結構可靠性的概率設計法綜述

張學軍，林延鑫，吳颯，王也

（1.海軍裝備部飛機辦公室，北京 100071；2.北京航空航天大學，北京 100191）

結構可靠性的概率設計法綜述

張學軍1，林延鑫2，吳颯2，王也2

（1.海軍裝備部飛機辦公室，北京 100071；2.北京航空航天大學，北京 100191）

綜述了目前國際上結構可靠性設計法領域現有的概率設計法，如隨機有限元法、一階及二階可靠性設計法、蒙特卡羅法及拉丁超立方采樣法、隨機過程及隨機場。討論了具有代表性的概率設計法，如多項式混沌擴展法及 KL變換?；陔S機過程概念的隨機擴展法具有良好的分析收斂特性，直接采用隨機擴展法進行隨機分析是一種高效的可靠性解算方法。Karhunen和Loeve基于由協方差函數導出的正交坐標函數，分別對連續時間過程進行了描述，KL變換能有效減少相關數據集的維度。當協方差函數已知時，可采用 KL擴展法表征不確定性系統的隨機特征；而當結構響應的協方差函數未知時，可采用PCE代替KL擴展法來表示這種類型的不確定性。出于對工程系統性能的嚴格要求，安全及可靠性余量的進一步縮小，加之嚴酷的市場競爭等因素，結構可靠性的概率設計法將迅速在多學科設計領域中得到廣泛應用并產生顯著的工程及經濟效益，有力地推動我國裝備質量的跨越式發展。

結構可靠性設計；概率設計法；可靠度；不確定性

隨著現代結構對關鍵和復雜設計需求的增加，越來越需要一種能夠對廣泛存在于結構系統載荷、材料性能、結構尺寸、加工過程以及使用環境中的不確定性進行精確度量的解算方法[1—2]。當前，科研人員廣泛認可的不確定度定義如下：根據所用到的信息，表征賦予被測量量值分散性的非負參數[3]。何謂可靠性，就是結構設計達到設計指標，能夠保證結構有效穩定的工作，而不發生破壞。重新提出結構可靠性設計，并不意味著傳統設計不考慮可靠性，相反由于傳統設計忽略了影響結構可靠性因素的隨機性，而是選取較為保守的極值與較大的安全系數作為設計依據，使得結構可靠性過高，反而影響了結構性能的發揮，與現今高效率承載結構的設計思想相違背，也造成了物力上的浪費。因此基于概率論和數理統計的新結構可靠性設計方法正越來越受到設計人員的歡迎。這種方法認為載荷、材料性能、結構尺寸服從一定分布規律，依據此規律計算出結構的可靠度與設計要求的可靠度進行比較，從而定量地表達結構的可靠性指標是否滿足設計要求。結構可靠性的概率設計法不僅可以為穩健設計提供初始設計指南，而且還可以用來辨識不確定性對結構系統的哪些性能有重要影響，或者可以為增加結構系統安全性和系統效能提出有效的研究、測試及質量控制方法[4—14]。

1 結構可靠性設計法

結構可靠性設計法按其提出時基于的表述方式可以分為兩類：非概率設計法和概率設計法，如圖1所示。

圖1 結構可靠性設計的分類Fig.1 Classification of structural reliability design

非概率方法是用于處理關于參數真值的非精確知識。一種典型的非概率方法是區間分析，該方法把區間定義為一種新類型的數，即“區間數”，任一不確定參數可能的變動范圍通過一區間表示，只需知道參數的上、下界[15]。另一種典型的是模糊理論，它描述了對象外延的不確定性和模糊性，并建立了有效處理不精確問題的工具[16]?？赡苄岳碚撌菑囊粋€命題抽象出變量的分布，即自然語言命題的形式化[17]。證據理論則將不同證據上的互補和冗余信息依據某種優化準則組合起來，產生對所研究事件的一致性描述[18]。

