圓柱剛體滾動的動力學分析

董焱章 李 鑫 曾紅燕

(汽車動力傳動與電子控制湖北省重點實驗室，湖北汽車工業學院汽車工程系，湖北 十堰 442002)

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圓柱剛體滾動的動力學分析

董焱章 李 鑫 曾紅燕

(汽車動力傳動與電子控制湖北省重點實驗室，湖北汽車工業學院汽車工程系，湖北 十堰 442002)

剛體滾動是理論力學中常見的問題，其摩擦力的分析一直受到研究者關注.筆者對圓柱剛體滾子受到任意集中力作用下的運動情況進行了分析，事實上只要圓柱剛體未離開支撐面，起實質作用的只有平行于支撐面的集中力分量，進而得到了相應情形下滾子的角加速度和質心加速度表達式，并研究了滾子角加速度和質心加速度的極值問題,從而提出了摩擦類型判別函數式；并對無摩擦條件下圓柱剛體的滾動狀態進行了探討；最后對滾子靜止不動、原地打滑、純滑動等特殊運動情況作了討論.

圓柱；剛體滾動；摩擦力；角加速度；質心加速度

Hubei University of Automotive Technology, Shiyan, Hubei 442002)

剛體滾動問題分析一直是理論力學平面運動教學的一個難點.圓柱剛體在運動過程中，存在滑動和滾動兩種基本的運動形式，其中摩擦力的分析是關鍵.摩擦力又分為靜摩擦力和動摩擦力.對于圓柱剛體滾動來說，圓柱純滾動時通常受到靜摩擦力的作用，而靜摩擦力的方向往往難以直觀判斷，不少學者對其展開了分析[1-7]；圓柱剛體又滾又滑時所受的摩擦力為滑動摩擦力，其方向與接觸點處的相對運動方向相反，此時不同于純滾動時的靜摩擦力分析[8-11]；此外，研究者還對摩擦力做功[12-15]、側向摩擦力[16]、支撐面滾動摩阻[17-19]甚至柱面曲率[20]等情形進行了探索.在圓柱剛體滾動的動力學分析中，主動力的大小、方向、作用點都是影響剛體滾動狀態的重要因素，研究者對此分析相對較少，本文將從理論力學基本理論[21]出發，分別按照純滾動和又滾又滑兩種運動情形，對圓柱剛體滾子在一般力作用下的動力學問題進行系統分析.

1 問題介紹

如圖1所示，初始時刻一質量為m、半徑為r的剛性圓柱靜止于水平地面上，現施加一力F1作用于A點，使其在地面上發生滾動，已知該力方向與水平方向的夾角為θ，且作用點A與圓柱質心C點的距離為e，圓柱的回轉半徑為ρ，又圓柱與地面間動、靜摩擦因數相等fd=fs=f.試分析圓柱的角加速度α和質心加速度aC.

圖1 純滾動時圓柱的受力分析和運動分析(橫截面圖)

分析圓柱剛體滾動的角加速度和質心加速度的關鍵是滾子所受摩擦力方向的判定，下面將按照純滾動和又滾又滑兩種運動情形，系統分析圓柱剛體滾子在任意集中力作用下的動力學問題.

2 圓柱剛體純滾動情形的動力學分析

如圖1所示，此時靜摩擦力Fs方向可任設(此處不妨設與F1水平方向分量反向).由剛體平面運動的動力學方程可得

(1)

(2)

(3)

若mg小于F1sinθ，則圓柱會離開地面，而這與其在地面上發生滾動的前提不符，因此圓柱在地面作純滾動需保證mg大于F1sinθ，此時地面對圓柱有支撐力作用，即FN>0；此時起實質作用的只有平行于地面的集中力水平分量(F1cosθ).

