“直線的兩點式方程”教學設計

?雞西市第十九中學 孫長卿

“直線的兩點式方程”教學設計

?雞西市第十九中學 孫長卿

（人教版普通高中課程標準實驗教科書A版《數學》必修2第三章直線與方程3.2“直線的方程”第2課時）

學情分析：

我校為一所普通高中，部分學生基礎較差，學生在學習態度、學習習慣、知識結構、思維品質、數學能力等方面相對薄弱.

在學完直線的點斜式方程之后，學生已經建立了兩種具體的直線方程——點斜式、斜截式的概念并會應用它們求直線方程，并對直線方程、方程直線的概念有了一定的理解和認識，對兩點確定一條直線，直線的縱截距的概念也已經明確清晰.但由于部分學生觀察、類比、遷移、化歸、計算等能力薄弱，可能在兩點式方程形式的導出、綜合性應用問題上會有一定困難.

學習內容分析：

直線方程共有四種特殊形式，本節課學習第三、第四種特殊形式，其重要性略低于前兩種形式，使用頻率也不高.但在體現點斜式方程的應用，襯托點斜式方程的重要性及為學習一般式方程作鋪墊，體現由特殊到一般的知識歸納提升過程中有著重要意義.

本節的主要知識點是兩個方程的導出及應用，教學基于點斜式方程；引領學生學會一個數學方法——待定系數法，這種方法在確定曲線方程問題中是常用的重要方法；另外把方程思想、數形結合思想貫穿于課堂教學的始終，強調解析幾何的一般方法和思想.

通過對兩點式、截距式方程的學習，讓學生感受數學的對稱美、和諧美等特質.通過對兩點式方程由分式到整式的變形，幫助學生了解一般式方程中系數A、B的幾何意義【直線的方向向量即為（B，-A），法向量為（A，B）】，為學習直線的參數方程做鋪墊.使學生掌握整式形式的方程是已知兩點求直線方程并化為一般方程的技巧，為學生感性認識行列式、進一步學習高等數學埋下伏筆，體現搭建共同基礎，提供發展平臺的課程理念.

教學目標：

知識與技能：掌握直線的兩點式、截距式方程并會用于求直線方程的相關問題；

過程與方法：理解兩點式方程的導出過程，掌握求直線方程的直接法及間接法（待定系數法）；

態度、情感、價值觀：通過對方程形式美的發現，感受數學美和數學文化，進一步體會方程思想、數形結合思想、分類討論思想.

重點：1.掌握直線的兩點式方程及應用；2.掌握求直線方程的兩種基本方法.

難點：兩點式方程的建立，待定系數法的應用，綜合性問題的解決.

教法與學法：

采用閱讀－交流－展示－提升－檢測等步驟，通過生生互動、師生互動等方式，還時間于學生、還思維于學生，讓學生經歷知識概念及能力的形成過程.生、師的精講及學生的精練，體現學生學習先行，教師斷后的過程，達到提升學生能力的目的.

基于學情，教師讓學生先閱讀本節知識并小組交流，讓一名成績較好的學生講解兩點式方程的導出過程，教師通過追問讓全體學生深刻理解方程的內涵與外延.之后及時通過一定量的練習讓學生掌握方程并會靈活應用.為掌握待定系數法，教師通過舉例求一元一次函數解析式時可用待定系數法類比，求直線方程也可以用待定系數法并精講求解過程，讓學生明確步驟、學會方法.教師通過引導學生觀察、類比、歸納、化歸轉化、合作探究等方式，使學生轉變學習方式.

教學過程（含師生活動）：

復習回顧：讓學生回答上節課學習的直線方程的兩種形式：點斜式及斜截式方程，并明確已知及方程適用條件.

問題導入：利用點斜式、斜截式可求直線方程，若不知k，只知兩個點，能否求直線方程呢？

例已知兩點P1（3，-5），P2（-2，5），求直線方程.當兩個點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）變成一般的兩點，如何得出用這兩點坐標表示的直線方程？

進而導出新課，并展示學習目標，由一名學生到黑板上板演兩點式方程及截距式方程.

新知探究：

問題：探究在已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）時，如何求直線方程、讓學生閱讀教材，由一名學生講解方程的導出過程：

教師進一步追問學生：1.為什么要x1≠x2？2.為什么要y1≠y2？3.為什么在點斜式方程中要把y1≠y2除以到分母中去？進而引導學生進一步明確提升知識內涵及外延.

