懸臂梁不同單元類型計算誤差分析

張永超，佟麗莉，曹 婧,呂 晨

(1.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱師范大學 數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150025)

懸臂梁不同單元類型計算誤差分析

張永超1，佟麗莉1，曹 婧2,呂 晨1

(1.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.哈爾濱師范大學 數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150025)

為了研究懸臂梁用不同單元類型計算應力結果與真實測量值的誤差和該誤差產生的影響因素。首先，用ABAQUS有限元軟件對懸臂梁結構進行殼單元建模和實體單元建模，分別計算出Mises應力值，再用經典材料力學方法計算出相同情況下懸臂梁Mises應力值，然后用電阻應變測試法計算出懸臂梁的真實應力值，計算出各種應力計算方法相對于真實測量值的誤差。最后，分別計算不同厚度懸臂梁，用殼單元和實體單元分別計算出的Mises應力值，將實體單元計算應力值代替真實測量應力值，得到殼單元計算結果相對于實體單元計算結果的相對誤差。研究結果表明，懸臂梁用實體單元計算出的Mises應力值相對于殼單元更加接近于真實測量值。隨著懸臂梁厚度的增加，殼單元計算結果的精度越來越小。對于同一厚度的懸臂梁，不同位置處殼單元計算應力值對于真實值的相對誤差近似為一常數。

懸臂梁；殼單元；實體單元；Mises應力；相對誤差

在實際工程中，對于薄壁結構進行數值模擬時，人們將薄壁結構簡化為殼單元進行計算的方法被廣泛應用到各個行業[1]。雖然這種殼單元的簡化可以大大提高計算效率，但是由此帶來的計算誤差往往不能被忽視。因此很有必要對不同單元類型數值模擬的工程問題進行誤差分析,以達到既能提高計算效率又能滿足工程精度的要求[2]。對于數值模擬分析中，用不同單元類型進行模擬，國內外學者開展了大量的研究工作。中南大學的張雅鑫等[3]用數值模擬的方法對泵車壁架進行多種單元類型的計算，得到用殼單元和實體單元對泵車壁架進行簡化計算的結果相對于真實結果偏小，并且用實體單元進行簡化的結果更接近于真實值。邱智學等[4]利用ABAQUS對一受話器播腳采用不同的殼單元類型進行了有限元分析和比較,并用ANSYS軟件的模擬結果進行檢驗。本文分別通過殼單元，實體單元和經典材料力學方法對懸臂梁受彎應力進行計算，計算結果與實際測量值進行對比得到各種計算方法的誤差值。再用實體單元模型的計算結果代替真實測量值，通過對不同厚度的懸臂梁進行殼單元數值模擬分析，進一步探討了殼單元計算懸臂梁的誤差影響因素。

1 計算過程及方法

1.1 懸臂梁結構尺寸和實驗方案

1.1.1懸臂梁結構尺寸

試驗用懸臂梁結構如圖1，截面尺寸分別為30 mm×30 mm、23 mm×23 mm的薄壁懸臂梁模型的幾何參數，及施加的載荷如表1。材料為202不銹鋼，材料的彈性模量2.3×105MPa、密度7 850 kg/m3、泊松比0.29、屈服強度≥345 MPa、抗拉強度490～630 MPa。

表1 懸臂梁模型幾何參數

懸臂梁號H/mmh/mm懸臂梁長度l/mm端部載荷F/N懸臂梁一3028.41000100懸臂梁二2322100040

1.1.2實驗方案

測試點分布如圖2，在距離固定端尺寸分別為30，60，100，200，...，900 mm等共計選取11個測試點，應變片貼在懸臂梁受拉面對稱中心線上。

應變片粘貼之前要將粘貼表面磨光并擦拭干凈，保證應變片不會在測量過程中發生脫落的現象，擠出應變片下的氣泡和過量膠水，貼好的應變片要保證膠層均勾、位置準確、無氣泡和整潔干凈。應變片貼片前后以及接線前后都要使用萬用表進行檢測，確保線路連接正確，避免虛接、損壞等問題。