又純滾動存在運動學關系為

(4)

聯立可得圓柱角加速度為

(5)

相應的圓柱質心加速度為

(6)

式(6)表明，θ與e為可分離的因變量，分離后α和aC關于θ為三角函數，而關于e是線性函數.由簡單的函數單調性分析可知，當e=r(F1作用于圓柱最高點)且θ=0°(F1水平方向施加)時α(aC)取最大值(θ=180°時，取反向最大值)，此時

(7)

特別地，當e=-r(F1作用于B點)或θ=90°(F1豎直方向施加)時，aC=0，α=0，又圓柱初始狀態靜止，故該條件下圓柱靜止不動！

而在e≠-r且θ≠90°時，α方向均取決于θ：θ<90°時，α沿順時針(圖1假設方向)；θ>90°時，α沿逆時針；相應的aC方向與集中力水平分量同向.此時由式(5)結合式(3)可得靜摩擦力為

(8)

又由|Fs|≤fFN可得圓柱做純滾動的摩擦條件

(9)

式中,Ψ(θ,e)為摩擦類型判別函數.

由式(8)可推知：當-r0，這與前面Fs假設方向相一致，此時上述推論全部成立；當ρ2/r

這里需要對3類特殊情況的動力學分析進行討論：

(1)θ=0°(F1水平方向施加)此時前述結論式可退化為

(10)

(11)

相應的參數特征與文獻相關闡述[21]保持一致.

(2)e=0(F1作用于圓柱質心)此時相應結論式可退化為

(12)

(13)

此時α、aC、Fs均關于θ為余弦函數.

(3)f=0(地面光滑)此時剛體平面運動的動力學方程退化為

(14)

(15)

進而可直接求得

(16)

可知，當且僅當e=ρ2/r時，才能滿足圓柱作純滾動的運動學關系式aC=rα，這恰好是純滾動摩擦條件(9)的特例.

3 圓柱剛體又滾又滑情形的動力學分析

圓柱又滾又滑時受到滑動摩擦力，而滑動摩擦力是以絕對值出現在動力學方程中，因此需要分左、右兩種情形預設滑動摩擦力的方向.

3.1 滑動摩擦力方向向左(如圖2所示)

圖2 又滾又滑時圓柱的受力分析和運動分析 (滑動摩擦力向左)

(17)

同樣地，要使圓柱在地面上又滾又滑，也需保證mg大于F1sinθ，即FN>0；對于又滾又滑，也存在庫倫定律

Fd=fFN

(20)

聯立可得，圓柱的角加速度為

(21)

圓柱的質心加速度為

(22)

令α=0，得

(23)

令aC=0，得

(24)

(1) 若α=0，aC=0，又圓柱初始狀態靜止，此時圓柱靜止不動；

(2) 若α≠0，aC=0，此時圓柱原地打滑，有

(25)

(3) 若α=0，aC≠0，此時圓柱純滑動(平動)，有

(26)

將式(22)對θ求一階導，得

(27)

令式(27)等于零，可得，

(28)

又aC關于θ的三角函數關系如圖3所示，可知當θ=arctanf時，aC取正向最大值，有

(29)

圖3 質心加速度aC隨θ變化的函數圖

而當θ=π+arctanf時，aC取反向最大值，有

(30)

類似式(6)的分析，由式(21)可知，α在(0°,r)及(180°,-r)處均取最大值，即

(31)

由前提條件(圓柱受到向左的滑動摩擦力)，加之圓柱初始時刻速度為零，因此地面接觸點B有向右滑動的趨勢，如圖4所示，aB=aC+aBC方向向右為

(32)

從而可得圓柱受到向左的滑動摩擦力條件為

(33)

動摩擦因數f為非負值，因此式(33)右邊需要保證為正，即θ≠90°、e≠ρ2/r且當0°≤θ<90°時，-r ≤e <ρ2/r，當90°<θ ≤180°時，ρ2/r

圖4 B點加速度矢量合成圖

同樣地，這里也對3類特殊情況的動力學分析展開討論：

(1) θ=0°(F1水平方向施加)此時相應地前述結論式可退化為

(34)

(35)

