函數類專題復習課教學設計例析

涂愛玲

各地在中考第二輪復習時基本都是采用專題方式推進，初中數學專題復習課往往是針對某一類重點題型、重要知識板塊或者某一種比較突出的思想方法等組織展開專題復習、專題研究. 2015年5月，桂林市教科所在我校組織開展初中數學中考復習備考會，探討在中考第二輪復習備考中如何培養學生思維的靈活性和發散性，進而提高學生綜合運用知識的能力.為了給大家提供一節有價值的研究課，我校初中數學變式教學團隊全力以赴集備，充分發揮師生的資源優勢，開發出這節“二次函數存在性問題”專題復習課.

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題.這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，題意構思巧妙，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求都比較高，而二次函數的存在性問題屬于中考壓軸題中的經典題型，作為研究課非常有探討價值.結合現階段學生的實際情況，基于對該內容題型特點的分析，并立足于學生的整體水平提升，我們將設計思路定位為寬入口、低起點、高落點，可拓展、能延伸，用五度教學模式進行問題設計，即“有效度的問題呈現—有梯度的問題變式—有深度的問題拓展—有廣度的問題開放—有高度的問題歸納”.這節課既關注到了五個教學環節的緊湊性，又在每一個教學環節中突出了各環節問題設計的基本原則.

一、有效度的問題呈現：從一個簡單問題切入，作為教學的起點

要使問題呈現有效度，必須認真考慮問題的選取和整體設計.我們決定由一條拋物線切入本專題復習，讓拋物線解析式統領全局，像一粒種子一樣自然地生長發芽，貫穿這節課問題設計的始終，且確保內容緊湊、環環相扣；微觀上則貫穿“點→線→面”的設計思路，一路設問，承前啟后，使所解決的問題都能成為后續問題的生長點.

在這個環節，我們的問題設計經歷了“解析式→求點坐標→求線段長→判斷形狀→計算面積”的思維過程，以此確保低起點、寬入口，步步為營，層層推進，一脈相承，讓學生每解決一個問題總能為下一個問題的解決做好鋪墊，由此實現知識和能力的同步自然生長.

問題：如圖1，拋物線=-+2+3與軸交于點、（點在點的左側），與軸交于點，頂點為點.

（1）請你直接寫出A、B、C、D四點的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）你能求出圖中哪些線段的長度？

（3）你能判斷△的形狀嗎？

（4）請你求出△的面積.

以上問題呈現，用四個小問依次幫助學生復習鞏固如何根據解析式求拋物線與坐標軸的交點坐標，復習鞏固如何根據兩點坐標求這兩點間的線段長度，復習鞏固如何根據確定的三條線段長度判定它們所構成的三角形形狀，最后復習鞏固如何根據確定的三角形、運用三角形面積公式或割補的方法計算該三角形的面積.四個小問環環相扣，問題解決經歷了“歸納知識要點→歸納解題方法→形成解題策略”的思維過程，滲透了數學基本知識、基本方法和基本思想的教學.

二、有梯度的問題變式：探究“最值”，經歷“線段和→線段差→周長→面積”的思維歷程

為探究“最值”問題，引導學生經歷“線段和→線段差→周長→面積”的思維歷程，問題設計由淺入深、層層推進，注意為學生搭建思維階梯，讓學生可以拾級而上、不斷攀升，最終形成有序的邏輯思維鏈條.經歷了上一個環節的“問題”解決，確定了點坐標、對稱軸等基本元素以后，這個環節的問題變式設計便進入了“探究線段和最小值→探究線段差最大值→探究周長最小值→探究面積最大值”等一系列“最值”存在性問題.選擇“問題”已解決的點和線作為問題變式的生長點，由線段和聯想到線段差，又由線段和最小值聯想到周長最小值，由周長最小值聯想到面積最大值等，問題之間相互關聯、層次分明，梯度推進思路明顯.

過渡語：我們由一條拋物線解析式解決了一系列的確定性問題，那么我們能不能從我們已知的點[A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）]，對稱軸（直線x=1），拋物線（y=-x2+2x+3）中選擇幾個元素，設計出新的問題，探究不能直接確定的結果呢？

變式1：如圖2，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使PA+PC的值最小？若存在，請找出點P.

變式2：如圖2，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使PA-PC的值最大？若存在，請找出點P.

變式3：如圖3，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使△PAC的周長最小？若存在，請找出點P.

變式4：如圖4，在第一象限的拋物線上是否存在一個點P，使△PBC的面積最小？若存在，請找出點P.

