旭日型磁控管諧振系統的等效電路模型與分析

曹振平

(江蘇聯合職業技術學院 蘇州分院， 江蘇 蘇州 215009)

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旭日型磁控管諧振系統的等效電路模型與分析

曹振平

(江蘇聯合職業技術學院 蘇州分院， 江蘇 蘇州 215009)

通過分析旭日型磁控管的等效電路，利用扇形諧振腔的等效電容和等效電感的計算公式，計算旭日型磁控管各模式的諧振頻率；簡化了諧振頻率的計算公式，得到了諧振頻率關于結構尺寸的解析表達式；分析了π模諧振頻率隨大、小腔的半徑、角度的變化情況。結果表明：等效電路計算結果與仿真結果基本一致，特別是π模諧振頻率十分相符。因此，該等效電路計算方法是可行的。π模諧振頻率隨大、小腔半徑和小腔角度的增大而減小，隨大腔角度的增大而增大，研究結果有助于旭日型磁控管的預先設計與分析。

旭日型磁控管；等效電路；模譜圖；π模諧振頻率

0 引 言

磁控管是一種大功率、高效率、低成本的微波源，廣泛應用于軍民領域。為使磁控管穩定工作，需要增大模式分隔度。對于波長大于3 cm的磁控管，通常采用隔模帶來增大模式分隔度；對于波長小于3 cm的磁控管，則采用旭日型諧振系統，便于加工，同時降低了高頻損耗，提高諧振腔的品質因數。此外，對于陽極塊高度較大的長波長磁控管，隔模帶效果不理想，可采用旭日型諧振系統。

旭日型諧振系統是一種異腔結構，由大小兩組尺寸不同的諧振腔交替排列而成，大諧振腔的諧振頻率較低，小諧振腔的諧振頻率較高。從慢波結構的角度分析，旭日型諧振系統屬于一種雙階系統，其色散特性曲線分成兩組，即有兩個通帶，一組頻率較高，另一組

頻率較低[1-2]。

求解磁控管的π模諧振頻率的方法主要有四種：場分析、計算機仿真、實驗冷測和等效電路法。其中，場分析法需要求解超越方程，且無法給出諧振頻率關于結構尺寸的表達式[3-6]；計算機仿真需要較長時間[7-8]；實驗冷測則需要加工出完整的磁控管，成本過高，不適于磁控管的預先分析與設計[9-10]；等效電路法通過電容、電感與結構的對應關系，求解出諧振腔的電容與電感，再通過磁控管等效電路得出諧振頻率的計算公式，進而得出諧振頻率關于結構尺寸的解析表達式[11]。

1 旭日型磁控管等效電路

1.1 等效電路模型

以常用的18腔旭日型磁控管為例，其橫截面如圖1所示。

圖1 旭日型磁控管的橫截面

圖1中，rc、ra、r1、r2分別為陰極、陽極、大腔、小腔的半徑，大、小扇形腔的角度分別為α1和α2，對于N腔旭日型磁控管，側壁角度為β=2π/N-α1/2-α2/2，厚度為τ=βra，諧振腔可以等效成電容C和電感L的并聯電路，對于磁控管諧振腔，還存在各腔之間的耦合電容，也就是陰陽極電容Ck，單個諧振腔的等效電路如圖2所示。

圖2 單個磁控管諧振腔等效電路

N腔磁控管的等效電路就是由N個圖2中等效電路首尾相接構成的。對于旭日型磁控管，由于相鄰諧振腔的大小不同，從而諧振腔等效電容和等效電感也不相同，其部分等效電路如圖3所示[16]。

圖3 旭日型磁控管諧振腔的部分等效電路

圖3中，L1、C1分別為大諧振腔的等效電感和等效電容，L2、C2分別為小諧振腔的等效電感和等效電容。

1.2 等效電路求解

對于N個同腔的磁控管，各模式的諧振頻率表達式為[1]

(1)

從而有

(2)

對于N腔旭日型磁控管，其頻譜特性會分裂成兩條曲線，即大、小諧振腔的頻譜曲線。對于大諧振腔，有

(3)

小諧振腔，有

(4)

若要計算整個旭日型磁控管的諧振頻率，則要綜合考慮大小腔諧振系統及其耦合，根據霍爾電壓及電流定律，可得旭日型磁控管諧振頻率的表達式為[16]

cosΦ=2cosφ1cosφ2-1

(5)

將式(3)、式(4)代入式(5)可得

(6)

式中：ω1,0、ω2,0分別為大小諧振腔的諧振頻率；Φ=4πn/N，n=1,2,…,N/2。

通過求解式(6)，即可得到各模式的諧振頻率。但是，式(6)不是模式頻率的顯式表達式，需要借助Matlab等計算工具才能方便求解，不便于分析計算。因此，需要對式(6)進行簡化處理。

