芻議初中數學解題思路

江西省宜春市澡溪學校 鄭 瑤

芻議初中數學解題思路

江西省宜春市澡溪學校 鄭 瑤

初中數學教學中，教師除了需要做好基礎知識教授外，提高學生解題能力是其最重要的任務之一，這是因為數學是一門綜合運用性較強的課程，這就需要學生有良好的解題能力。然而從筆者多年初中數學教學工作情況來看，現階段學生解題能力現狀不容樂觀，這既有題型難度上升的影響，又有知識掌握不扎實的原因，但究其根本是受到學生普遍缺乏一些常用且有效的初中數學解題思路所致，針對這一情況，廣大教師應當在教學過程中結合相應例題將解題思路傳授給學生，從而為切實有效地提高他們的解題能力奠定堅實的基礎。

一、構造解題思路

根據筆者對相關文獻的研究以及結合自身實踐來看，構造解題思路主要指在充分分析問題基礎上，通過對其構造出諸如等價命題、函數或不等式的方法來將該問題予以解決。目前構造解題思路廣泛地應用在初中數學幾何與代數等題型之中，并且相比于常規方法具有解題效率高、計算量少以及結果準確性高等多方面優點。

二、待定系數解題思路

從實際教學工作來看，待定系數是一種較為特殊的解題思路，其主要是通過為問題設立出未知數，隨后通過題中所提供條件將未知數方程解出便能將答案求出。待定系數解題思路通常主要應用在函數題型之中，并且其在應用中具有三方面解題步驟：第一，在有效分析題目問題基礎上，為其設出一個待定字母系數關系式的未知數；第二，進一步分析題目所提供的已知條件，建立起含待定字母的未知數方程或方程組；第三，根據題目已知條件或隱含的各種等量關系將該方程解出，隨后將所設未知數求解即可。

例2 某超市推出一批童裝，它的成本價是60元一件。為了確保不虧本以及獲取相應利潤，超市規定這批童裝折后售價要高于成本價，但單件利潤又不能超過45%，之后通過一段時間售賣后可知，童裝售價a（元）和銷售量b（件）這二者恰好可以構成一次函數：b=ka+c。另外，當售價是75元時，賣了45件；而當售價是65元時，賣了55件。那么請問：①售價a（元）和銷售量b（件）構成的一次函數：b=ka+c具體是什么？②超市童裝銷售利潤為W，那么它和售價a二者構成一個怎樣的關系式？另外，如果超市想在該批童裝銷售上獲取最大利潤，那么單件售價應該定多少？且最大利潤是多少？

解題思路：本題目表述較長，提供了不少信息，對此學生應充分抓住題中重點以及已知條件。針對問題①，學生只需抓住題目中所提供當售價是75元時，賣了45件；而當售價是65元時，賣了55件這些已知條件便能夠將等式中的k與c解出。問題②關于超市童裝銷售利潤W關系式構建上，學生只需把握利潤=（售價-成本價）×銷售量這一等量關系，隨后分別將相對應的數字或未知數代入其中便能將銷售利潤W的關系式構建出來。其次在確定出銷售利潤W關的系式后，學生可以對其進一步整理，隨后根據其圖像便能夠將最大利潤與售價解出。

解：① 由題可知，童裝售價a（元）和銷售量b（件）這二者恰好可以構成一次函數：b=ka+c，并且當售價是75元時，賣了45件；而當售價是65元時，賣了55件。

將該方程組解出可得k=-1，c=120。

則童裝售價a（元）和銷售量b（件）這二者構成的一次函數是b=-a+120。

②根據利潤=（售價-成本價）×銷售量這一等量關系，超市童裝成本價為60元，且銷售量b的函數為-a+120，

則W=（售價-成本價）×銷售量=（a-60）（-a+120）=-a2+180a-7200

所以超市童裝銷售利潤和售價關系式為W=-a2+180a-7200。

又因為W=-a2+180a-7200，

將其整理變為W=-(a-90)2+900，

由此可知超市童裝銷售利潤W是一個開口向下的一元二次函數。

根據拋物線性質，當售價a小于90元時，超市童裝銷售利潤W會隨著售價上升而增加。

又因為超市規定售價不能低于成本價，且利潤不能超過45%，

所以該批童裝售價范圍是60≤a≤87B

因此超市要想獲取童裝銷售最大利潤，其售價a應該是87元。

則超市童裝銷售利潤W=-(a-90)2+900=-(87-90)2+900=891（元）。

答：①童裝售價a（元）和銷售量b（件）這二者可以構成的一次函數是b=-a+120。②超市童裝銷售利潤和售價關系式是W=-a2+180a-7200；當該童裝售價是87元時，超市最大利潤為891元。