概率方法的理論基礎是概率密度函數信息，主要采用隨機變量、隨機過程和隨機場來描述系統的不確定性。隨機有限元方法能夠考慮材料性能的分散性、載荷的隨機性以及其他不確定性特征，適合于不確定性和隨機性模型的求解[19]。一階、二階可靠性方法在設計驗算點處對極限狀態函數進行一、二階泰勒級數展開(Taylor Series Expansion，TSE)，以實現可靠度的解算[20]。蒙特卡羅模擬方法(Monte Carlo Simulation，MCS)通過隨機模擬和統計試驗來求解結構可靠度數值。拉丁超立方采樣法(Latin Hypercube Sampling，LHS)是一種多維分層采樣方法(Stratified Sampling，SS)，其最大優勢就在于任何大小的抽樣數目都能很容易地產生[21]。隨機場和隨機過程用于準確估計和描述隨機空間和時間變化數據的隨機特性，對于更加真實地進行不確定性系統的仿真分析顯得極為重要，其主要根據不同位置之間的相關性建立變量空間變異性的數學模型[22]。結構可靠性設計方法主要的設計流程如圖2所示。

圖2 結構可靠性設計流程Fig.2 Structural reliability design flow

2 概率設計法

如果整個結構或結構的一部分超過了某一特定狀態，則這個結構或結構的部分構件就無法正常運行，把這個特定的狀態稱為極限狀態。如果結構的極限狀態超過了所要求的值，則我們認為這個結構是不可靠的[23—27]。對于大多數結構來說，極限狀態可以分為兩類：

1）最終極限狀態。最終極限狀態與部分結構或整體結構的失效相關。最常見的最終極限狀態有：腐蝕、疲勞、老化、起火、塑形變形、結構連續倒塌、斷裂等。當超過極限狀態時，會導致人員傷亡及重大經濟損失等風險，因此極限狀態應該具有非常低的發生概率。

2）使用極限狀態。使用極限狀態與結構的正常使用功能性故障相關。使用極限狀態包括過度變形、過度振動、排水和泄露、局部變形等。由于使用極限狀態的風險要小于最終極限狀態，因此允許使用極限狀態有更高的失效概率[28—29]。當然，人們也不會使用那些出現過度變形或振動等問題的結構。

一般來說，極限狀態表示結構抗力和結構載荷之間的安全邊界?？煽慷戎笖当硎緸榭煽慷冗吔绲木档绞鎔(·)=0的距離。一維問題可靠度指數的幾何示意如圖 3所示。可靠度指數作為評價結構可靠性的一個良好技術指標，其基本原理表示為位置測度μg到極限狀態曲面的距離。可靠度指數以不確定性比例參數σg作為距離度量的單位。圖3中的陰影部分的面積表示為結構的失效概率。

圖3 極限狀態g(·)的概率密度Fig.3 Probability density for limit-stateg(·)

在某些情況下，若結構抗力R和結構載荷S均服從正態分布，且彼此不相關，由于g(·)=0為R和S的線性函數，因此極限狀態函數也為正態分布。

3 典型的概率設計法

解算多維問題的失效概率時，往往會導致維度災難問題，為此研究人員提出了許多可靠性積分問題的數值解法[30—32]。TSE 常用于極限狀態函數g(x)=0的線性化，在這種方法中，采用一階或二階TSE計算結構系統的可靠性，這兩種方法分別稱為一階二次矩法（First-order Second Moment，FOSM）和二階二次矩法（Second-order Second Moment，SOSM）。FOSM又稱為均值一階二次矩法（Mean Value First Order Second Moment Method,MVFOSM），是一種在均值點處的點擴展法，在 FOSM中，二階矩是最高階數的統計結果。盡管 FOSM比較簡單，易于實現，但已經證明在解算低失效概率問題（Pf＜10-5）或高度非線性問題的可靠性時，其解算精度并不高。相較而言，在 SOSM中，由于增加了二階項，使得解算規模顯著增加。然而，其解算精度的提高卻是非常有限的。

