溯根求源：統計與概率應用問題的解題策略和方法

徐愛華

尋找正確的解題方法和策略不僅是解題的需要，也是提高自身能力和水平的一個重要方法，對以后解決同類型的問題有著重要的影響.怎樣在研讀題目時對各類題型的解題思路、方法、技巧和規律進行總結，這是一個亟須解決的問題.下面我們結合統計與概率應用中的實例來展示解題思路的形成過程，談解題方法的歸納總結及解后反思，便于同學們舉一反三，靈活運用.

例1 （2016·四川巴中）下列說法正確的是（ ）

A.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上是必然事件

B.審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用抽樣調查法

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定

D.擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為[12]

【策略方法】本題涉及隨機事件與必然事件、普查與抽查、方差的意義、概率計算等相關知識，由隨機事件和必然事件的定義得出A錯誤，由統計的調查方法得出B錯誤，由方差的意義得出C正確，由概率的計算得出D錯誤，即可得出結論.

【解答】A.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上不是必然事件，應該是隨機事件，選項A錯誤；

B.審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用全面調查法，選項B錯誤；

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數相同，方差分別是s甲2=0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定，選項C正確；

D.擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為[14]，不是[12]，選項D錯誤.

【方法總結】本題考查了求概率的方法、全面調查與抽樣調查、方差的性質以及隨機事件與必然事件，熟悉方法和性質是解決問題的關鍵.

例2 某高科技產品開發公司現有員工50名，所有員工的月工資情況如下表：

請你根據上述內容，解答下列問題：

（1）該公司“高級技工”有 名；

（2）所有員工月工資的平均數[x]為2500元，中位數為 元，眾數為 元；

（3）小張到這家公司應聘普通工作人員.請你回答上圖中小張的問題，并指出用（2）中的哪個數據向小張介紹員工的月工資實際水平更合理些；

（4）去掉四個管理人員的工資后，請你計算出其他員工的月平均工資[y]（結果保留整數），并判斷[y]能否反映該公司員工的月工資實際水平.

【策略方法】本題涉及的知識點有中位數、眾數、平均數的意義和特殊數值對平均數的影響，根據相關知識就可以解決上述問題.

【解答】（1）16.

（2）因表中數據是按照從大到小順序排列，共有50個數據，第25和第26個數據分別為1800和1600，二者的平均數為1700，則所有員工月工資的中位數為1700元，眾數則易判斷為1600元.

（3）這個經理的介紹不能反映該公司員工的月工資實際水平，用1700元或1600元來介紹更合理些.

（4）[y]=[2500×50-21000-8400×346]≈1713（元）.[y]能反映該公司員工的月工資實際水平.

【方法總結】本題考查眾數、中位數、平均數的計算及意義，要了解它們在實際應用中的表述方式.

例3 某班為了從甲、乙兩同學中選出班長，進行了一次演講答辯與民主測評，A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參與民主測評，結果如下表：

規定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；民主測評得分=“好”票數×2分+“較好”票數×1分+“一般”票數×0分；綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測評得分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）當a=0.6時，兩人的綜合得分分別是多少？

（2）分別求出兩人的綜合得分關于a的函數表達式；

（3）倘若讓甲做班長，請你確定a的取值范圍.

【策略方法】本題涉及的知識點是加權平均數的計算，利用加權平均數確定得分.

【解答】（1）甲的答辯得分=（90+92+94）÷3=92（分），甲的民主測評分=40×2+7=87（分），

甲的綜合得分=92×0.4+87×0.6=89（分）；

乙的答辯得分=（89+87+91）÷3=89（分），乙的民主測評分=42×2+4=88（分），

乙的綜合得分=89×0.4+88×0.6=88.4（分）.

（2）甲的綜合得分關于a的函數表達式為y1=92×（1-a）+87×a=92-5a；

乙的綜合得分關于a的函數表達式為y2=89×（1-a）+88×a=89-a.

（3）若讓甲做班長，則92-5a>89-a，解得a<0.75，

∴a的取值范圍為0.5≤a<0.75.

【方法總結】會用加權平均數公式進行計算，根據實際情況確定在實際問題中的權重.

例4 在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：

（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近 ；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；

（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？

（4）解決了上面的問題，小明同學猛然頓悟，過去一個懸而未決的問題有辦法了.這個問題是：在一個不透明的口袋里裝有若干個白球，在不允許將球倒出來數的情況下，如何估計白球的個數（可以借助其他工具及用品）？請你應用統計與概率的思想和方法解決這個問題，寫出解決這個問題的主要步驟及估算方法.

【策略方法】本題要熟悉概率的意義、概率的計算方法、根據概率估計樣本中個體的數目.

【解答】（1）觀察表格得摸到白球的頻率將會接近0.6；

（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；

（3）∵20×0.6=12，20×0.4=8，∴黑球8個，白球12個；

（4）①先從不透明的口袋里摸出a個白球，都涂上顏色（如黑色），然后放回口袋里，攪拌均勻；②將攪勻后的球從中隨機摸出一個記下顏色，再把它放回袋中，不斷大量重復n次，記錄摸出黑球頻數為b；③根據用頻數估計概率的方法可得出白球數為[anb].

【方法總結】概率意義和概率的估算是有區別的，知道概率意義還要了解它在實際問題中的應用，要能在實際問題運用中應用概率相關知識進行解讀和估算.

解題策略和方法是我們在解題實踐中要仔細感悟的，研讀題目，聯想知識，思考方法，體會策略，只要我們堅持不懈做下去，我們在解題能力上一定會有很大的提高.

（作者單位：江蘇省淮安曙光雙語學校）