通過小組交流討論澄清以下易錯點：

1.這個方程由直線上兩點確定；

2.當直線斜率k不存在（即x1=x2）或k=0（即y1=y2）時,不適用（此時方程如何得到）；

3.形式（分式）對稱，也可用變形式：（y1-y2）x+ （x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，

此時x1=x2,y1=y2能否成立？

當堂訓練：

求過下列兩點的直線的兩點式方程，并化簡整理.

（1）P1（5，-3），P2（1，2）；（2）A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0）.

這兩題由小組搶答完成，由學生挑錯，教師提醒學生注意易錯點.對于第（2）題，教師可引導學生變形，發現另一種比較完美的直線方程形式：，并加以總結提升.

解題小結：

1.解題步驟：明確條件－代入公式－化簡整理；

2.截距式方程及說明：

（1）截距式方程適用于橫、縱截距都存在且都不為0（即ab≠0）的直線；

（2）形式對稱與和諧的特征，并舉出不是截距式方程的例子；

（3）橫、縱截距a、b不是距離，可以為任意實數.

3.四種特殊形式：點斜式（斜截式） 兩點式（截距式）

能力提升：

例1已知三角形ABC的頂點是A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），

（1）)求ABC三邊所在直線方程；

（2）求BC邊上中線所在直線方程.

由學生小組派代表板演完成，教師針對學生解題步驟不規范現象，以求邊AB、AC所在直線方程為例加以示范，特別是用（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0形式求解，讓學生體會這種形式的簡潔美.如做出如下排列（即行列式）：

代入公式，從而有［0-（-3）］x+[3-（-5）]y+（-5）×（-3）-3×0=0，即邊AB所在直線l方程：3x+8y+15=0.

教師強調解解析幾何題要養成畫圖的習慣，指出畫圖可以將抽象變直觀，且可以提示解題思路.

對于（2）邊BC及BC邊中線所在直線方程由學生獨立或討論完成，把學生的結果用視頻展臺展出，有問題的地方加以糾正.

例2已知直線l過點A（1,2），且與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程.

此題有難度，可先由學生小組交流討論，提出解法.如有困難，由教師舉例：已知一元一次函數圖像上兩點坐標，求此函數的解析式.提示學生此類題可用待定系數法求解，進而類比得出求直線方程也可用此方法：設方程－列方程組－解方程組－得出直線方程并提出變式問題.

方法：求直線方程的方法：直接法：明確條件－代入方程－化簡整理；間接法：待定系數法.

思想：方程思想、數形結合思想、分類討論思想.

當堂檢測（教學效果）：

針對學生層次分別設計出必做題（基礎和能力題）和選做題（拓展題）.

課后反思：

1.可取之處：（1）兩點式方程的教學由具體事例引入，再推廣到一般情形，讓學生經歷知識的形成過程.

（2）變教師講兩點式方程的導出為學生講，教師再采取追問的方式深入挖掘內涵，使學生透過現象看到本質.

（3）注重了數學美的挖掘，讓學生感受數學的對稱美和和諧美，引發學生學數學的興趣.

（4）注重了數學思想和方法的教學，數學思想是靈魂，數學方法是解決問題的手段.使方程思想、數形結合思想、分類討論思想貫穿了本節課的始終.

2.不足之處：（1）學生的合作學習質量不高.針對第二個教學目標，即讓學生學會一種求直線方程的間接方法——待定系數法，應讓學生充分交流討論，拿出結果和同學一起分享，對的可以借鑒，錯的吸取教訓，應相信學生有這個能力，通過合作學習可以獲得成功.

（2）本節課的課堂總結及方程的適用條件的處理，讓學生去歸納效果會更好.

3.創新點

（1）對數學美的挖掘，通過對方程形式美的發現，讓學生感受數學美.

（2）把分式方程變形為整式方程：（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，這應是本節課的一個創新處理.這個處理為學生將來學習高等數學中的行列式做了鋪墊，而且對學生了解直線方程的一般式中系數A、B的幾何意義，即（B，-A）為直線的方向向量做了鋪墊.而把兩點坐標排成下圖（行列式），再按箭頭方向確定系數和常數項的值，為學生快速地寫出直線方程提供了一個好方法.

（此教學設計曾獲教育部基礎教育課程教材發展中心“菁華杯”首屆全國教學設計大賽一等獎.）

編輯/王一鳴

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