(2) e=0(F1作用于圓柱質心)此時相應地前述結論式可退化為

(36)

(37)

(3) f=0(地面光滑)此時剛體平面運動的動力學方程退化為

(38)

最后的情形(3)，若e=0，則α=0，aC≠0，即圓柱作純滑動(平動)！

3.2 滑動摩擦力方向向右(如圖5所示)

圖5 又滾又滑時圓柱的受力分析和運動分析 (滑動摩擦力向右)

與滑動摩擦力Fd方向向左情形相比，摩擦力方向向右的情形需要對涉及Fd的平衡方程相應項作反號處理，故情形3.1含有“f”的結論只需做同樣的反號處理即可適應于情形3.2，此時，保證圓柱剛體受到向右滑動摩擦力的條件為

(39)

4 結語

初始靜止在地面的圓柱剛體，在任意集中力作用下滾動，若已知剛體所受主動力的大小(F1)、方向(θ)、作用點(e)及其自身相關物理參數(m、r、ρ)時，通過比較摩擦因素f與摩擦類型判別函數Ψ(θ,e)的大小關系，即可快速判定圓柱所受摩擦力的情形，進而確定圓柱剛體滾動的動力學運動量(質心加速度和角加速度)：

(1) 當f≥|Ψ(θ,e)|時，圓柱作純滾動，一般存在靜摩擦力，其方向取決于作用點的位置、圓柱體半徑及慣性矩等因素，但靜摩擦力的存在并不是圓柱作純滾動運動的必要條件，在光滑地面上，滿足條件(e=ρ2/r)的圓柱剛體依舊可作純滾動；

(2) 當f<Ψ(θ,e)時，圓柱作又滾又滑，動摩擦力方向與主動力的水平分量同向，并得到了圓柱剛體靜止不動、原地打滑、純滑動等特殊情況的摩擦條件；

(3) 當f<-Ψ(θ,e)時，圓柱作又滾又滑，動摩擦力方向與主動力的水平分量反向，此時與情形(2)類似，相應的公式中摩擦因數f反號.

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審稿人意見摘錄：

1. 作者對圓柱剛體滾子受到任意集中力作用下的運動分情況進行了完整討論，對該內容教學有一定的意義;

2. 兩個參量e和θ是可分離因素，而且分離之后對e是線性函數，對θ是三角函數；這兩者的極值都無需要求導。這樣分析的數學成本就低多了，文字也會簡潔一些;

3. 只要圓柱沒離支撐面，應該起作用的是力平行于支撐面的分量在起作用;

4. 其他見批注稿(請仔細斟酌).

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DYNAMIC ANALYSIS FOR THE ROLLING OF CYLINDRICAL RIGID BODY

Dong Yanzhang Li Xin Zeng Hongyan

(Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control, Department of Automobile Engineering,

Rolling of rigid body is a common problem in theoretical mechanics, and the analysis of friction has attracted researchers. In this paper, a cylindrical rigid roller under an arbitrary concentrated load is analyzed according to different cases. In fact, as long as the cylindrical rigid roller is not away from its support, only the parallel component of the concentrated load plays an essential role. Then the angular acceleration and the acceleration of mass center of the roller are derived, and their extreme value results are obtained. Sequentially the general form of friction discrimination function is proposed. Rolling state of cylindrical rigid body under the frictionless case is also explored. Finally, statics, in-situ slipping, pure sliding and other special movement cases are discussed.

cylinder； rigid body rolling； friction force； angular acceleration； acceleration of mass center

2016-03-16

國家自然科學基金青年科學基金(11502075)，湖北省自然科學基金(2014CFB629)，湖北汽車工業學院博士科研啟動基金(BK201501)資助項目.

董焱章，男，講師，主要從事工程力學、結構與多學科優化、超材料設計等方面的研究.dongyz@huat.edu.cn

董焱章，李鑫，曾紅燕. 圓柱剛體滾動的動力學分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：34-38.