統計與概率的應用類中考題方法透析

周詠梅

統計與概率是中考數學的必考內容，通常以填空題、選擇題、解答題等形式呈現，主要考查同學們對數據的收集和處理能力，對統計圖的繪制和閱讀能力.近幾年的中考數學試題中，統計與概率類問題多作為重要的知識點進行考查，立意新穎，與生活實際聯系密切，需要引起大家高度的重視，下面結合近幾年的中考題對這一章的知識進行分類評析.

一、統計的合理性

1.樣本的合理性

在進行數據的收集、整理、描述、分析時，首先需要抽取一個合理的樣本，才能根據樣本的情況估計總體的情況，解決這類問題的關鍵是要體會收集數據結果的不確定性，理解抽樣的必要性和樣本抽取的合理性，才能根據樣本合理推斷總體的情況.

例1 （2015·山東淄博）下列調查，樣本具有代表性的是（ ）.

A.了解全校同學對課程的喜歡情況，對某班男同學進行調查

B.了解某小區居民的防火意識，對你們班同學進行調查

C.了解商場的平均日營業額，選在周末進行調查

D.了解觀眾對所看電影的評價情況，對座位號是奇數號的觀眾進行調查

【分析】A.選取某班男同學作為樣本進行調查，太局限，不具代表性、廣泛性，故A錯誤；

B.了解某小區居民的防火意識，對你們班同學進行調查，調查不具代表性、廣泛性，故B錯誤；

C.了解商場的平均日營業額，選在周末進行調查，調查不具有代表性、廣泛性，故C錯誤；

D.了解觀眾對所看電影的評價情況，對座位號是奇數號的觀眾進行調查，調查具有代表性、廣泛性，故D正確.

【點評】從局部情況推斷整體的情況是統計學的一個基本思想，此題主要考查樣本抽取的合理性.判斷的依據是樣本抽取必須是隨機的，對各個層次的對象都要有所體現，要達到一定的容量，樣本才具有代表性.

2.預測的合理性

統計類中考題中常常綜合運用條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖、頻數直方圖等給出信息，我們要利用分析得出的數據對總體進行合理預測或建議.

例2 （2016·湖南岳陽）某學校環保志愿者協會對該市城區的空氣質量進行調查，從全年365天中隨機抽取了80天的空氣質量指數（AQI）數據，繪制出三幅不完整的統計圖表.請根據圖表中提供的信息解答下列問題：

（1）統計表中m= ，n= .扇形統計圖中，空氣質量等級為“良”的天數占 %；

（2）補全條形統計圖，并通過計算估計該市城區全年空氣質量等級為“優”和“良”的天數共多少天；

（3）據調查，嚴重污染的2天發生在春節期間，燃放煙花爆竹成為空氣污染的一個重要原因，據此，請你提出一條合理化建議.

【分析】（1）由A占25%，即可求得m=80×25%=20，繼而求得n=80-20-44-4-2-2=8，然后求得空氣質量等級為“良”的天數占的百分比：[4480]×100%=55%.故答案為：20，8，55.

（2）首先由（1）補全統計圖，然后利用樣本估計總體的知識求解，估計該市城區全年空氣質量等級為“優”和“良”的天數共：365×（25%+55%）=292（天）.

（3）提出合理建議，比如不燃放煙花爆竹或少燃放煙花爆竹等.

【點評】本題由頻數分布表、頻數直方圖得出每一項的具體數據，由扇形統計圖可以看出各項所占的比例，利用統計圖獲取信息時，必須仔細觀察、分析、研究統計圖，才能做出正確的判斷，解決相關的問題.

二、規則的公平性

概率與我們的生活息息相關，概率模型可以幫助我們作估計、做決定，解釋一些現象，澄清日常生活中的一些錯誤認識，解決這類問題的關鍵是把一些生活中的實際問題轉化為概率模型，運用概率知識去解決問題.

例3 （2016·江蘇蘇州）在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數字-1、0、2，它們除了數字不同外，其他都完全相同.

（1）隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數字2的小球的概率為 ；

（2）小麗先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐標.再將此球放回、攪勻，然后由小華再從布袋中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的縱坐標，請用樹狀圖或表格列出點M所有可能的坐標，并求出點M落在如圖所示的正方形網格內（包括邊界）的概率.

【分析】（1）隨機地從布袋中摸出一個小球共有3種等可能結果，摸到標有數字2的小球只有1種可能，所以摸出的球為標有數字2的小球的概率為[13]；

（2）先畫樹狀圖列出共有9種等可能的結果，然后根據概率公式求解.

畫樹狀圖得：

共有9種等可能的結果，點M落在如圖所示的正方形網格內（包括邊界）的結果數有6種，所以點M落在如圖所示的正方形網格內（包括邊界）的概率=[69]=[23].

【點評】本題主要考查了用列表法或畫樹狀圖法求事件的概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能結果，當完成兩步或兩步以上的事件時適宜選用畫樹狀圖法，當完成不超過兩步且可能結果數較多的事件時，適宜選用列表法.本題用到的知識點有坐標與圖形性質、列表法與樹狀圖法、概率公式.

例4 （2016·江蘇泰州）一只不透明的袋子中裝有3個球，球上分別標有數字0、1、2，這些球除了數字外其余都相同，甲、乙兩人玩摸球游戲，規則如下：先由甲隨機摸出一個球（不放回），再由乙隨機摸出一個球，兩人摸出的球所標的數字之和為偶數時則甲勝，和為奇數時則乙勝.

（1）用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結果；

（2）這樣的游戲規則是否公平？請說明理由.

【分析】（1）第一次甲隨機摸球一次有3種等可能結果，因為甲摸球后不放回，第二次乙摸有2種等可能結果，

列舉所有可能結果：

（2）游戲不公平，由表格可以看出共有6種等可能結果，和為奇數有4種，和為偶數有2種，甲獲勝的概率=[13]，乙獲勝的概率=[23]，

乙獲勝的可能性大，所以游戲規則不公平.

【點評】判斷游戲是否公平的關鍵是計算每個事件發生的概率是否相等，通過列表法或畫樹狀圖法得出每個事件的概率，相等就公平，不相等就不公平.

同學們，上面我們列舉了中考中一些典型的統計和概率問題，只要各位同學熟悉教材中的幾個統計量，合理抽取樣本，會建立合適的概率模型并進行正確計算，一定能解釋生活中的一些概率問題.

（作者單位：江蘇省鹽城中學教育集團（中校區）初中部）