具有尺度結構的種群系統的最優生育率控制

田 雪,辛大偉

阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽,236037

具有尺度結構的種群系統的最優生育率控制

田 雪,辛大偉

阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽,236037

研究了一類周期環境中具有尺度結構的種群系統的最優生育率控制問題。運用Mazur定理證明了最優生育率控制的存在性。利用J.L.Lions的變分不等式理論,給出了生育率控制為最優的必要條件,得到了由積分-偏微分方程和變分不等式構成的最優性組。

生育率控制；尺度結構；最優條件

1 建立模型

生物種群系統控制問題關系著生態的平衡和經濟的可持續發展。許多學者從事這方面的研究，并取得了一些重要成果[1-9]。文獻[2]討論了時變種群系統最優生育率控制問題，文獻[3]研究了基于時滯和年齡分布的種群系統的生育率控制問題，文獻[4]討論了帶有尺度結構的捕食-被捕食系統的最優收獲問題，文獻[5-6]研究了周期環境中基于個體尺度的種群系統的最優收獲問題。其中，文獻[6]采用收獲率(例如漁業中的捕獲率)作為控制變量,證明了存在最優收獲率，在此前提下，能使系統種群密度盡可能接近理想分布。為了研究生育率對種群發展的影響，本文選取生育率作為控制變量，考慮下列數學模型所描述的種群系統(P)。

其中，p(x,t)為t時刻尺度為x的種群密度；l是個體不能超過的最大尺度；T是系統演變周期；Q=(0,l)×[0,+∞);μ(x,t)和V(x,t)分別是種群死亡率和尺度增長率；f(x,t)是外界向環境內的輸入率；β(x,t)是種群生育率，它是系統(P)的控制量，稱為生育率控制。顯然,系統(P)的解p(x,t)依賴于控制量β(x,t)，因此也把p(x,t)記為p(x,t;β)，簡記為p(β)或pβ。

設Zd(x,t)是種群密度的理想分布，人們希望通過對生育率β的控制，使種群密度p(x,t;β)盡可能地接近Zd(x,t)。為此，選取性能指標泛函：

(1)

注意到該性能指標泛函中種群的密度函數p(x,t)依賴于控制量生育率β(x,t),而文獻[6]中性能指標泛函中種群的密度函數是依賴于收獲率的。實際問題可以抽象為如下的數學問題：求滿足等式

(2)

的β*∈Uad。其中，p(x,t;β)是系統(P)的解，生育率β∈Uad，容許控制集

(3)

本文假設各項參數滿足如下條件：

(H3)f∈L∞(Q),f(x,t)≥0且f(x,t)=f(x,t+T),a.e.(x,t)∈Q

為了方便下文討論，引入如下定義和結果。

由文獻[5]，易得下列命題：

命題2設p1(x,t),p2(x,t)分別是系統(P)對應β1(x,t),β2(x,t)的解，若0≤β1(x,t)≤β2(x,t)a.e.inQ，則p1(x,t)≤p2(x,t)a.e.inQ。

2 最優生育率控制的存在性

引理1設p1(x,t),p2(x,t)為系統(P)的解，對任意的0<λ<1有

證明設p1(x,t),p2(x,t)為系統(P)的解，對任意的0<λ<1有

(4)

(5)

(6)

(7)

利用(5)～(7)式可得：

(8)

現在證明：p*=pβ*,a.e.inQ。

在(8)中令n→∞取極限在弱解的意義下有：

根據系統(P)解的唯一性得p*=pβ*。

接下來證明β*為最優控制。一方面根據引理1，易證

(9)

3 必要條件和最優性組

設β∈Uad，p(x,t;β)為系統(P)的解，p(β)在β*處沿方向(β-β*)的G-微分[10]記為:

(10)

引進記號:

(11)

由于Uad是凸集，所以當β*,β∈Uad時，βλ∈Uad，用pλ和p*分別表示系統(P)中當β=βλ，β=β*時的解，將所得方程對應項相減，兩端再除以λ>0，令λ→0+取極限，注意到定義式(10)，可推得

(12)

下面證明生育率控制β∈Uad為最優的必要條件。

定理2 設β*∈Uad是系統(P)關于問題(2)的最優生育率控制，則β*∈Uad滿足下面的不等式：

(13)

證明對于任意的β∈Uad和0<λ<1，有：

βλ(x,t)=β*(x,t)+λ[β(x,t)-β*(x,t)]=λβ(x,t)+(1-λ)β*(x,t)∈Uad

又因為β*∈Uad是系統(P)的最優生育率控制，所以J(βλ)-J(β*)≥0。注意到性能指標泛函J(β)的定義式(1)和式(10)，由極限的保號性可以推得

由此式(13)得證。

為了變換不等式(13)，引入伴隨狀態q(x,t;β*)

(14)

設z(x,t)是方程組(12)的解，用z(x,t)乘(14)的第一個等式并在(0,T)×(0,l)上積分得到

(15)

對第一項和第二項應用分部積分公式并注意(12)、(14)式，有

(16)

將方程組(12)的第一個方程代入得

(17)

由(13)式得

(18)

綜上所述，可以得到：

[1]Liu Yan,HE Ze-rong.Behavioral analysis of a nonlinear three-staged population model with age-size-structure[J].Applied Mathematics and Computation,2014,227:437-448

[2]李健全，陳任昭．年齡相關的種群系統的最優生育率控制[J]．生物數學學報，2006，21(2)：191-203

[3]甄潔，趙春．基于時滯和年齡結構的種群系統的最優生育率控制[J]．信陽師范學院學報:自然科學版，2014，27(2)：157-161

[4]劉炎，何澤榮．具有Size結構的捕食種群系統的最優收獲策略[J]．數學物理學報，2012，32(1)：90-102

[5]何澤榮，劉榮，劉麗麗．周期環境中基于個體尺度的種群模型的最優收獲策略[J]．應用數學學報，2014，37(1)：145-159

[6]何澤榮，劉榮，劉麗麗．模擬周期環境和尺度結構的種群系統的最優收獲率[J]．數學物理學報，2014，34(3)：684-690

[7]趙春，王綿森，趙平．一類種群系統的適定性及最優收獲問題[J]．系統科學與數學，2005，25(1)：1-12

[8]付軍，李健全，陳任昭．年齡相關的種群空間擴散系統的廣義解與收獲控制[J]．控制理論與應用，2005，22(4)：588-596

[9]He Ze-rong,Liu Yan.An optimal birth control problem for a dynamical population model with size-structure[J].Nonlinear Analysis-Real World Applications,2012,13(3):1369-1378

[10]趙義純．非線性泛函分析及其應用[M]．北京：高等教育出版社，1989：15-16

(責任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.025

2015-12-15

安徽省高校省級自然科學研究一般項目“復形范疇中的Gorenstein 同調理論”(2014KJ004)；阜陽師范學院科學研究項目“復形范疇中的相對同調”(2013FSKJ13)。

田雪(1980-)，女，吉林省吉林市人，碩士，講師，主要研究方向：分布參數系統控制。

O231.4

A

1673-2006(2016)03-0096-04