基于多元視角統合學習材料

錢宏軍

【摘 要】數學學習材料是學生課堂學習的核心載體，會對學生的數學學習產生直接的影響。以田忌賽馬的教學實踐為例，基于多元的視角統合學習材料可以從以下幾方面著手：基于學生主體的視角要切合學情；基于材料本身的視角要一材多用；基于學習內容的視角要三向拓展。學生借助數學學習材料，積極主動探索和發現數學知識，掌握數學技能，并在這一過程中發展數學思維、提高問題解決能力。

【關鍵詞】 多元視角 學習材料 田忌賽馬

“田忌賽馬”是人教版四年級上冊第八單元“數學廣角——優化”的學習內容，目的是讓學生在多種解決問題的策略中尋求最優的策略，并在此過程中感悟優化的數學思想。以往的教學絕大多數教師按照教材的編排，從“田忌賽馬”的歷史故事引入，接著拋出問題：你知道田忌是怎么安排的嗎？引發學生思考和討論，然后結合生活中的比賽進行練習鞏固，最后課堂小結。這樣大眾化的教學，學生學習了之后的確有所獲得，但對于優化策略的理解并不深刻。究其原因在于學習材料，尤其是探究的學習材料的設計和使用。用田忌賽馬的故事來探討優化策略，有諸多局限：學生對田忌賽馬的故事并不是很了解，課堂上學生興趣不大；古代故事既成事實，不能隨意改變；對陣的各級馬匹，容易混淆；在故事的基礎上進行拓展，又顯得比較生硬、跳躍，不容易和其他學習材料聯系起來。

學習材料是教師課堂上引導學生進行數學學習的資料，是學生課堂探究的核心載體，會對學生的數學學習產生直接而顯著的影響。教師需要通盤考慮、合理整合課堂學習材料供學生探究思考，引領學生探索和發現數學知識，掌握數學技能，并在這一過程中發展數學思維、提高數學素養。數學學習材料是多種多樣的，在教學中需要怎樣取用呢？下面以“田忌賽馬”教學為例，談談基于多元的視角統合學習材料進行教學的幾點做法。

一、基于學生主體的視角——切合學情

學生是學習的主體，教師在設計和運用學習材料時，需要圍繞學生這個主體，考慮是否切合學生的實際，調動學生已有的知識基礎，喚起學生生活和學習的經驗，從而把握住學生學習的關鍵點。學生以往積累的數學知識和活動經驗，只是為持續學習提供了可能的思路和方法，還需要在學習過程中進行檢驗，從而鞏固或形成新的數學學習方法。如果能結合學生的數學基礎和學習經驗，聯系學生的生活，就能夠使課堂風生水起，達到更好的教學效果。

【教學片段1】

師：同學們，今天我們一起來玩撲克牌游戲好不好？（好啊）

出示游戲規則：每人抽3張牌，一對一PK，點數大的贏。

師：明白游戲的規則了嗎？（明白）準備好了嗎？

學生一起回答：準備好了！

學生的眼睛齊刷刷地盯著投影，等待電腦發牌。

1.喚醒生活經驗

鑒于田忌賽馬故事的局限，筆者將探究性學習材料更換為撲克牌比大小。撲克牌比大小作為一種游戲，能激發學生參與學習的興趣，使學生的注意力集中到課堂學習上來。更為重要的是這個游戲貼近學生的生活，符合學生的經驗，學生都經歷過，而且在以往的游戲過程中已經有初步的、比較模糊的策略，能夠依托所積累的生活經驗進行深入的探討。撲克牌比大小主要是比數的大小，比起對上等馬、中等馬和下等馬進行比較，要直觀、清楚很多，操作起來也非常方便，便于學生比較、討論。

2.依托知識基礎

在學習“田忌賽馬”之前，學生通過“烙餅問題”和“統籌方法（沏茶問題）”的學習，對優化的策略已經有所理解，田忌賽馬的策略可以豐富和深化優化策略。而學生原有的課堂學習活動經驗也為開展探究活動奠定了良好的基礎。

3.把握學習關鍵

學習的關鍵是學生針對學習的內容在學習上所遇到的疑惑和困難，教師需要在關鍵點上下功夫。“田忌賽馬”的優化策略，學生在日常生活中或多或少在不自覺地運用，但對于背后的原理并不清楚，或者沒有去思考過，只是“知其然”，沒有達到“知其所以然”。因此，教學中需要通過學習材料將重點放在為什么這樣安排上。