可靠度指數法從本質上說，等價于從標準正態空間中的結構響應面（極限狀態近似曲面）上搜索一個最優點，使得從原點到這個點的距離為最短的一個數學優化問題。Hasofer和Lind從地理學的角度對可靠度指數進行了解釋，并通過引入Hasofer-Lind(HL)變換對FOSM進行了改進。在變換過程中，設計向量X被變換為標準獨立高斯向量U。由于采用了HL變換，并且設計向量在U空間具有旋轉對稱性，U空間中的設計點表示為最大概率密度點或最大似然點。由于這個設計點對名義失效概率Pf= Φ(-β)來說，是最重要的影響因子，因此稱為設計驗算點（Most Probable Point，MPP）。

不同的近似響應面模型g(U)=0對應于不同的失效概率解算方法。如果響應面模型是由于 MPP處的一階函數逼近來表示，則稱為一階可靠性方法（First-order Reliability Method，FORM），如果響應面模型是由MPP處的二階函數逼近來表示，則稱為二階可靠性方法（Second-order Reliability Method，SORM）。此外，如果響應面模型是由MPP處的更高階函數逼近來表示，則稱為高階可靠性方法（Higher-order Reliability Method，HORM）。從發展歷程來看，HL變換法通常稱為FORM，或者也稱為高級一階二次矩法（advanced FOSM）或擴展一次二階矩法（extended FOSM）。由于概率分布不再由一階和二階矩來共同近似表示[33]，因此，稱其為FORM要比HL方法更加普遍。

在FORM中，極限狀態函數用MPP處的正切平面函數來逼近表示。近似 FORM主要用于確定失效概率的邊界，如果最大失效點處極限狀態函數的近似模型精確，則求得失效概率的邊界是準確的，否則這種方法會產生很大的誤差。當失效曲面高度非線性時，FORM的解算結果很不準確，此時，采用 FORM解算失效概率時，會導致解算結果出現震蕩或導致收斂到錯誤的解算結果[34]。

4 擴展的概率設計法

基于隨機過程概念的隨機擴展法具有良好的分析收斂特性，因而，直接采用隨機擴展法進行隨機分析是一種高效的可靠性解算方法[35]。隨機擴展的目的是通過引入一系列旨在表征隨機系統特性的多項式來更好的描述系統的不確定性。

4.1 多項式混沌擴展法

自從Ghanem和Spanos[36]提出譜隨機有限元法（Spectral Stochastic Finite Element Method，SSFEM）以來，多項式混沌擴展法（Polynomial Chaos Expansion，PCE）已經在包括結構響應等各個工程領域的不確定性分析中得到應用。PCE表示為隨機變量的正交多項式。在SSFEM中，所采用的隨機變量通常稱為標準正態隨機變量，而所用的多項式一般為Hermite多項式。PCE依均方值收斂，任意階數的 PCE由正交多項式組成，這一性質可以簡化統計矩的解算過程。

Tatang[37]提出了一種概率配點法(Probabilistic Collocation Method,PCM)，主要用于將隨機系統響應映射到PCE中。Tatang等人將每個配點的Delta函數作為Galerkin法中的試函數，并根據所選配點位置的模型輸出響應，確定PCE的系數，即PCE的根。Isukapalli[38]指出 PCM在求解大規模問題時存在局限性，并基于模型輸出響應對模型輸入變量的偏導數，提出了一種隨機響應面法，在隨機響應面法中采用FORTRAN程序庫中的ADIFOR函數解算模型輸出響應的偏導數。

最近，研究人員應用 PCE解算屈曲特征值問題，并基于MCS確定了PCE的系數。Xiu[39—40]等采用Askey策略擴展了PCE，使其能夠用于表示各種不同的分布函數。Askey策略主要用于對超幾何正交多項式進行分類，并表明他們之間的極限轉換關系。例如：Laguerre多項式可以由Jacobi多項式得到，也可以用來產生Hermite多項式。

每種方法都有它的局限性，在PCM中，當PCE具有多個自由度時，所需的配點數就會呈指數增加，因而，當有大量配點沒有被采樣時，用于確定PCE系數的配點不能保證是如圖4a所示的空間填充試驗設計。空間填充試驗設計是指根據合理定義的設計準則（如最大化最小距離準則）選擇樣本點，從而使得樣本點能夠充滿整個設計空間。