以上變式設計，通過變式1和變式2引導學生運用軸對稱和三角形三邊關系探究線段和的最小值和線段差的最大值，運用“將軍飲馬”這個基本模型解決問題，滲透了數學建模的學科思想；通過變式3引導學生將三角形周長最小值問題轉化為線段和的最小值問題，滲透了轉化的數學思想；通過變式4引導學生運用二次函數討論面積的最值問題，滲透了數形結合的數學思想.這個環節，我們通過引導學生依次解決所呈現的變式問題，來培養其建模、轉化和遷移能力.

三、有深度的問題拓展：由探究最值問題，拓展到探究圖形形狀

問題拓展有深度，是指所提問題要具有思考性和挑戰性，問題設計要向縱深發展.在這個環節，我們的問題設計開始從最值的存在性問題過渡到圖形形狀的存在性問題，包括探究直角三角形（直角頂點確定）、探究直角三角形（直角頂點不確定）、探究等腰三角形的圖形形狀的存在性問題，這是數學思維的又一次躍進.問題生成仍然選擇用“問題”解決的點和線作為問題拓展的生長點，由直角頂點確定聯想到直角頂點不確定，由直角三角形聯想到等腰三角形，不斷突破學生思維的局限，提升學生的思維水平，激發學生的學習潛能.

過渡語：我們仍然從已知的點和已知的線出發，但可以改變提問的角度，由“最值”的存在性問題拓展到“圖形形狀”的存在性問題.

拓展1：如圖5，在拋物線上是否存在一個點P，使△PBD為直角三角形，且點B為直角頂點？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標.

拓展2：如圖5，在拋物線上是否存在一個點P，使△PBD為直角三角形，且點P為直角頂點？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標.

拓展3：如圖6，在拋物線的對稱軸上是否存在一個點P，使△PCG為等腰三角形？若存在，請找出滿足條件的點P，并求出點P的坐標.

以上問題拓展，通過拓展1啟發學生聯想并運用勾股定理探究直角三角形的頂點存在性問題，滲透了方程思想、數形結合思想及轉化思想；通過拓展2啟發學生分情況，探究不確定的直角頂點的存在性問題，滲透了分類討論的數學思想；通過拓展3啟發學生借助拓展1和拓展2的解題經驗和方法，再結合等腰三角形的特點，建立方程求解，滲透了幾何問題代數化的建模思想.在這個環節，我們旨在通過引導學生對以上拓展問題的解決，培養學生自主溝通問題與知識、問題與方法之間聯系的能力，使學生的思維層次不斷升級.

四、有廣度的問題開放：由教師主導編制變式問題，過渡到由學生自主編題

問題開放有廣度，旨在引導學生通過設計開放性問題激活個性思維，培養問題意識，激發創造力，全面訓練思維發散性.在這個環節，問題設計由封閉到開放，由老師主導編寫變式問題開始遞進到讓學生自主創編新的二次函數存在性問題.

過渡語：緊扣主題，結合本節課的學習內容和你自己的學習經驗，自由發揮，小組討論，創作出符合要求的新問題.

師：請根據“問題”中的拋物線和“問題”中所求得的點和線作為條件，提出一個以二次函數為背景的存在性問題.

該環節為學生提供了一個獨立思考與合作創新的平臺，讓不同層次的學生在這個教學環節中獨立處理、加工本課中所獲得的各種信息，聯系已有的認知基礎，創造出新的屬于自己和團隊的問題.這樣的“問題開放”既尊重學生的個性特點，又強調團隊的合作交流，在培養學生發散性思維和創新精神的同時，滲透了對學生自主思考、合作探究的學習態度的培養.

五、有高度的問題歸納：采用文字歸納法和思維導圖歸納法，有條不紊地進行問題歸納

為使問題歸納有高度，我們可以采用精煉的文字歸納和思維導圖歸納的方式方法，引導學生從解題策略、解題方法和解題思想的高度進行問題的歸納與總結，讓學生學會從深層次挖掘問題與問題之間的內在聯系，溝通數學問題與數學知識、方法和思想的關聯.

過渡語：縱觀整節課，請同學們自主梳理、整合、歸納本節課的學習內容.

歸納任務：請回顧這堂課，你收獲了哪些知識，掌握了哪些方法，形成了哪些策略，了解了哪些思想，或者有了哪些新的感悟？

“問題歸納”讓學生將一節課的知識系統化、網絡化，使縱橫交錯、融會貫通，有助于培養學生的反思習慣，讓學生形成可遷移、能生長的知識和能力。學生通過反思解題方法發現解題規律，進而將解題方法上升為通解通法，做到舉一反三、觸類旁通.

（責編 白聰敏）