銳角三角函數學習導引

本章的重點是銳角三角函數的定義和直角三角形的解法，難點是綜合運用知識解決實際問題.通過本章的學習，同學們要會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求相應銳角，能運用銳角三角函數解直角三角形及相關的實際問題.

一、深入理解銳角三角函數的概念

1.理解銳角三角函數的定義.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一個直角三角形中定義的，其本質是兩條線段的比值，沒有單位，其大小只與角的大小有關，與其所在的直角三角形的大小無關；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，銳角三角函數值[ab]、[ac]和[bc]都隨銳角A的大小變化而變化，也都隨銳角A的確定而唯一確定，因此它的大小僅與角的大小有關，而與所在的直角三角形的邊的長短無關；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一個完整的符號，tanA不是tan與A的積，離開了∠A，“tan”就沒有意義了，只有合起來，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符號tanA表示∠A的正切，在符號tanA中，習慣省去角的符號“∠”，當用希臘字母α、β等表示角時，其正切中角的符號習慣上也省去，但當用三個英文字母或阿拉伯數字表示角時，角的符號“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.應用銳角三角函數的定義.

例1 （2016·甘肅蘭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，則AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】先畫出圖形，如圖1，在Rt△ABC中，由銳角三角函數定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長代入即可求出AB的長.

【評注】熟練掌握銳角三角函數的基本概念是解好本題的關鍵，做題時邊讀題邊畫一個直角三角形，數形結合、看圖說話，可避免主觀出錯.

二、理解記憶特殊角的三角函數值

任意角的三角函數值都可以由計算器獲取，但由于特殊角的三角函數值常見常用，所以應當記憶，這樣便于我們運用它們進行計算、求值和解直角三角形.

另外，觀察表格，我們還有收獲.橫著看：正弦值、正切值，隨著角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，隨著角度的增大而減小.這個規(guī)律是不是一般規(guī)律？對所有的銳角三角函數都成立嗎？有興趣的同學可借助于計算器驗證一下自己的發(fā)現.豎著看：sin45°=cos45°；斜著看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.學習數學，要善于觀察、思考，這樣才能不斷提升自己.

例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.

A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

【分析】將特殊角的三角函數值代入后，化簡即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【評注】本題考查了特殊角的三角函數值，因此，一些特殊角的三角函數值需要我們在理解的基礎上熟練記憶.

例3 已知tanA=[23]，∠A為銳角，則∠A的取值范圍是（ ）.

A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°

C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°

【分析】要確定∠A的取值范圍，只要確定[23]在哪兩個特殊角的三角函數值之間即可.因為[33]<[23]<1，所以tan30°

【評注】解答本題不僅要熟記特殊角的三角函數值，還要理解“銳角三角函數的正切值隨著角度的增大而增大”這個規(guī)律.

三、解直角三角形及其應用

1.直角三角形各元素之間的關系.

如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A的對邊、∠B的對邊和∠C的對邊.除直角外的五個元素之間有如下的關系：

三邊之間的關系：a2+b2=c2；

兩個銳角之間的關系：∠A+∠B=90°；

邊角之間的關系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本類型及解法.

由此我們知道：在直角三角形的六個元素中，除直角外的五個元素，只要知道兩個元素（其中至少有一個是邊），就可以求出其余的三個元素.解直角三角形的知識廣泛應用于生活，尤其在測量過程中用于計算距離、高度、長度和角度等.

例4 （2016·江蘇蘇州）如圖3，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調整后的樓梯AC的長為（ ）.

A.[23]m B.[26]m

C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計算AC即可.

【解答】在Rt△ABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

∴AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

∴AC=[23sin45°]=[26]m，故選B.

【點評】解直角三角形的關鍵是抓住已知條件，利用已知的邊和角求出未知的邊，進而解決問題.

例5 （2016·四川巴中）一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數據如圖4所示，則下列關系或說法正確的是（ ）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（這個度的意義不是角度），它是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，是一個比值，一般用i表示，常寫成i=h∶l的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i=tanα.

【解答】根據坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形應用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含義是解題的關鍵.

例5 （2016·山東菏澤）南沙群島是我國固有領土，現在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，如圖5，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20[（1+3）]海里的C處，為了防止某國巡警干擾，就請求我國A處的漁監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.

[圖5][圖6]

【分析】本題屬于解直角三角形的應用——方向角問題，認真審題，理解方向是解題的關鍵.如圖6，過點A作AD⊥BC，垂足為D，設CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，進而可得出BD，結合題意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如圖6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

設CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，

在Rt△ABD中，可得BD=[3x]，

又∵BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

∴AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之間的距離為[202]海里.

【點評】此題考查了關于方向角方面的實際應用，解答本題的關鍵是根據題意構造直角三角形，將實際問題轉化為數學模型運用方程求解.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團南校區(qū)）