抽簽方法合理性的通關攻略

陸振宇

蘇科版《數學》教材九年級下冊第137頁：

我們用抽簽的方法從3名同學中選1名去參加某音樂會.事先準備3張相同的小紙條并在1張紙條畫上記號，把3張紙條放在一個盒子中攪勻，然后讓3名同學去摸紙條，抽中有記號紙條的同學即可參加音樂會，這種方法公平嗎？

書上利用畫樹狀圖的方法，分別求出了每個人抽到簽的概率均為[13].

【反思】抽簽雖然有先有后，但是先抽的人與后抽的人中簽的概率是相同，這樣的抽簽方法是合理的.

【實戰中考】甲、乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1、2、3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

（1）求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率；

（2）從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數時，則甲勝，若兩次摸出的球的標號之和為奇數時，則乙勝，試分析這個游戲是否公平，請說明理由.

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與甲勝、乙勝的情況，即可求得概率，比較大小，即可知這個游戲是否公平.

解：（1）∵三個分別標有1、2、3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，

∴從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率為[13]；

（2）這個游戲不公平.

畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結果，兩次摸出的球的標號之和為偶數的有5種情況，兩次摸出的球的標號之和為奇數的有4種情況，

∴P（甲勝）=[59]，P（乙勝）=[49]，

∴P（甲勝）≠P（乙勝），

∴這個游戲不公平.

【反思】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，我們可以利用列表格或者畫樹狀圖的方法來求出每種情況的概率，概率相等就公平，否則就是不公平.

【平行變式】把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標上數字1、2、3，將這兩組卡片分別放入兩個盒子中攪勻，再從中各隨機摸取一張.

（1）試求取出的兩張卡片數字之和為奇數的概率；

（2）若取出的兩張卡片數字之和為奇數，則甲勝；取出的兩張卡片數字之和為偶數，則乙勝；試分析這個游戲是否公平？請說明理由.

【分析】（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能的情形，找出滿足題目要求的情形，再利用公式進行計算；（2）算出各自的概率，如果概率相等，則公平，否則不公平.

解：（1）用樹狀圖列出所有的可能的情形如下：

從樹狀圖可看出一共有9種等可能情況，和為奇數有4種情形，

所以P（和為奇數）=[49].

（2）由于P（和為偶數）=1-[49]=[59]，所以這個游戲不公平.

【方法指導】掌握此類問題，需熟練掌握以下知識：

公式法：P（A）=[mn]，其中n為所有事件的總數，m為事件A發生的總次數.

列舉法（列表或畫樹狀圖）的一般步驟為：①判斷使用列表或畫樹狀圖方法（列表法一般適用于兩步計算；畫樹狀圖法適合于兩步及兩步以上求概率）；②不重不漏地列舉出所有事件出現的可能結果，并判定每種事件發生的可能性是否相等；③確定所有可能出現的結果數n及所求事件A出現的結果數m；④用公式P（A）=[mn]求事件A發生的概率.

通過上面的分析，我們不難發現中考在這類問題的切入點并不深，相信同學們在認真審題的情況下，解決這類問題會游刃有余.

【綜合運用】暑假快要到了，某市準備組織同學們分別到A、B、C、D四個地方進行夏令營活動，前往四個地方的人數如圖所示.

（1）去B地參加夏令營活動人數占總人數的40%，根據統計圖求去B地的人數.

（2）若一對姐弟中只能有一人參加夏令營，姐弟倆提議讓父親決定.父親說：現有4張卡片上分別寫有1、2、3、4四個整數，先讓姐姐隨機地抽取一張后放回，再由弟弟隨機地抽取一張.若抽取的兩張卡片上的數字之和是5的倍數則姐姐參加，若抽取的兩張卡片上的數字之和是3的倍數則弟弟參加.用列表法或樹形圖分析這種方法對姐弟倆是否公平.

【分析】（1）假設去B地的人數為x，根據去B地參加夏令營活動人數占總人數的40%，進而得出方程求出即可；

（2） 根據已知，列表得出所有可能，進而利用概率公式求出即可.

解：（1）設去B地的人數為x，

則由題意有：[x30+x+20+10]=40%；

解得：x=40.

∴去B地的人數為40人.

（2）列表：

∴姐姐能參加的概率P（姐）=[416]=[14]，

弟弟能參加的概率為P（弟）=[516]，

∵P（姐）=[416]

【反思】此題主要考查了條形統計圖以及列表法求出概率和游戲公平性等知識，正確列舉出所有可能是解題關鍵.

（作者單位：江蘇省淮安曙光雙語學校）