等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程

俞錦濤 陶宗明

(1解放軍陸軍軍官學院學員三旅，安徽 合肥 230031；2解放軍陸軍軍官學院基礎部物理教研室，安徽 合肥 230031)

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等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程

俞錦濤1陶宗明2

(1解放軍陸軍軍官學院學員三旅，安徽 合肥 230031；2解放軍陸軍軍官學院基礎部物理教研室，安徽 合肥 230031)

不可壓縮流體的伯努利方程在解釋飛機機翼升力時出現了矛盾.從這個矛盾出發，本文建立理想氣體的等溫過程模型，運用能量守恒推導出了等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程.通過比較分析可知:不可壓縮理想氣體的伯努利方程在等溫條件下形式上可變成等溫可壓縮理想氣體的伯努利方程,但本質上是有區別的；與等熵條件下的伯努利方程比較，兩者成立條件不同,方程的形式也不一樣;等溫條件與等焓條件在本質上是一致的, 伯努利方程形式和本質都不變.

伯努利方程；理想氣體；等溫條件；可壓縮條件

一般大學基礎物理教材中的伯努利方程是在不可壓縮條件下推導出來的，它描述了流體沿著一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為，該方程是流體力學的一個重要規律.對于液體而言，不可壓縮的條件很容易滿足，但是對于氣體而言，不可壓縮的條件就有點苛刻了.

圖1是分子之間作用力與距離的關系[1]，液體的分子間距在r0(r0為平衡距離)附近，氣體的分子間距一般在10r0以內，根據圖1可以看出當分子間距小于r0時，斥力急劇增大，因而液體不易被壓縮；而氣體的分子間距約在r0～10r0之間，相互作用力表現為吸力，因而易被壓縮.在運用不可壓縮流體的伯努利方程解釋與氣體相關的一些問題時，可能就遇到了一些矛盾.圖2是飛機機翼升力的示意圖，一般的解釋是機翼的升力來自于上下兩部分的壓強不同，由不可壓縮流體的伯努利方程可知，上方流速大壓強小，下方流速小壓強大，由壓強差產生了升力.但由理想氣體壓強公式p=nkT可知,若大氣溫度相同，機翼上下方的壓強不同只能是由氣體分子數密度n不同引起的.氣體分子數密度不同，也就是氣體密度不同，這就與不可壓縮的條件矛盾！也就是說，用不可壓縮條件下伯努利方程，得出了結果氣體是可壓縮的？李復教授提出了在等熵條件下可壓縮流體的伯努利方程[2]，等熵條件是指流體和外界沒有熱量交換，這一過程進行比較快，氣體來不及與外界交換能量.低速可壓縮條件下氣體的伯努利方程形式如何呢？等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程，它適用于低速情況，本文對這一方程進行了推導，并對該方程進行了分析和討論.

圖1 分子之間的作用力與距離關系

圖2 飛機機翼升力原理示意圖

1 理論推導

等溫過程是實際過程的一個很好近似，在這一過程當中，理想氣體的內能保持不變.

可壓縮的理想氣體，是指不考慮氣體內部的粘滯力的可壓縮氣體. 圖3是可壓縮理想氣體的示意圖，氣體沿著一橫截面變化的流管流動，且流管各處的高度不同.流管內氣體是穩流體，氣體在空間上不均勻，但在時間上均勻即不隨時間變化而變化，就是說對于流管的某處點Ai，壓強為pi、密度為ρi，當經過任意Δt時間后，Ai處密度和壓強不變.

圖3 可壓縮理想氣體的示意圖

把圖3中A到B之間的理想氣體作為一個系統，將A、B之間的氣體分割成質量相等的N等份，每一份的質量設為Δm.再設經過Δt的時間后，系統移動到A′、B′ 處(圖中虛線表示)，且A、A′之間的質量為Δm.由于考慮的系統是穩流體，則A′、B之間的氣體狀態不變，系統的移動過程可以認為是A、A′之間的質量為Δm的氣體直接轉移到了B、B′處.在圖3中，A、A′之間的體積元的高度是h1,壓強為p1,氣體所受的力F1，同樣的在B、B′之間的體積元分別為h2、p2、F2.設A、A′之間密度為ρ1和B、B′之間密度為ρ2，并且(A、A′)、(B、B′)兩微元氣體體積分別為ΔV1和ΔV2，內能分別為E1、E2.那么兩個外力對系統做的功ΔW為

ΔW=p1ΔV1-p2ΔV2

系統機械能和內能的增量為

由能量守恒可得

移項得

(1)

由焓的定義H=E+pΔV，上式可變為

令E1=ε1Δm，E2=ε2Δm，其中ε為單位質量氣體內能，將上述條件代入式(1)可得

兩邊同除以Δm，有

即

(2)

式(2)是推導出的可壓縮理想氣體的伯努利方程[3].

