教材中不能忽略數列性質的介紹

[摘 要] 從2009年秋季學期起，國家規劃新教材陸續提供給全國中等職業學校選用，而在數列一章中缺少數列性質的介紹，高考題或練習題中都較多地運用了數列的性質，建議今后的教材中增加數列性質的介紹。

[關 鍵 詞] 中職數學教學；數列的性質；教材

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）11-0142-01

為了貫徹落實《教育部關于進一步深化中等職業教育教學改革的若干意見》（教職成〔2008〕8號）關于“加強中等職業教育教材建設，保證教學資源基本質量”的要求，確保新一輪中等職業教育教學改革順利進行，全面提高教育教學質量，保證高質量教材進課堂，教育部對中等職業學校德育課、文化基礎課等必要課程和部分大類專業基礎課教材進行了統一規劃并組織編寫，從2009年秋季學期起，國家規劃新教材將陸續提供給全國中等職業學校選用。

湖北省對中等職業教育教學也進行了改革，將2012年秋季入學的學生于2015年參加全省中職統一“技能高考”。“技能高考”偏重于技能，擬造就一批大國工匠。技能高考總分700分，其中專業課490分，語文和數學各90分，英語30分。因此，全省中職學校采用了中等職業教育課程改革國家規劃新教材，其中數學是由李廣全、李尚志主編的基礎模塊。于2009年6月第一版發行，在第一版教材中沒有介紹等差數列和等比數列的性質。然而，在以前的所有教材中對等差數列和等比數列的性質都有介紹。讓人納悶的是教材2013年9月第二版發行，在第二版中也沒有介紹等差數列和等比數列的性質。難道等差數列和等比數列的性質不重要了？難道等差數列和等比數列的性質不考了？讓我們來看看2016年湖北省普通高等學校招收中職畢業生技能高考文化綜合考試大綱第二部分《數學》中對數列的考試內容與考核要求，原文如下：

數列

（1）理解數列、項、首項、項數、有窮數列、無窮數列、通項或一般項、通項公式的概念。

（2）了解數列通項公式的確定。

（3）理解等差數列、公差、等比數列、公比的概念。

（4）了解公差、公比、通項或一般項、前n項和公式的字母表示。

（5）掌握等差數列和等比數列的中項公式、通項公式、前n項和公式的運用。

（6）了解等差數列和等比數列的簡單實際應用。

從大綱中可以看出對數列的性質沒有做出明確要求，只是掌握等差數列和等比數列的中項公式的運用。

再看看《中等職業學校數學教學大綱》中對數列的要求：

（1）了解數列的慨念。

（2）理解等差數列的定義、通項公式、前n項和公式。

（3）理解等比數列的定義、通項公式、前n項和公式。

（4）了解數列實際應用舉例。

從考綱中可以看出對數列的性質也沒有做出明確要求。

下面再看看教材上中的情況。

在介紹等差數列的前n項和公式時，老師首先講了一個趣味數學，題目：把1到100的整數寫出來，然后把它們加起來。對于一些十歲左右的孩子來說，這個題目是比較困難的，好多學生忙碌得額頭都流出了汗水。小高斯很快得到了正確的答案。他是怎么快速計算出來的呢？其實他就是發現了等差數列的一個性質：

在等差數列an中，若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，am+an=ap+aq

他觀察數1，2，3，…，98，99，100，發現1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，依照這個規律，1到100的整數的和就是101×50=5050。

教材上推導等差數列的前項的和也就是利用了等差數列的這個性質。將等差數列an的前n項的和記作Sn，即

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an （1）

也可以寫作

Sn=an+an-1…+a3+a2+a1 （2）

由于a2+an-1=a1+d+an-1=a1+an

a3+an-2=a1+2d+an-2=a1+an

…

a1+an=a1+an

由（1）+（2）得2Sn=n（a1+an），即Sn=■。

在a2+an-1=a1+d+an-1=a1+an的推導過程中用的是等差數列的通項公式，若用等差數列的性質m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq讓職校這類層次的學生更容易理解。

（2016年湖北技能高考第27題）在等差數列an中，若a3+a5+a7=21，則a1+a9= .

【解析】根據等差數列的等差中項公式得a3+a7=2a5，由已知得a3+a5+a7=21，3a5=21，即a5=7，故a1+a9=2a5=14。

這道題明顯考查了等差數列的等差中項公式的性質。

（數學學案上練習題）等比數列an滿足a1+a6=11，a3-a4=■，且公比q∈（0，1），若數列前n項和Sn=21，求n的值。

【解析】在等比數列an中滿足a3-a4=a1-a6，由a1+a6=11a1a6=■

解得a1=■a6=■或a1=■a6=■。當a1=■a6=■時，由■=■q5解得q=■∈（0，1）滿足題意。

由■=21，解得n=6。這道題明顯考查了等差數列的這個性質：m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

綜上所述，等差數列和等比數列的性質應該在教材中介紹。

1.等差數列的性質

（1）等差中項

如果在數a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項，記作A=■.

（2）公差d>0時，an是遞增數列；d<0時，an是遞減數列；d=0時，an是常數列。

（3）an=am+（n-m）d （n-m∈N+）；

（4）在等差數列an中，若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

2.等比數列的性質

（1）等比中項

如果在數a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等差數列，那么G叫做a與b的等比中項，記作G=n±■。

（2）an=amqn-m（n-m∈N+）

（3）若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

數列的性質很多，可以根據具體情況靈活處理。