建構(gòu)的前提。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生問題情境的“數(shù)學(xué)化”過程，引導(dǎo)學(xué)生從以往的數(shù)學(xué)信息的獲取轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)信息的加工，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)問題的提煉。

在教學(xué)實踐中，教師要重視學(xué)生“說數(shù)學(xué)”的能力培養(yǎng)，將學(xué)生的審題過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生“說數(shù)學(xué)”的過程，并且將這一過程“拉長”，引導(dǎo)學(xué)生以“說”的形式呈現(xiàn)其研讀的數(shù)學(xué)問題，在“說數(shù)學(xué)”的過程中觀察、提煉、加工數(shù)學(xué)信息。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊“用連除解決兩步計算的實際問題”。

教師引導(dǎo)學(xué)生充分觀察主題圖，理順信息之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進行有序化的梳理：

師：從圖中你知道了什么？

生1：我知道有2個書架。

生2：我知道每個書架有4層，一共放了244本圖書。

師：根據(jù)這些信息，你會提出什么問題？

生3：平均每個書架放多少本書？

生4：一共有多少層？

生5：平均每層放多少本書？

師：你能解決哪些問題？（學(xué)生解答略）怎樣求平均每個書架每層放書多少本？

教師通過引導(dǎo)學(xué)生在充分觀察主題圖的基礎(chǔ)上，有序地整理信息。在對話過程中，將主題圖中的已知條件、問題進行數(shù)學(xué)化呈現(xiàn)，在“說數(shù)學(xué)”過程中實現(xiàn)“實際問題”與“數(shù)學(xué)問題”的圖文過渡，學(xué)生明確了條件，明確了問題。

其次，可以借助“畫數(shù)學(xué)”的形式，用符號化抽象引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實問題情境中的信息進行提取，排除題目中的干擾信息，選擇與解決問題有關(guān)的信息，并通過圖形、表格、線段圖等多種形式進行整理，完成信息加工。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“解決問題的策略”。

教師可引導(dǎo)學(xué)生剝離情境中的非數(shù)學(xué)因素，采取畫圖的形式，用圖形符號再現(xiàn)對情境描述進行替換，促進學(xué)生直觀有序地對現(xiàn)實問題中的情境信息進行數(shù)學(xué)化加工。

二、立足模型。關(guān)注關(guān)系結(jié)構(gòu)

解決實際問題的數(shù)學(xué)模型就是用運算的數(shù)字與符號表示數(shù)量關(guān)系，確定解決思路的過程。這與傳統(tǒng)基于題型的解決問題不同。以往教學(xué)中往往按照歸一問題、和差問題、相遇問題、工程問題等題型來安排，以諸如“求比一個數(shù)多幾的數(shù)，用加法計算”等結(jié)語來引導(dǎo)學(xué)生套用，甚至歸納出“看到比多用加法計算”，“看到剩下用減法計算”這類錯誤的結(jié)論，導(dǎo)致學(xué)生只從表層分析，沒有深層領(lǐng)悟。因此，在解決問題的教學(xué)中，教師不能立足學(xué)生的表層分析，而應(yīng)基于建模，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步理解、完善認知結(jié)構(gòu)，從重表層向重關(guān)系轉(zhuǎn)變。

例如，教學(xué)蘇教版六年級上冊“用分數(shù)乘法和減法解決復(fù)雜實際問題”。

林陽小學(xué)去年有24個班級，今年的班級數(shù)比去年增加了1-6。今年一共有多少個班級？

教師引導(dǎo)學(xué)生對“今年的班級數(shù)比去年增加了1-6”進行分析：

師：你認為這道問題中，哪句話比較關(guān)鍵？

生1：今年的班級數(shù)比去年增加了1-6。

師：從這關(guān)鍵句中，你獲得哪些信息？

生2：是把去年的班級數(shù)看作單位“1”。

生3：是今年的班級數(shù)和去年的班級數(shù)進行比較。

生4：今年的班級數(shù)比去年的班級數(shù)要多。

生5：如果把去年的班級數(shù)看作“1”，那么今年的班級數(shù)是“1+1-6”。

生6：今年的班級增加的數(shù)量是去年的1-6，也就是24的1-6。

生7：如果把去年的班級數(shù)看作6份，那么今年的班級數(shù)就是（6+1）份。……

通過對關(guān)鍵句的解讀分析，學(xué)生逐步把今年、去年班級數(shù)的數(shù)量關(guān)系理清，能動地發(fā)揮學(xué)生的自主性，學(xué)生個性化地表達了對關(guān)鍵句分析過程，其解題思路也在深層分析中得以顯現(xiàn)。

