都是無圖惹的禍

我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一類題目，只用文字?jǐn)⑹鰜肀磉_(dá)題意，而不畫出具體的圖形，這時(shí)，我們就要多問問自己，為什么出題者不給出圖形？其目的是什么？難道有多種情況存在嗎？現(xiàn)歸納一下銳角三角函數(shù)中出現(xiàn)的此類問題，以提高同學(xué)們的免疫能力.

例1 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為14，一邊長(zhǎng)為4，求底角的余弦值.

【錯(cuò)解】如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=4，求cos∠B或cos∠C的值.

過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)三線合一得：BD=CD=2，在Rt△ABD中，cos∠B=[BDBA]=[25].

【錯(cuò)因】因?yàn)轭}目未給出具體的圖形，且條件給出的是“一邊長(zhǎng)為4”，語(yǔ)言敘述模糊，解題千萬(wàn)不能含糊.一些同學(xué)粗心大意，導(dǎo)致漏解.即只考慮了底為4的情況，而未考慮腰為4的情況.

【正解】

如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚牡诪?時(shí)，

cos∠B=[25]；

如圖2，當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，

cos∠B=[34].

∴底角的余弦值為[25]或[34].

例2 在△ABC中，AD是邊BC上的高，AD=2，DB=2，CD=[23]，求∠BAC的度數(shù).

[圖3][圖4]

【錯(cuò)解】根據(jù)題意畫出圖3，在Rt△ABD中，求出∠BAD=45°，在Rt△ACD中，

tan∠CAD=[CDAD]=[232]=[3]，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+60°=105°.

【錯(cuò)因】對(duì)題目的條件：“AD是邊BC上的高”，只考慮了高在△ABC內(nèi)部，未考慮高在△ABC外部，導(dǎo)致漏解.

【正解】當(dāng)高在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠BAC=105°；如圖4，當(dāng)高在△ABC外部時(shí)，即∠ABC為鈍角時(shí)，∠BAC=∠CAD-∠BAD=60°-45°=15°.

∴∠BAC的度數(shù)為105°或15°.

例3 在△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，則△ABC的面積為 .

[圖6][圖5]

【錯(cuò)解】如圖5，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，在RtΔABC中，BD=2，AD=[23]；在Rt△BCD中，CD=[BC2-BD2]=[5]，

∴AC=AD+CD=[23]+[5]，

∴S△ABC=[12]×AC×BD=[12]×（[23]+[5]）×2=[23]+[5].

【錯(cuò)因】俗話說：“邊邊角，不知道”，如圖6，30°角所對(duì)的邊BC有兩種情況，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，S△ABC=[23]+[5]；以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫圓，交AC于C′，則鈍角三角形ABC′也符合題意，所以本題應(yīng)有兩解.

【正解】當(dāng)∠C為銳角時(shí)，S△ABC=[23]+[5]；當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，S△ABC=[12]×AC′×BD=[12]×（[23]-[5]）×2=[23]-[5].

∴△ABC的面積為[23]+[5]或[23]-[5].

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像過點(diǎn)P（1，1），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且tan∠ABO=3，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .

【錯(cuò)解】如圖7，過點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，則PC∥BO，

∴∠ABO=∠APC，

∴tan∠ABO=tan∠APC=3，

在Rt△APC中，tan∠APC=[ACPC]=3，

∵PC=1，∴AC=3，∴AO=2，∴A（-2，0）.

【錯(cuò)因】圖形不確定時(shí)，要分情況討論，這對(duì)各位同學(xué)的動(dòng)手操作能力提出了較高的要求.

【正解】如圖7，當(dāng)k>0時(shí)，A（-2，0）；

如圖8，當(dāng)k<0時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D，

∵tan∠ABO=tan∠APD=3，在Rt△APD中，

tan∠APD=[ADPD]=3，

∵PD=1，∴AD=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

綜上所述：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）或（4，0）.

通過以上幾道無圖題的分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)題目不給出圖形時(shí)，我們就要多一個(gè)心眼，是不是有幾種不同的情況，有時(shí)命題者故意不畫出圖形，既考查我們的建模能力，又考查我們思考問題是否全面.通過這個(gè)專題的復(fù)習(xí)，我們應(yīng)該對(duì)“無圖題”有很高的警惕性，今后再遇到此類問題，我們的防漏解的意識(shí)一定會(huì)有很大的提高吧！

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市新街鎮(zhèn)中學(xué)）