1.2 ABAQUS計算過程

1.2.1實體單元

材料參數：彈性模量為203 000 MPa;密度為7 850kg/m3;泊松比為0.29。

邊界條件為固支：U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0

載荷為Y方向集中力：FY=-100 N

網格：網格尺寸2 mm；網格形狀為六面體結構化網格；單元類型C3D8R八結點線性六面體單元。

1.2.2殼單元

材料參數：彈性模量203 000 MPa;密度7 850kg/m3;泊松比0.29;殼厚度0.8 mm。

邊界條件為固支：U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0

載荷為Y方向集中力：FY=-100 N

網格：網格尺寸2 mm；網格形狀六面體結構化網格；單元類型S4R四結點曲面薄殼或厚殼。

1.2.3材料力學計算方法

實際工程中，懸臂梁發生橫力彎曲較為常見，橫力彎曲不僅有正應力，而且還有切應力，由于切應力的作用，橫截面才會發生翹曲，平面假設不成立。但是經過理論分析證明，對于跨度與橫截面高度之比大于5的細長梁，可以簡化成不考慮橫力彎曲的形式，材料力學公式仍然適用。

取懸臂梁上表面中心線上一點作為研究對象

根據材料力學中第四強度理論(形狀改變比能理論)：

(1)

通過平面應力狀態應力圓分析法得到下式：

(2)

σy=σz=0,再根據切應力互等定理：τyz=τzy=τxz=τzx=0

得：

(3)

又σmax=σx

(4)

所以得：

(5)

2 計算結果和分析

2.1懸臂梁1結果分析

根據懸臂梁1有限元實體單元和有限元殼單元模型計算結果，最大Mises應力分別為136.8、130.9 MPa,均靠近懸臂梁固定端。

在有限元模型中找出與實測點相同位置的Mises應力，得到實體單元計算值、殼單元計算值、材料力學計算值，以及實體單元計算值、殼單元計算值、材料力學計算值分別對實驗值相對誤差，相對誤差絕對值平均值如表2所示，計算值和實驗值的對比曲線如圖3。

表2表明，對于實體單元模型，各測試點對于實驗值的應力相對誤差都在10%以內，平均相對誤差為4.824%，小于5%，滿足工程要求；對于殼模型，各測試點相對于實驗值的應力相對誤差都在20%以內，平均相對誤差為9.088%，小于10%，和實際測量值誤差較大；對于材料力學計算方法所得出的結果，各測試點相對于實驗值的應力平均相對誤差為26.879%，與真實值的誤差最大。可見，用有限元軟件做懸臂梁受彎構件所得的彎曲應力比用材料力學計算方法做懸臂梁受彎構件所得的彎曲應力更為準確。有限元實體單元比殼單元更適合懸臂梁的應力計算。

表2 懸臂梁1的不同計算方法計算值及相對誤差

表3 懸臂梁2各種計算方法計算值及相對誤差

2.2懸臂梁2結果分析

根據懸臂梁2的有限元實體單元和有限元殼單元模型計算結果，最大Mises應力分別為147.3、119.3 MPa,均靠近懸臂梁固定端。

在有限元模型中找出與實測點相同位置的Mises應力，得到實體單元計算值、殼單元計算值、材料力學計算值，以及實體單元計算值、殼單元計算值、材料力學計算值分別對實驗值相對誤差，相對誤差絕對值平均值如表4所示，計算值和實驗值的對比曲線如圖4。

表3表明，對于實體單元模型，各測試點對于實驗值的應力平均相對誤差為4.337%，小于5%，滿足工程要求；對于殼單元模型，各測試點相對于實驗值的應力相對誤差都在20%以內，平均相對誤差為6.869%，小于10%，和實際測量值誤差較大；對于材料力學計算方法所得出的結果，各測試點相對于實驗值的應力平均相對誤差為22.786%，與真實值的誤差最大。可見，用有限元軟件做懸臂梁受彎構件所得的彎曲應力比用材料力學計算方法做懸臂梁受彎構件所得的彎曲應力更為準確。有限元實體單元比殼單元更適合懸臂梁的應力計算。驗證了對懸臂梁1計算所得的結論。

2.3不同壁厚懸臂梁計算結果分析

為探究殼單元計算懸臂梁受彎應力與真實值的相對誤差的影響因素，設置長度為1 000 mm，厚度T分別為0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4、1.6、1.8、2.0 mm的懸臂梁，截面如圖5所示。