二、基于材料本身的視角——一材多用

課堂上由于時間和空間的原因，不可能也沒有必要提供很多的學習材料，因此，就要在同一個材料上下功夫，將學習材料用足用透。材料本身并不是數學，而是只提供了一個例子、一種現象，我們要從中去探尋背后的數學特點和本質。學習材料不能機械化、封閉化，要有一定的開放性和包容性，能夠進行適當的變化，以鞏固、深化、拓展學生的認識。這種變化可以有兩種：一是學習材料本身，僅僅改變問題；二是適當改變材料中的某一個或幾個條件，而問題不變。這兩種方法可以根據實際需要靈活處理。

【教學片段2】引入經驗初用

出示游戲規則：每人抽3張牌，一對一PK，點數大的贏。

師：誰能贏？

生：不一定。

師：如果小紅想要贏，需要怎樣出牌？

學生思考了一下：3、8、6。

師：能具體說一說嗎？

生：3對9，8對7，6對4，三局兩勝。

師：是這樣嗎？

學生齊聲回答：是的！

教師出示兩組撲克牌：9、7、4和8、6、3，先讓學生初步給出對策。課堂上部分學生憑借生活經驗馬上就有了初步的對策，這是由于在現代的生活中，很多的比賽和游戲一般都是按照三局兩勝來進行判定的，學生平時聽說過、看到過，甚至也使用過。這與教學的預設相一致，說明這樣的材料已經很好地引入了學生的生活經驗。

【教學片段3】枚舉驗證細用

師：小紅是不是只有這樣的安排才能取勝？

生：要把小紅所有的出法試一遍才能知道。

師：那我們就一起來試一下吧。請拿出練習紙，根據要求完成在練習紙上。（練習如下）

活動要求：

（1）獨立思考，并填寫表格。

（2）小組合作討論：

怎樣做既不會遺漏，也不會重復？

觀察這些方法，你有什么發現？

學生思考完成表格，先同桌交流，然后全班交流。

生：我們是這樣想的，先是8、6、3，小明贏；再是8、3、6，小明贏；再是6、8、3，小明贏；再是6、3、8，小明贏；再是3、8、6，小紅贏；再是3、6、8，小明贏。

師：他們組是按什么順序排列的？有什么好處？

生：從大到小，不會重復也不會遺漏。

師：還有其他方法嗎？

生：也可以從小到大，這樣也不會重復也不會遺漏。

師：是的，有序思考是非常好的方法。觀察這些方法，你有什么發現？

生：小紅總共有6種方法，但是只有3、8、6這一種方法才可以獲勝。

學生前面已經給出一種解決方法，但只是知其然而不知其所以然。數學的學習不能止步于表面現象，更重要的是挖掘現象背后所隱含的本質。因此，教師引導學生既不重復也不遺漏地列出所有可用的方法，然后進行比較，最終讓學生自己發現只有這一種方法能贏，這樣便清楚地凸顯出優化策略的價值，使學生初步理解了優化策略。另外，在枚舉的過程中，也鞏固和深化了有序思考的方法。

【教學片段4】更換條件變用

師：如果允許小紅換一張牌，但不能比原來的大，你準備怎么換？為什么？

生： 把6換成5，5還是比4大。

生：也可以把3換成2，反正都是要輸的。

生：3還可以換成A。

師：A表示幾？

生：A就是1啊。

師：可行嗎？

生（齊答）：可以。

師：為什么不換8呢？

生：小明已經是7了，不能換了。如果換了，就只有一張比小明大了，那還贏得了？

師：剛才我們換了這么多，什么是不變的？

生：有兩張牌比對方大。

生：用最小對最大，保證另外兩張贏。

生：還要后出牌，如果先出牌就輸了。（學生都笑了起來）

師：這也是很關鍵的哦。

接下來，對于前面用于探討的學習材料主題并沒有更換，而是在此基礎上進一步研究，讓學生有條件地換撲克牌，使學生遷移出牌的對策，深化優化的策略。其實，這里每張牌的點數都是精心設計過的，小紅的三張牌只可以換其中6和4兩張，另外一張8不能換；6只能換成5這一種換法；而3卻可以換成2或A，換牌的策略比較多樣化。然后將這些不同的策略進行比較、溝通，找到他們的共同點，使學生比較深入地理解了優化的思想。