圖4 概率配點法與分層采樣法設計點對比Fig.4 Comparison of design points of probabilistic collocation method and stratified sampling

如果我們對圖 5中所示的概率密度函數的截尾部分感興趣，就需要重新考慮是否能夠用 PCM選擇樣本點數據，因為PCM所選擇的設計點主要集中在高概率區域。

圖5 概率密度函數中的感興趣區域Fig.5 Regions of interest in probability density function

根據前面的方法，可以將所使用的隨機擴展法，包括PCE和KL擴展法區分為如圖6所示的兩種類型，即非嵌入式隨機擴展法和嵌入式隨機擴展法。嵌入式隨機擴展法在進行系統分析時，無法用顯式表達式描述系統不確定性，而是用隱式表達式來表征系統的隨機特性。實際上，這就意味著采用嵌入式方法時，需要對結構分析代碼進行修改。采用非嵌入式隨機擴展法時，只需將分析代碼當作“黑箱”進行處理。PCE作為非嵌入式隨機擴展法的一種類型，能夠在不干涉結構系統有限元分析模型的基礎上構建系統的響應近似模型。因此，PCE有時也稱為隨機響應面法。另一種類型的非嵌入式隨機擴展法是PCM。與之相比，嵌入式隨機擴展法采用PCE和KL擴展直接修改有限元分析模型的剛度矩陣。SSFEM 和Galerkin有限元法均為嵌入式隨機擴展法[41]。

圖6 嵌入式及非嵌入式隨機擴展法Fig.6 Intrusive and non-intrusive formulation

當協方差函數已知時，可采用KL擴展法表征不確定性系統的隨機特征；而當結構響應的協方差函數未知時，可采用PCE代替KL擴展法來表示這種類型的不確定性。

4.2 KL變換

正交變換能有效減少相關數據集的維度。對于隨機參數可變性的正交變換又稱為 KL變換、Hotelling變換或主成分分析。Karhunen和 Loeve基于由協方差函數導出的正交坐標函數，分別對連續時間過程進行了描述。Hotelling提出采用主成分法分析多個隨機變量之間的結構相關性[42]。當對一個連續過程進行有限個數據點的周期采樣時，其自協方差矩陣的主成分分析結果與KL變換結果相同。從本質上說，對于均值為0的向量，其主成分分析和KL變換的解算結果是相同的。

5 工程實例

在航空發動機適航要求中，將原發失效能夠引起發動機危害性影響的部件定義為發動機壽命限制件(Engine Life Limited Part，LLP)，如旋轉輪盤、大型旋轉封嚴裝置等，設計中主要通過降低 LLP的失效概率來提高整機的安全性[43—44]。目前國內普遍采用基于安全壽命理念的部件壽命管理方法來防止LLP的失效在一定程度上提高了航空發動機安全性水平[45]。發動機結構完整性大綱MIL- HDBK-1783B中要求除了考慮結構安全性和可靠性，還需要考慮壽命周期費用問題，傳統的安全壽命管理方法將某一存活率下(通常為 99.87%或 99.99%)零部件萌生規定長度裂紋所需的循環數定義為部件的批準壽命，通過限制使用壽命的方法來保障LLP的安全，取得了良好的效果。在處理載荷、工作環境和材料等參數的隨機性對LLP安全性的影響方面，傳統方法存在一些不足。為此，國外發動機制造商在型號研制中提出結構概率可靠度計算的部件壽命管理方法進一步降低 LLP失效導致的危險，在民用領域美國聯邦航空局(Federal Aviation Administration，FAA)在其適航規章中提出在發動機的聯合定義階段通過系統安全性分析確定LLP后，必須通過可靠度計算表明LLP在預期使用壽命期內的失效概率風險每飛行小時低于 10-8，發動機才能獲得最終的型號合格證[46]。在軍用領域中，2002年美國頒布的 MIL-HDBK-1783B[47]中引入了概率裕度設計概念，并要求發動機內部和安裝于外部的任何部件由于高循環疲勞導致失效的概率應每飛行小時低于10-7。另外，美國在“綜合高性能渦輪發動機技術計劃(Integrated High Performance Turbine Engine Technology,IHPTET)”研究中，提出了概率設計系統(PDS)的新概念[48]。綜上所述，對LLP在使用壽命期內的失效進行概率可靠度計算成為航空發動機型號適航取證過程以及保證其結構完整性的關鍵技術和重要實施步驟之一。