根據以上討論，用實體單元應力計算結果與實際測量值誤差不到5%，所以可以用實體單元的應力計算結果代替實際測量值。分別用殼單元和實體單元計算不同厚度懸臂梁，距固定端200、400、600、800 mm處的Mises應力值，得到表4。

表4 不同厚度懸臂梁在不同位置殼單元相對實體單元誤差表 單位：%

根據上表所得數據，得到距固定端相同位置處，不同厚度的懸臂梁用殼單元計算應力值相對于用實體單元計算應力值的誤差曲線，如圖6所示。同時也得到了，同一厚度，距固定端不同位置處的懸臂梁用殼單元計算應力值相對于用實體單元計算應力值的誤差曲線，如圖7所示。

由表4、圖6和圖7可知，不同厚度的懸臂梁，用殼單元計算應力結果相對于實體單元計算應力結果的誤差是不同的。隨著懸臂梁厚度的增加，誤差值也隨之增大。這是因為隨著壁厚的增加，模型不能忽略截面法線方向的正應力，就不能再用殼單元來近似計算，也就是說殼單元更加適用于薄壁模型。

對于同一厚度的懸臂梁，用殼單元數值模擬的應力值相對于用實體單元數值模擬應力值的相對誤差，在距固定端不同位置處近似為一常數。

3 結論

1)用不同單元類型對懸臂梁進行數值模擬分析，應力計算結果精度是不一樣的。用殼單元和實體單元對懸臂梁進行數值模擬的結果相對于真值偏小，其中殼單元的誤差較大，結果精度低；實體單元誤差小于5%，結果精度高，滿足工程要求。

2)懸臂梁壁厚對用殼單元數值模擬懸臂梁受彎應力的精度有影響，隨著懸臂梁厚度的增加，計算精度隨之降低。

3)對于同一厚度的懸臂梁，用殼單元數值模擬的應力值相對于用實體單元數值模擬應力值的相對誤差，在距固定端不同位置處近似為一常數。

[1]CAE應用聯盟 張建偉.ABAQUS 6.12有限元分析從入門到精通[M].北京：機械工業出版社, 2015.

[2]高廣軍, 田紅旗, 姚 松.有限元三維實體單元與殼單元的組合建模問題研究[J].中國鐵道科學, 2002, 23(4):52-54.

[3]張雅鑫.泵車臂架有限元多種單元計算的比較研究[D].長沙：中南大學, 2014.

[4]邱智學, 黃菊花, 謝世坤,等.ABAQUS殼單元在有限元分析中的應用研究[J].模具技術, 2003(5):9-11.

[5]林 芳, 鄂大辛, 張敬文.單元類型對有限元計算彎管截面畸變及壁厚變化的影響[J].精密成形工程, 2012(3):10-13.

(責任編輯 李軍)

Calculation error analysis of cantilever beam of different element types

ZHANG Yongchao1,TONG Lili1,CAO Jing2,LV Chen1

( 1． College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Heilongjiang Harbin 150001，China; 2． College of Mathematical Sciences，Harbin Normal University，Heilongjiang Harbin 150025，China)

To study the error of calculated stress results and real measurement values of the cantilever beam with different element types and the its influencing factors, firstly, ABAQUS finite element software was used to model the shell element and solid element, and the stress value of Mises was calculated. Then the classical mechanics of materials method was used to calculate the same cantilever beam under Mises and the resistance strain test method was used to calculate real cantilever stress values. Finally, the shell element and the solid element of different thickness of the cantilever beam were used to calculate the Mises stress value. The results show that the Mises stress value calculated by the solid element is more close to the true value than the shell element. With the increase of the thickness of the cantilever beam, the accuracy of the calculation results of the shell element is getting smaller and smaller. For the same thickness of the cantilever beam, the relative error of the calculated stress value of the shell element at different position of the shell element is a constant.

Cantilever beam; shell element; solid element; Mises stress; relative error

1673-9469(2016)04-0005-05

10.3969/j.issn.1673-9469.2016.04.002

2016-08-01

國家自然科學基金資助項目(S2014GAT013)

張永超(1993-)，男，安徽滁州，碩士，從事先進復合材料與智能結構的研究。

TG333.17

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