三、基于學習內容的視角——三向拓展

鞏固拓展練習是數學學習內容不可或缺的部分，其積極意義已經被廣大教師所接受。鞏固拓展可以從三個方向進行延伸：介紹知識背景、橫向聯系應用、縱向深入提升。學習材料便可以根據這三個方向來設計和安排，然后引導學生觀察、思考、比較、溝通。在溝通和比較中使學生更加深入地理解數學知識，從而形成更加立體、完善的認知結構網絡。

【教學片段5】介紹知識背景

師：你聽說過田忌賽馬的故事嗎？

出示“田忌賽馬”：田忌和齊王賽馬，他們的馬都分為上、中、下三等，然而齊王的每一等馬的實力都比田忌的馬略強。

師：田忌要想取勝，該怎么安排？

齊王—田忌

上—（ ）

中—（ ）

下—（ ）

學生很快就填寫完畢。

生：田忌用下等馬對上等馬，上等馬對中等馬，中等馬對下等馬，三局兩勝取勝。

師：你能說說撲克游戲和田忌賽馬的共同點嗎？

生：要先看對手出什么，再考慮自己出什么。

生：比對手弱一些，就要放棄一局最差的，努力去贏兩局。

生：要全部情況綜合起來考慮，合理安排，才能取勝。

師：你們真厲害！后來人們把這種合理安排、以弱勝強的策略稱為“田忌賽馬”。

在理解優化策略的基礎上，重現田忌賽馬的歷史故事，讓學生知道田忌運用優化策略取勝。通過這樣練習的形式來介紹知識產生的背景，豐富了學生的數學文化；能夠調動學生的積極性，并應用知識解決問題，鞏固和熟練優化的策略。通過尋找撲克牌和田忌賽馬之間的聯系來深化對優化思想的認識。

【教學片段6】橫向聯系應用

師：你覺得田忌賽馬的這種策略在生活中可以用在哪些地方呢？

生：比賽。

師：能具體一點嗎？

生：乒乓球比賽，用最弱去跟對方最強的比，最強的跟對方中等的比，中等的跟對方最弱的比。

生：玩拍手游戲也可以用到啊。

師：是的，在日常生活中，如果能用上田忌賽馬的這種策略，我們肯定可以把事情完成得更好。

數學來源于生活，還要重新回到生活當中，只有這樣才能讓學生感受到數學知識的價值，并在橫向聯系生活和實際應用的過程中，豐富學生的認識，增強應用的意識，促進數學知識的鞏固與發展，為進一步學習奠定良好的基礎。

【教學片段7】縱向深入提升

出示拍球比賽：如果比賽中每個人都發揮正常，乙隊怎樣對陣才能獲勝？用線連一連。

學生自主完成之后展示交流（有多種不同的方法）。

師：這么多的對陣策略都可以取勝，有什么共同的地方？

生：最少取得三局勝利。

生：用強的三個人跟對方弱的三個人比，用弱的兩個人跟對方強的兩個比，就能取勝了。

生：要事先合理安排好。

師：同學們分析得都有道理，看來田忌賽馬的優化策略還是很有用的。

從三局兩勝到五局三勝，形式不同，場數增加，并且有多種取勝的策略，這是對田忌賽馬優化策略的鞏固深化和拓展。教師提供的探究性學習材料盡可能包含多種解決問題的策略，使學生可以從不同的角度或不同的層次思考和解決問題，達到不同的學生在數學上得到不同的發展的目的。在展示了學生多種解決問題的策略后，教師需要引導學生進行溝通提升。這里的溝通主要是引導學生發現不同方法背后共同的策略——優化。在溝通和比較中使學生更加深入地理解每種方法，從而形成更加立體、完善的認知結構網絡。

數學學習材料的設計和運用，要考慮學生的學情、材料本身的特點和學習內容的情況，放到課堂中，能夠真正達到使學生樂于探究、善于探究的目的。當然，教學的預先設計只是課堂教學的一部分，在課堂實踐中，還要根據學生的表現進行靈活、合理的調整，將預設和生成相結合，才能真正發揮學習材料應有的價值，從而提高課堂教學的效果。

參考文獻：

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（浙江省杭州市周浦小學 310024）