等腰三角形中悟分類思想

江蘇省海門市海南中學 龔 杰

等腰三角形中悟分類思想

江蘇省海門市海南中學 龔 杰

分類思想是初中階段的核心數學思想，也是中考的必考點。正確進行分類討論的關鍵是弄清楚分類的依據。對于初二學生而言，代數的分類經歷過絕對值的分類、方程無解的分類，幾何上遇到的分類情況就更少了，遇到分類討論比較多的就是等腰三角形這一特殊的三角形。等腰三角形中有很多涉及分類思想的題目，遇到這類題目，常犯的錯誤就是“漏解”，怎么才能避免這種情況的產生呢？如何從對等腰三角形的分類有進一步的理解后對分類思想有進一步的思考？本文從分類的依據入手，談談如何把握等腰三角形的分類點，從而正確做到“不重不漏”，避免“漏解”情況的發生。

三角形的基本構成元素就是邊和角，還有三條重要的線段。下面我們就這幾點來討論一下等腰三角形的分類情況。

一、遇邊要分為“腰”和“底”

例1 等腰三角形兩條邊的長度分別為7和8，則它的周長為_____ 。

分析：題目的已知條件中提到等腰三角形的兩條邊長，但是并沒有指明邊長7和8中，哪條長度是腰長，哪條長度是底邊的長，所以我們就要分類。當等腰三角形的腰長是7時，這個等腰三角形的底邊長就是8，則此時等腰三角形三條邊的長度分別為7，7，8，它的周長就是7+7+8=22；當等腰三角形的腰長是8時，這個等腰三角形的底邊長就是7，則此時等腰三角形三條邊的長度分別為7，8，8，周長就是7+8+8=23。然后我們考慮一下三角形的三邊關系，發現都可以。故這個等腰三角形的周長等于22或23。

例2 等腰三角形兩條邊長分別為4和8，則它的周長為_____ 。

分析：同例1一樣，題目的已知條件中提到等腰三角形的兩條邊長，但是并沒有指明邊長7和8中，哪條長度是腰長，哪條長度是底邊的長，所以我們仍然要分類。當等腰三角形的腰長是4時，這個等腰三角形的底邊長就是8，則此時等腰三角形三條邊的長度分別為4，4，8，它的周長就是4+4+8=16；當等腰三角形的腰長是8時，這個等腰三角形的底邊長就是4，則此時等腰三角形三條邊的長度分別為4，8，8，周長就是4+8+8=20。但是考慮到三邊組成三角形要滿足三角形的三邊關系，因為4+4=8，所以這種情況不成立。故這個等腰三角形的周長等于20。

歸納：在等腰三角形的題目中，若條件中涉及到等腰三角形的邊長，沒有圖又沒有明確哪條是底邊長，哪條是腰長時，應該在符合三角形三邊關系的前提下分類討論。

二、遇角要分為“頂”和“底”

例3 已知等腰三角形的一個內角的度數是70°，則它的三個內角的度數分別是_____。

分析：題目的已知條件中提到等腰三角形的一個內角的度數，但是并沒有指明70°是頂角還是底角，所以我們就要分類。當等腰三角形的頂角是70°時，這個等腰三角形的底角度數就是（180°-70°）=55°，則此時等腰三角形的三個內角的度數分別為70°，55°，55°；當等腰三角形的底角是70°時，這個等腰三角形的頂角度數就是180°-2×70°=40°，則此時等腰三角形的三個內角的度數分別為70°，70°，40°。

例4 已知等腰三角形的一個內角是110°，則它的三個內角的度數分別是_______。

分析：同例3一樣，題目的已知條件中提到等腰三角形的一個內角的度數，但是并沒有指明110°是頂角還是底角，所以我們就要分類。當等腰三角形的頂角是110°時，這個等腰三角形的底角度數就是（180°-110°）=35°，則此時等腰三角形的三個內角的度數分別為110°，35°，35°；當等腰三角形的底角是110°時，這個等腰三角形的頂角度數就是180°-2×110°=-40°，而三角形的內角不可能是負數，所以這種情況舍去。

歸納：在等腰三角形的題目中，若條件中涉及到等腰三角形的角的度數，沒有圖又沒有明確哪個角是頂角，哪個角是底角時，應該在符合三角形內角和是180°的前提下分類討論。頂角的取值范圍0°～180°，底角的取值范圍0°～90°。

例5 平面直角坐標系中有點A（3，-3），在x軸上確定一點P，使△AOP是等腰三角形，這樣的點P有______個。

分析：△AOP是等腰三角形，三角形中三個頂點A，O，P中點A，點O已確定，我們只要尋找點P即可。三角形的三條邊中邊AO已經確定，但是AO是腰還是底邊還不知道，這就需要分類討論了。

首先我們認為AO是腰，腰有兩個端點，誰是頂點還不確定，所以我們需要再次分類。

（1）AO為腰，A為頂點，那就說明AO=AP，所以我們只要以A為圓心，AO長為半徑，畫圓，與x軸的交點有2個，一個與O重合，另一個就是我們要找的第一個P點；

（2）AO為腰，O為頂點，那就說明OA=OP，所以我們只要以O為圓心，OA長為半徑，畫圓，與x軸的交點有2個，兩個都是我們要找的P點；這樣我們就找到了3個P點。

其次就是AO是底，底有兩個端點，都不是頂點，所以我們不需要分類。

（3）AO為底邊，P就是頂點，那就說明PA=PO，所以我們需要找一個P點到AO兩端點的距離相等，所以P在AO的垂直平分線上，我們畫線段AO的垂直平分線與x軸有1個交點，這就是我們腰找的第4個點P。

綜上所述，這樣的P點一共有4個。

歸納：對于尋找等腰三角形可以按照逐步分類的方法來思考，這樣就能不重不漏地找到了，而且不管題目如何變，在x軸上找，還是在y軸上找，用這個方法都能逐步解決。

三、遇高要分為“內”和“外”

例6 已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則頂角的度數為_________ 。

分析：三角形的高一般分為三種，銳角三角形的三條高都在形內，直角三角形的兩高在邊上，一條在形內，鈍角三角形的兩條高在形外，一條在形內。因為無圖，所以不知道頂角是銳角，直角還是鈍角，所以要分類討論。高在邊上不能形成夾角，所以直角舍去。我們可以畫出圖形進行解決問題。

由圖1可知頂角為45°，由圖2可知頂角為135°。

歸納：對于等腰三角形的中出現高，如果無圖就要分類討論，得出兩個結論，而且這兩個角是互補的。

通過以上對等腰三角形中分類思想的討論，我們應該對于分類思想有了基本的認識，在今后的幾何學習和代數學習中首先要弄清楚每一個知識點，才能在遇到分類情況時能夠又快又準地找到分類依據，從而就能不重不漏地進行解答。