通過對旭日型磁控管諧振系統分析可知[1]：(1)如果諧振系統激勵起的振蕩在較低頻率范圍之內，接近于單個大腔的諧振頻率，從相互作用空間來看，可以近似地認為小腔并不存在。這時，在大腔口處的高頻電場較強，而在小腔口處的高頻電場很弱，耦合主要存在于大腔之間。(2)當激勵起的振蕩在接近于小腔諧振頻率的范圍內時，可以近似地認為大腔并不存在。此時，在大腔口處的高頻電場較弱，而在小腔口處的高頻電場較強，耦合主要存在于小腔之間。(3)如果激勵起的振蕩頻率范圍落在大腔與小腔的諧振頻率之間時，大腔與小腔將同時起作用。這時，在大、小腔口處的高頻電場強度相差不大，是大、小腔間耦合最強的狀態，此時磁控管工作在π模。

頻率較低的模式，以大腔的振蕩為主，因此，可以忽略小腔的振蕩，采用式(3)計算低次模的諧振頻率；同理，頻率較高的模式，以小腔的振蕩為主，因此，可以忽略大腔的振蕩，采用式(4)計算高次模的諧振頻率。通常，耦合電容Ck相對于諧振腔電容C1、C2比較小，此時式(6)最后一項可以忽略，從而可以得到簡化的π模頻率表達式[13]

(7)

采用這種近似的處理方式僅限于一般的旭日型磁控管，若大小腔尺寸相近，則相互之間的耦合較強，使得近似處理的條件不再成立，但式(6)是通過電路分析得到的，其依然成立。當大小腔半徑相同時，即為同形腔的情形。此時，式(6)可以寫成

(8)

由于Φ=4πn/N，φ=2πn/N，Φ=2φ，cosΦ=cos(2φ)=2cos2φ-1，從而有

(9)

因此，式(6)的適用范圍比式(7)及其簡化方法更加廣泛。對于一般旭日型磁控管，該近似方法的可行性將在下一節進行證明。

采用扇形腔等效電感、電容的計算公式[15]，可得大腔等效電感、等效電容分別為

(10)

(11)

式中：D1=r1-ra，為大腔的深度。

小腔的等效電感、等效電容分別為

(12)

(13)

式中：與大腔類似，D2=r2-ra，為小腔的深度。

耦合電容表達式為

(14)

將式(10)～式(14)代入式(6)，即可求得旭日型磁控管各模式的諧振頻率。將式(10)～式(14)代入式(3)、式(4)、式(7)，即可通過簡化求解得到旭日型磁控管各模式的諧振頻率。其中，π模的諧振頻率表達式為

(15)

其中

2 等效電路的仿真驗證

以18腔旭日型磁控管為例，其各個結構尺寸分別為rc=1.22 mm，ra=2.03 mm，r1=4.95 mm，r2=3.68 mm，h=4.83 mm，α1=α2=12°。利用上一節的理論進行計算，采用CST軟件建立對應的仿真模型，計算各模式的諧振頻率。理論計算結果和仿真結果如表1所示。

表1 18腔旭日型磁控管各模式諧振頻率

表1中，相對誤差1為兩種計算方法得到的結果之間的相對誤差，采用|式(6)-簡化|/簡化×100%；相對誤差2為式(6)計算結果與仿真結果之間的相對誤差，采用|式(6)-仿真|/式(6)×100%。

為了更加直觀地表示，將上述結果用圖形的方式進行表述，三種方法得到的模譜如圖4所示。

圖4 18腔旭日型磁控管模譜圖

其他尺寸不變，將其改為20腔，理論計算結果和仿真結果如表2所示。

表2 20腔旭日型磁控管各模式諧振頻率

相對誤差1、2的計算方法與表1相同。

采用上述方法繪制其模譜圖，如圖5所示。

圖5 20腔旭日型磁控管模譜圖

從表1、表2、圖4、圖5中可以看出，式(6)以及簡化后的等效電路計算結果與仿真結果基本吻合，最大誤差出現在大腔的最低次模，也就是整個磁控管的最低次模，該結果與文獻[15]中的類似。主要原因是大腔的最低次模遠離π模，其電流分布與計算等效電感時所設定的電流分布有差別。但對于對工作性能有較大影響的大、小腔的高次模，特別是π模，理論計算結果與仿真結果十分相符，因此該等效電路理論對于分析π模及大、小腔的高次模是準確可行的。同時可以看到，采用完整的理論式(6)計算得到的結果與簡化后的理論計算結果基本相符。因此，對于一般的旭日型磁控管，可以采用簡化后的理論對其諧振頻率進行計算分析，但對于大小腔尺寸較為接近的旭日型磁控管，由于其鄰近腔之間的耦合較為強烈，需要采用完整的理論式(6)計算其諧振頻率。