目前開展發動機 LLP結構概率可靠性計算難點在于高維、小失效概率事件(FAR33.75條款要求導致危險影響事件的 LLP發生概率每飛行小時小于 10-8)的定量要求驗證問題。概率設計法的飛速發展及其在關鍵領域的廣泛應用，為破解上述技術難點奠定了堅實的根基。

6 結語

綜述了目前國際上在結構可靠性設計法領域先進高效的概率設計法，討論了當前在各個關鍵核心領域所廣泛應用的結構可靠性設計法。出于對工程系統性能的嚴格要求，安全及可靠性余量的進一步縮小，以及嚴酷的市場競爭等因素，可靠性分析方法迅速在多學科設計領域得到應用。包含不確定性的結構設計中，采用確定性方法可能要比考慮不確定性的概率方法導致出現更大的失效概率。這主要是由于在確定性方法中要求精確滿足設計需求，但是參數的任意擾動均可能引起系統響應違反約束。在進行非傳統結構的設計時，往往缺乏相關數據和足夠的先驗知識，而對不確定性的正確認識對于安全、高效的決策至關重要。

通過分析可以看出，任何方法都是在一定假設的基礎上提出的，當某種方法的適用條件成立時，該方法可以給出較好的計算結果；當該方法的適用條件違背時，該方法的計算結果可能會有較大誤差。因此，如何有效地改進現有方法，提出新的方法，使其具有更廣泛的適用范圍是未來結構可靠性設計法的主要研究方向。

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Review on Probabilistic Design Method for Structural Reliability

ZHANG Xue-jun1, LIN Yan-xin2, WU Sa2, WANG Ye2

(1. Office of the Navy Equipment Department, Beijing 100071, China; 2.Beihang University, Beijing 100191, China)

The existing probabilistic design methods in the field of current international structure reliability design method are reviewed, such as stochastic finite element method, first order and second order reliability design method, Monte Carlo method and Latin hypercube sampling method, random processes and random fields. The representative probabilistic design methods are discussed, such as polynomial chaos expansion method and KL transform. Stochastic expansion method based on the concept of stochastic process has a good analytic convergence property, and stochastic analysis is an efficient method for reliability calculation. Karhunen and Loeve are derived from the covariance function based on the orthogonal coordinate function, the continuous time process is described respectively, and KL transform can effectively reduce the dimension of the data set. When the covariance function is known, the KL expansion of the stochastic characteristics of the method can be used to characterize the uncertainty system, and when the structural response of the covariance function is unknown, the PCE can instead of KL expansion method to represent this type of uncertainty. Considering the strict requirements of the performance of engineering system, safety and reliability margins are further narrowed, and coupled with the harsh market competition and other factors, the probability design method of structure reliability will be widely applied in the field of the multidisciplinary design and pro-duce significant engineering and economic benefits, effectively promoting the great leap forward development of China's equipment quality.

structural reliability design; probability design method; reliability; uncertainty

10.7643/ issn.1672-9242.2016.03.027

TJ01；V416

A

1672-9242(2016)03-0161-08

2016-02-02；

2016-04-02

Received：2016-02-02；Revised：2016-04-02

張學軍（1964—），男，黑龍江集賢人，高級工程師，主要研究方向為航空裝備管理。

Biography：ZHANG Xue-jun (1964—), Male, from Jixian, Heilongjiang, Senior engineer, Research focus: aeronautical equipment management.