等價無窮小在極限運算中的應用

【摘 要】等價無窮小在極限的求解中具有重要作用，其可使復雜的極限求解簡單化，是我們高中生學習的難點及重點之一。本文主要在等價無窮小的理論基礎上，通過實例對等價無窮小代換的簡潔性與價值性進行驗證，并進一步推廣等價無窮小的替換定理，以提高我們極限求解的能力。

【關鍵詞】等價無窮小 極限 運算

一、引言

等價無窮小是極限求解過程中最常用的方法之一，同時也是我們高中生需掌握的重要知識點之一。雖然求極限的方法多種多樣，但我們在學習極限的過程中，由于極限思想相對抽象，而等價無窮小的替換是一種簡單有效的方法，可將求極限具體化、形象化，特別是在一些未定型求極限應用中，利用等價無窮小求解更加的簡便與快捷，這對我們更好的掌握求極限的理論與方法具有重要意義。

二、等價無窮小的理論基礎

極限是高等數學學習的理論基礎，在我們學習高等數學的

過程中具有重要作用。而等價去無窮小主要是指：設 ，

是某一變化過程中的無窮小量，且 ≠0，若 =1，則稱

與 使等價無窮小，記為 。

在我們高中學習過程中，常見的用來代換的等價無窮小有：設 為某一變化過程中的無窮小量，在有

常見的性質有：設 = ， = ， 是某一變

化過程中的無窮小量，且 ≠0， ≠0， ≠0，則

定理1：在自變量同一變化的過程中，若 ，

則得出的結論如下：

若 存在或為無窮大，則有 = ；若 不存在（除無窮大），則 也不存在。說明： = = ，證明完畢。

若 存在，則有 = = ，可知 即存在，這種情況下，則和題設是矛盾的，因此， 是不存在的，證明完畢。

上述四題中是 、 型未定式，若使用洛必達法進行解

決則較為麻煩，而應用等價無窮小來求極限，可大大減少我們解題過程中的計算量，在求極限運算中具有重要作用。

例2： 若在本題的分子中直接采用等價無窮小替換，也會得到相同的

結果，即：

定理2：在自變量的同一變化過程中 ， ， =A（A≠-1）或無窮大，則可得出 。

證明：①若 =A（A≠1），則有 ；證明完畢。

②若 =∞，而 = =0，則有 =1

推論：在自變量的同一變化過程中， ， ， A（A≠-1）或無窮大，則

證明： ，證明完畢。

由定理2可知例2分子中 = ，正好滿足定理2的相關條件，因此，我們高中生在解題的過程中，可直接采用等價無窮小進行替換，這樣可將解題過程中簡單化、便捷化。

例3：①

②

③ 。

由此可見，等價無窮小替換不僅在 型、 型未定式中得到廣泛應用，在 、 型未定式中也能得到有效應用。

定理3：在自變量的統一變化過程中， ， ， >0，則可得 。則：

，證明完畢。

定理4：在自變量的同一變化過程中， ， ，則 。

證明： 。

例4：

從定理4的例題中可以看出掌握等價替換的條件對我們高中生求解函數、數列的極限會有較大幫助，在一定程度上，可大大減少計算量。

三、等價無窮小在求極限中的應用

等價無窮小替代法的主要目的就是實現運算的簡化，在實際運算過程中，和其它計算方法相比，等價無窮小這種計算方法對于我們高中生來說應用更為有效。

在求極限的過程中，我們高中生應對等價無窮小的理論基礎予以重視，以下將通過三個在日常學習過程中遇到的三種典型例題，對等價無窮小在求極限中的應用進行分析。

例1：求極限 。

解：利用等價無窮小的替換， ， ，因此 = 。

例2：求極限 。

解：利用等價無窮小的替換， ， ，則 = 。

例3：求極限 。

解：利用等價無窮小的替換， ， ，則 = 。

四、注意事項

等價無窮小在求極限中的應用主要是將分子或分母整體替換掉，主要滿足乘積計算，無法直接應用于加減類型中，避免出現邏輯錯誤。

例如：求極限 。

錯解：利用等價無窮小進行替換， ， ，則 = 。這種情況則是未能正確應用定理而出現的錯誤，在我們日常學習中，普遍會出現該類錯誤，正

確解法應為：

上題中出現錯誤的主要原因在于用 代替了0，可我們注意到在計算極限 ，在 的過程中，0是“最高階”的無窮小， 是比0的低階無窮小，由此可見， 與 并不等價，因此，是無法進行代替的。根據以往學習經驗總結出，針對這種問題，可將分子分母作為一個整體，并采取適宜的處理方式進行解決。

五、結語

無窮小量與極限這兩者之間存在緊密聯系，而無窮小量的加減乘除運算及求極限等內容是我們學習高等數學的開端與基礎，因此，我們在學習高中數學的過程中，應正確理解相關概念，并熟練掌握有關計算方法，這對我們學習高等數學具有重要意義。

參考文獻

[1]郭竹梅，張海燕.等價無窮小的性質及其在極限運算中的應用[J].河北北方學院學報（自然科學版），2010，26（6）：21-25.

[2]唐加冕.等價無窮小代換在極限運算中的應用[J].赤峰學院學報（自然版），2010，26（3）：4-5.

[3]鄭燁.例說等價無窮小在求函數極限中的應用及推廣[J].漯河職業技術學院學報，2012，11（5）：88-89.

[4]王巧云，門少平.關于等價無窮小量的乘積問題及其在極限運算中互相替換問題的探討[J].喀什師范學院學報，2011，32（3）：10-12.