“變形”計

劉虎

課本中的例題是掌握數(shù)學(xué)知識和方法的重要來源.例題本身往往并不復(fù)雜，但其示范作用不可小覷.若在學(xué)習(xí)時我們能夠厘清題中所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想與方法，掌握其解決問題的本質(zhì)，做到舉一反三、觸類旁通，無論題目如何演變，我們都可以輕松地在紛繁復(fù)雜的圖形中以不變應(yīng)萬變.

【原題再現(xiàn)】（蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九（下）第110頁例3）如圖1，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB.

【說明】本例題實質(zhì)是通過對圖形的分割，構(gòu)造出兩個特殊的直角三角形進(jìn)行求解.過點C作CD⊥AB，以CD為紐帶，分別在Rt△ADC和Rt△BDC中求出AD和BD的長，進(jìn)而求出AB.在解直角三角形的實際問題中，有許多圖形往往是由兩個直角三角形的位置或條件的變換得到的，請看下面幾種變形.

“變形”第一計：平移

例1 如圖2，在一滑梯側(cè)面示意圖中，BD∥AF，BC⊥AF于點C，DE⊥AF于點E.BC=1.8m， BD=0.5m，∠A=45°，∠F=29°.

（1）求滑道DF的長.（結(jié)果精確到0.1m）

（2）求踏梯AB底端A與滑道DF底端F的距離AF.（結(jié)果精確到0.1m）

（sin29°=0.48，cos29°=0.87，tan29°=0.55）

【分析】本題中所含Rt△ABC和Rt△FDE是由例題中的三角形Ⅰ、Ⅱ沿水平方向左右平移得到，因BC與DE本來重合，則BC=DE（也可由矩形BCED得到），可分別求DF、EF、AC.

解：（1）在Rt△DEF中，

∠DEF=90°，DE =BC=1.8，∠F=29°.

DF=[DEsinF]=[1.8sin29°]≈[1.80.48]≈3.8.

（2）EF=[DEtanF]=[1.8tan29°]≈[1.80.55]≈3.27.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°.

由∠A=∠ABC=45°得AC=BC=1.8.

又∵CE=BD=0.5，

∴AF=AC+CE+EF=1.8+0.5+3.27=5.6.

答： DF長約為3.8m，AF長約為5.6m.

“變形”第二計：翻折

例2 （2015·湖南婁底）為了安全，請勿超速.如圖3，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設(shè)立了觀測點C，從觀測點C測得一小車從點A到達(dá)B行駛了5秒鐘，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此車超速了嗎？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：[2]≈1.41，[3]≈1.73）

【分析】Rt△BDC可看成例題中的三角形Ⅱ沿著高CD翻折，再把整個圖形沿AB翻折后得到，解Rt△BDC和Rt△ADC得BD、CD、AD.（提示：例題和本題模型結(jié)合，還可以設(shè)計在無圖條件下，已知兩邊和第三邊上的高求第三邊長，注意兩解.）

解：過點C作CD⊥MN，垂足為D.

∵CD⊥MN，∠DBC=60°，∴∠BCD=30°，

∴BD=[12]BC=[12]×200=100，

∴DC=BC·sin60°=[1003]≈100×1.73=173，

∵CD⊥MN，∠CAD=45°，

∴∠DCA=∠DAC=45°，

∴AD=DC=173，AB=173-100=73，

∴73÷5=[735]（米/秒）.

∵60（千米/小時）=[503]（米/秒），

∴[735]（米/秒）<[503]（米/秒），故此車沒有超速.

“變形”第三計：旋轉(zhuǎn)

例3 如圖4，甲、乙兩數(shù)學(xué)興趣小組測山CD 的高度.甲小組在地面A處測量，乙小組在上坡B處測量，AB=200m.甲小組測得山頂D的仰角為45°，山坡B處的仰角為30°；乙小組測得山頂D 的仰角為58°.求山CD的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan58°≈1.60，[3]≈1.732）

【分析】在構(gòu)造直角三角形后，△BDF其實是由課本例題中的三角形Ⅱ繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到（只是表示位置變換，BE、BF不一定相等）.設(shè)BF=x，根據(jù)邊角關(guān)系，在△ABE、△BDF中求BE、AE、DF的值及表達(dá)式，因AC=DC列出方程求解.

解：過B作BE⊥AC，BF⊥DC，E、F為垂足，在矩形BECF中，BF=EC， BE=FC.

設(shè)BF=x，則EC=x.在Rt△ABE中，

BE=AB·sin∠BAE=200·sin30°=100，

AE=[1003]≈173.2，

DF=BF·tan∠DBF=x·tan58°≈1.60x，

在Rt△DAC中，∠DAC=45°，

∴CA=CD，即AE+EC=DF+ FC，

∴[1003]+x=100+1.60x，解之得x=122.0.

∴CD=CA=173.2+122.0=295.2.

答：山高約為295.2m.

“變形”第四計：翻折和平移

例4 （2016·江蘇淮安）如圖5，小宇想測量位于池塘兩端的A、B兩點的距離.他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點C處，測得∠ACF=45°，再向前行走100米到點D處，測得∠BDF=60°.

若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點之間的距離.

【分析】如圖6，過點A、B分別作AM⊥EF、BN⊥EF得到兩個直角三角形，會發(fā)現(xiàn)該圖相當(dāng)于例題中的三角形Ⅱ沿高CD翻折后再平移得到，由于AB=MN=CN-CM，所以求得CM、CN的長即可解決問題.

解：過點A作AM⊥EF于點M，過點B作BN⊥EF于點N，由題意可得，AM=BN=60（米），CD=100（米），∠ACF=45°，∠BDF=60°，

∴在Rt△ACM中，CM=AM=60，

在Rt△BDN中，DN=[BNtan60°]=[603]=[203]，

∴AB=CD+DN-CM=100+[203]-60=（40+[203]）米，

即A、B兩點間的距離是（40+[203]）米.

“變形”第五計：翻折并擴(kuò)大（縮小）

例5 如圖7，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為α和β，矩形建筑物寬度AD=20m，高度DC=33m.求：

（1）試用α和β的三角函數(shù)值表示線段CG的長；

（2）如果α=48°，β=65°，請求出信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG的值.（結(jié)果精確到1m）

（參考數(shù)據(jù)：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°

=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）

【分析】圖中Rt△FCG可看成例題中的三角形Ⅱ沿高CD向左翻折，再擴(kuò)大后得到的，分別解Rt△FAE和Rt△FCG即可.設(shè)CG=x（m），用x表示EF、FG，綜合后發(fā)現(xiàn)FG有兩種表達(dá)式，進(jìn)而用方程求解.

解：（1）設(shè)CG=xm，由圖可知：

EF=（x+20）tanα，F(xiàn)G=xtanβ，由EF+EG=FG得：

（x+20）tanα+33=xtanβ，

則x=[33+20tanαtanβ-tanα]；

（2）x=[33+20tanαtanβ-tanα]=[33+20×1.12.1-1.1]=55，

則FG=xtanβ=55×2.1=115.5≈116.

答：信號發(fā)射塔頂端到地面的高度約是116m.

在中考試題中，關(guān)于解直角三角形的問題，大多是由我們學(xué)習(xí)過的基本圖形演變而來的，只不過設(shè)置在不同的背景下，將圖形和條件做適當(dāng)?shù)淖兓M(jìn)行喬裝打扮而已.解答此類題目時，只要大家能主動聯(lián)想熟悉的基本模型，看清其演變的方式，抓住直角三角形，找準(zhǔn)線段之間的關(guān)系，就很容易做出解答了.

（作者單位：江蘇省東臺市富安中學(xué)）