(3)

式(3)就是推導出的等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程.

2 比較分析

2.1 與不可壓縮理想氣體的伯努利方程比較

對于不可壓縮理想氣體(包括液體)，伯努利方程可表達為[4，5]

(4)

式(4)與式(3)從形式上看是不相同的.對于不可壓縮的理想氣體, 氣體的質量密度ρ是一個常數,式(4)兩邊同除ρ,可得

(5)

在等溫條件下，上式左邊的第一項是常數，則式(5)就可變成式(3).也就是說，不可壓縮理想氣體在等溫條件下的伯努利方程與等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程在形式上是一致的.但兩者在本質上是有區別的,不可壓縮理想氣體在等溫條件下的壓強和密度都是常數，而可壓縮理想氣體在等溫條件下的壓強和密度都可以變化，只是兩者的比值為常數.

2.2 與等熵可壓縮理想氣體的伯努利方程比較

等熵過程是指流體與外界沒有熱量傳遞.一般認為，等熵過程適用于高速流動的可壓縮理想氣體，在高速流動過程中，流體來不及與外界進行熱量交換.由泊松式以及pV=nRT，得

再結合歐拉方程，推導出[2,6]

(6)

其中，γ是定壓摩爾熱容和定體摩爾熱容之比，又稱為比熱比.

比較式(6)和式(3)可知，等熵過程的伯努利方程比等溫過程的伯努利方程左邊多了一項.這兩個過程的成立條件是不相同的，一個成立條件是等熵，另一個成立條件是等溫，等熵過程中系統與外界沒有能量交換，而等溫過程可以有能量交換，故這兩個方程在形式上不一樣是合理的.

2.3 與等焓可壓縮理想氣體的伯努利方程比較

焓的定義式為H=E+pΔV，其中內能E是溫度的函數，pΔV也是溫度的函數.如果系統的溫度不變，那么系統的焓也就不變，故等溫條件也就是等焓條件，等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程也就是等焓條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程.

3 結論

本文從不可壓縮的伯努利方程解釋飛機升力模型出現的矛盾出發，通過理論分析，得出以下結果：

(1) 建立了可壓縮理想氣體的伯努利方程，并導出了等溫條件下的簡潔形式.

(2) 不可壓縮理想氣體在等溫條件下的伯努利方程與等溫條件下可壓縮的伯努利方程方程在形式上是一致的,但本質上是有區別的.

(3) 等溫條件與等焓條件是一致的，等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程就是等焓條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程.

[1] 李洪芳.熱學[M].2版.北京：高等教育出版社，2001.

[2] 李復.可壓縮條件下的伯努利方程[J].大學物理，2008，27(8)：15-18,27.

[3] Van Wylen G J, Sonntag R E. Fundamentals of classical thermodynamics[M]. New York： John Wiley and Sons Inc.， 1965.

[4] 張三慧.大學基礎物理學上[M].2版.北京：清華大學出版社,2010.

[5] 嚴導淦.流體力學中的總流伯努利方程[J].物理與工程，2014,24(4)：47-53. Yan D G. The total flow Bernoulli equation in fluid mechanics[J]. Physics and Engineering. 2014, 24(4): 47-53.

[6] 莊禮賢,等.流體力學[M].2版.合肥:中國科學技術大學出版社，2009.

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THE BERNOULLI’S EQUATION OF COMPRESSIBLE IDEAL GAS UNDER THE ISOTHERMAL CONDITION

Yu Jintao1Tao Zongming2

(1Third Brigade, Army Officer Academy, Hefei, Anhui 230031;2Department of Basic Sciences, Army Officer Academy, Hefei, Anhui 230031)

Bernoulli’s equation of incompressible fluid appeared to be a contradiction when explaining the lift force on wing of airplane. From this point of contradiction, the model of isothermal process of ideal gas was established in this paper, and the Bernoulli’s equation of compressible ideal gas under the isothermal condition was derived by using the law of conservation of energy. Through comparison and analysis, we knew that the Bernoulli’s equation of incompressible ideal gas had the same form as the Bernoulli’s equation of compressible ideal gas under the isothermal condition, but they were different in substance. Compared with Bernoulli’s equation under the isentropic condition, the two had different forms and were suitable for different situations. The isothermal condition was the same as the isenthalpic condition, so the form and substance of the Bernoulli’s equation were same in two conditions.

Bernoulli’s equation; the ideal gas; isothermal conditions; compressible condition

2015-10-04

俞錦濤，男，軍校學員；陶宗明，男，教授，主要從事大學物理教學研究、激光雷達研制和激光雷達大氣探測研究等.zmtao@aiofm.ac.cn

俞錦濤，陶宗明. 等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程[J]. 物理與工程，2016，26(6)：72-74.