三、基于“模仿”，向“策略”轉(zhuǎn)向

學(xué)生模型化思想的建構(gòu)、形成需要一定量的數(shù)學(xué)模型練習(xí)支撐。但這種支撐并非簡單的練習(xí)模仿，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在模型化練習(xí)過程中轉(zhuǎn)向策略的遷移。在模型化策略的引導(dǎo)下，組織學(xué)生練習(xí)，對解題過程進行反思，提升學(xué)生對模型化思想的潛移默化式認知。

例1.教學(xué)蘇教版六年級下冊91頁第11題。

教師引導(dǎo)學(xué)生對問題進行模型化處理，引導(dǎo)學(xué)生對這一類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)深入把握，以模型化的思想為主導(dǎo)，呈現(xiàn)一系列不變中的變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，形成策略，從而在靈活多變的思考中牢牢把握這一模型的建構(gòu)。

例2.（2013年啟東市小考數(shù)學(xué)試題）如下圖，a、b是兩個棱長為8厘米的正方體盒子，a盒中放入一個直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱形鐵塊，b盒中放入四個直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱形鐵塊。現(xiàn)在把a盒注滿水，然后全部倒人b盒里，下面說法正確的是（

）。

A.a盒的水正好倒?jié)Mb盒

B.a盒的水倒入到b盒還有多余

C.a盒的水不夠倒?jié)Mb盒

例3.（2014年崇川區(qū)小考數(shù)學(xué)試題）三個邊長都是24厘米的正方形，從中分別剪出1個最大的圓，4個相等的盡量大的圓盒、9個相等的盡量大的圓做盒蓋（如下圖）。下面的說法正確的是（ ）

A.第①種使用率最高

B.第②種使用率最高

c.第③①種使用率最高

D.三種使用率相同

例4.（2015年河北省張北縣小考數(shù)學(xué)試題）

右圖中陰影部分的面積是（ ），周長是（ ）。

例5.（2015年浙江省溫州市小考數(shù)學(xué)試題）

如圖9，一個半徑為4cm的圓形在一個足夠大的正方形內(nèi)任意移動。在該正方形內(nèi)，圓形不可能接觸到的部分的面積是多少c㎡？（請列式解答）

學(xué)生從發(fā)散的情境中，發(fā)現(xiàn)其實是課本教材中的數(shù)學(xué)模型，從而迅速地找出不同的方法進行巧妙解題，提升了學(xué)生模型策略的應(yīng)用能力。

四、批判反思，提升模型

在基于建模思想的教學(xué)中，解決問題的檢驗重在“答案分析，模型改進”，這與傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)中重結(jié)果正誤有所不同。在模型思想中的檢驗不僅僅考察結(jié)果的正確與否，還需考察解題過程中數(shù)學(xué)思想，反思檢驗內(nèi)容等。學(xué)生在問題解決后，還要思考：“得到的結(jié)果是否符合題意”，“計算過程是否合理”，“除了這種方法還有沒有更好的方法”，“我是如何思考的”等。通過對答案的正確性進行確認，對答案的合理性進行評判，對解題過程進行反思等，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的形成過程，形成經(jīng)驗，在經(jīng)驗的反思中形成兒童獨有的思考，從而進一步實現(xiàn)模型思想的飛躍。

總之，解決問題不是為“解決”而教，“模型思想”的教學(xué)不是為“模型”而“建模”。在解決問題的教學(xué)中，“解”是教學(xué)的出發(fā)點，“建模”是教學(xué)的主線，學(xué)生在“學(xué)解”的歷程中注重信息加工，注重關(guān)系結(jié)構(gòu)的認知，注重檢驗中的兒童化思考，從而有效實現(xiàn)模型思想的建構(gòu)。