3 π模諧振頻率影響因素分析

等效電路優勢在于能夠得到諧振頻率關于結構尺寸的解析表達式，從而便于分析各結構尺寸對諧振頻率的影響。在上一節的分析中，π模簡化理論計算結果與仿真結果非常吻合。與同腔磁控管相比，旭日型磁控管陰、陽極半徑對諧振頻率的影響相似，其特殊的影響因素是大、小腔的結構尺寸。因此，在陰、陽極半徑固定的條件下，利用式(15)分析大小腔的結構尺寸對π模諧振頻率的影響，由于式(15)的局限性，各結構尺寸取值時不能過于極端，因此，我們在上節采用的磁控管基礎上進行結構調整。

采用18腔旭日型磁控管模型，rc=1.22 mm，ra=2.03 mm，h=4.83 mm。按以下四種情形分析大小腔的半徑、角度對π模諧振頻率的影響。

情形1：r2=3.68 mm，α1=α2=12°，觀察大腔半徑r1對π模諧振頻率的影響；

情形2：r1=4.95 mm，α1=α2=12°，觀察小腔半徑r2對π模諧振頻率的影響；

情形3：r1=4.95 mm，r2=3.68 mm，α2=12°，觀察大腔角度α1對π模諧振頻率的影響；

情形4：r1=4.95 mm，r2=3.68 mm，α1=12°，觀察小腔角度α2對π模諧振頻率的影響。

將四種情形的結構尺寸代入式(15)進行計算，得到π模諧振頻率隨大腔半徑、小腔半徑、大腔角度、小腔角度的變化分別如圖6a)～圖6d)所示。

圖6 π模諧振頻率隨結構尺寸的變化

從圖6中可以看出，π模諧振頻率隨大腔半徑r1、小腔半徑r2和小腔角度α2的增大而減小，隨大腔角度α1的增大而增大，該結論與文獻[5]的場分析結論相符。因此，若要增大π模諧振頻率，可以在適當范圍內減小大腔半徑r1、小腔半徑r2和小腔角度α2，增大大腔角度α1。

從式(15)可以看出，π模諧振頻率與高度無關，這與實際情況是不相符的，其原因是等效電路理論沒有考慮臨近腔體之間的電感耦合。當腔體高度較小時，這種耦合會對諧振頻率產生較大的影響，但對于一般磁控管，特別是旭日型磁控管，其腔體高度通常較大，這種耦合的影響非常小。因此，本文的理論結果是適用的。

4 結束語

本文從旭日型磁控管諧振腔的等效電路出發，將同腔磁控管的等效電路理論應用到旭日型磁控管，得到了旭日型磁控管諧振系統的等效電路模型。通過對旭日型磁控管諧振特性進行分析，簡化了該等效電路方法，得到了旭日型磁控管諧振頻率關于結構尺寸的解析表達式。采用CST-MWS軟件建立了旭日型磁控管仿真模型并得到了各模式的諧振頻率，將仿真結果與等效電路計算結果進行對比。對旭日型磁控管π模諧振頻率解析表達式進行數值計算，分析了大小腔的半徑、角度對π模諧振頻率的影響。結果表明：各模式諧振頻率的等效電路計算結果與仿真結果相符，特別是π模諧振頻率。π模諧振頻率隨大腔半徑r1、小腔半徑r2和小腔角度α2的增大而減小，隨大腔角度α1的增大而增大。本文的研究結果有助于旭日型磁控管的預先設計與分析。

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曹振平 男，1963年生，本科，副教授。研究方向為電子技術、通信技術、探測技術等。

Equivalent Circuit Model and Analysis of Rising-sun Magnetron Resonant System

CAO Zhenping

(Suzhou Branch of Jiangsu Union Technical Institute, Suzhou 215009, China)

Equivalent circuit of rising-sun magnetron is analyzed in this paper, and resonant frequencies of each mode are calculated by expressions of equivalent capacitance and inductance of sector cavity. The formula of resonant frequency was simplified and then an expression of resonant frequency as a function of structure dimensions is derived. Moreover, the influence of structure dimensions on π-mode resonant frequency is analyzed. The results showed that the equivalent circuit result is consistent with simulation result, approximately. Especially, the π-mode resonant frequencies obtained by two methods are consistent well with each other. Besides, π-moderesonant frequency increased with the increasing of big cavity radius, small cavity radius and its angle, while it increases with the decreasing of small cavity angle. Therefore, the equivalent circuit theory in this paper is available and it can help to predesign and analyze resonant system of rising-sun magnetron.

rising-sun magnetron; equivalent circuit; mode spectrum; π-mode resonant frequency

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.12.015

曹振平 Email：2843899056@qq.com

2016-09-17

2016-11-19

TN957

A

1004-7859(2016)12-0073-05