例談充分必要條件法解決數(shù)學(xué)問題的途徑

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 周 華

例談充分必要條件法解決數(shù)學(xué)問題的途徑

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 周 華

偵探小說愛好者熟知千篇一律的情節(jié)，把懷疑的范圍逐步縮小，最后偵探發(fā)現(xiàn)了罪犯。事實(shí)上，解數(shù)學(xué)題也存在著類似的情況，我們在解數(shù)學(xué)題時(shí)經(jīng)常用到"充要條件"(即等價(jià)轉(zhuǎn)化)，但卻很少注重“充分條件”和“必要條件”的應(yīng)用，本文旨在通過幾例說明“必要條件”在解題中的應(yīng)用，先求出使得命題成立的“必要條件”，再由題設(shè)進(jìn)一步求出使得命題成立的“充要條件”，從而解決問題。

必要條件；充要條件；定義域；充分條件；等價(jià)轉(zhuǎn)化

我們在平常的教學(xué)中可以看到，大部分學(xué)生對充分條件和必要條件的理解普遍感到十分困難，抓不住它的本質(zhì)。雖然江蘇省高考數(shù)學(xué)考試說明中對這部分內(nèi)容的要求不是太高，但它作為一種數(shù)學(xué)的解題思想，對培養(yǎng)學(xué)生理解問題和解決問題的能力是有很大用處的。

定義2：理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性地判斷關(guān)系。“充分”相當(dāng)于“有我便已足夠，無需其他”；“必要”相當(dāng)于“沒它不行，但唯有它也未必行”。

眾所周知，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，并且通過等價(jià)轉(zhuǎn)化得到的結(jié)論是不需要檢驗(yàn)的。

但在數(shù)學(xué)解題中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這時(shí)只有“退而求其次”，可以考慮用非等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法來解題，常見的方法有“先必要后充分”和“先充分再必要”，本文主要談?wù)勏日页鍪菇Y(jié)論成立的必要條件，然后再驗(yàn)證其充分性。

一、運(yùn)用充分必要條件法解決數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的內(nèi)容，也是歷年高考、競賽的常見題型，近幾年江蘇高考題很喜歡把數(shù)列定義成為壓軸題，用來拉開分?jǐn)?shù)，選拔人才。呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題，特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點(diǎn)，往往入手比較困難，不容易想到解題思路，有時(shí)還會出現(xiàn)運(yùn)算量比較大的情況，所以在此類問題中巧妙運(yùn)用充分必要條件的解題思想往往會給解題帶來方便。

這個(gè)不等式不能解，如果硬做，只能通過取值一個(gè)一個(gè)進(jìn)行嘗試可以得到答案，但是需要花的時(shí)間太長，在考試時(shí)很難算到答案。

故可以判斷最大正整數(shù)n的值為12。

評注：此類問題，若按數(shù)列的基本思路循規(guī)蹈矩，即用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式代入不等式兩邊，然后解不等式。思路簡單、清晰，學(xué)生容易上手，但由于化簡得到的不等式較大，屬于不可解的不等式，代入檢驗(yàn)的運(yùn)算過程復(fù)雜，計(jì)算量大，需要學(xué)生有足夠的耐心和細(xì)心，一般學(xué)生很難解到最終的結(jié)果（具體解法略），但若能找到其必要條件把它配成可以解的不等式也許能很快找到結(jié)論。

二、運(yùn)用充分必要條件解決含參數(shù)不等式恒成立問題

函數(shù)的基礎(chǔ)性強(qiáng)，特征性明顯，是高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的部分，也是學(xué)生普遍覺得比較頭疼的問題。習(xí)題中對函數(shù)的考查也是必不可少的，而函數(shù)的單調(diào)性，有關(guān)函數(shù)的不等式恒成立問題是考查的一個(gè)重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容。我們平常接觸的解決含有參數(shù)不等式恒成立的問題大概分成如下幾種：1.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題；2.直接轉(zhuǎn)化為最值問題；3.數(shù)形結(jié)合法。以上三種解法是幾種常用的基本方法，但是有些題目因?yàn)榉蛛x參數(shù)之后的函數(shù)表達(dá)式太大，導(dǎo)致到后面最值求不出來，從而得不到最終的結(jié)論。但如果能找到不等式成立的必要條件探索出參數(shù)的值，然后驗(yàn)證其充分性也許會事半功倍。

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，求k的最大值。

當(dāng)a≤0，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）。

當(dāng)a＞0函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，lna），增區(qū)間為（lna，+∞）。

（2）當(dāng)a=1，。 得到，代入不等式

這個(gè)時(shí)候直接求函數(shù)的最小值比較困難，轉(zhuǎn)而先找不等式恒成立的必要條件：

不等式對于x=1恒成立

然后驗(yàn)證當(dāng)k=2，在x＞0恒成立。

利用導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)g（x）在（0，1）為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)。

所以k=2,在x＞0恒成立。所以k的最大值為2。

評注：此類問題，用導(dǎo)數(shù)求解一類參數(shù)取值范圍或最值的問題在高考中很常見，而本題用常規(guī)的等價(jià)轉(zhuǎn)化即分離常數(shù)再求相應(yīng)函數(shù)的最值難以求解，而解答方法——“先必要后充分”是一種容易掌握的好方法。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的大題往往放在最后兩個(gè)題中，如果能夠掌握這種方法，就可以在高考中取得明顯的優(yōu)勢。

化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，也是高考重點(diǎn)考查的方法之一。而大多數(shù)考題或者是大家的解題習(xí)慣多是實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化，即尋找題目求解的充要條件，很少涉及不等價(jià)轉(zhuǎn)化。以上幾道例題都有一定難度，而善于利用尋找必要條件，可以達(dá)到化繁為簡，化難為易，避免了分類討論，實(shí)現(xiàn)大題小做。因此，利用必要條件解題，可以縮小參數(shù)范圍，開闊解題思路，優(yōu)化解題過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。