數學學科核心素養要素析取的實證研究

喻 平

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數學學科核心素養要素析取的實證研究

喻 平

（南京師范大學課程與教學研究所，江蘇南京 210097）

數學核心素養是學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備數學品格和數學關鍵能力．在理論分析基礎上，初步析出數學核心素養要素，采用大樣本問卷，對數據進行因素分析和不同的聚類分析標準，得到數學核心素養的兩種結構．第一種由8種基本成分組成：數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格．第二種由7種成分組成：數學抽象、運算能力、推理能力、建模與數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格．

數學核心素養；因子分析；聚類分析

《教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》于2014年3月正式印發，在“著力推進關鍵領域和主要環節改革”部分提出，研究制訂學生發展核心素養體系和學業質量標準；要根據學生的成長規律和社會對人才的需求，把對學生德智體美全面發展總體要求和社會主義核心價值觀的有關內容具體化、細化；要研究學科核心素養體系，明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力．

1 問題提出

近些年，世界各國不斷推進課程體系的改革．國際課程改革發展的一些共同發展趨勢與特點：關注學生發展，強調培養適應現代社會所需的能力；強調課程的整合性，注重學科之間的相互融合；在課程中融入了質量評價標準，強調問責．世界各國的課程標準中出現強調“關注學生的發展，培養學生核心能力”的趨勢，推動了學生核心素養（key competencies）的研究和模型的制定．例如，1997年12月經濟合作與發展組織（OECD）啟動的“素養的界定與遴選：理論和概念基礎”項目，對學生核心素養體系構建作了系統的研究[1~2]．

美國、澳大利亞、芬蘭、日本、韓國等國家都有開展學生核心素養的研究．在芬蘭，學生的核心素養在國家課程標準當中明確規定，規定了學生需要具備的核心素養．將素養劃分為七大主題——成長為人，文化認同與國際化，信息素養與交際，參與行使公民與企業家的權利，對環境、健康和可持續發展的將來的責任感，安全與交通，技術與個體．根據這7個主題再逐步分解到各個學科中去．也就是說，芬蘭的課程中直接融入了對學生核心素養的界定與規范，再分解這些核心素養到各個學科之中，作為教學的目標和評價依據，并直接引導教師的教學．Eurydice發布了一份題為“在歐洲學校中發展核心素養：政策機遇與挑戰”的報告，對核心素養的課程實施現狀與問題進行了較為全面和深入的調研．該報告對32個Eurydice網絡成員國家（含當時歐盟全部27成員國外加冰島、列支敦士登、挪威、克羅地亞及土耳其）小學、初中和高中階段（ISCED等級1~3級）2011—2012學年的課程和評價方面進行了統計調查，指出了當前面臨的幾個關鍵問題：在政策層面，學校教育中的核心素養培養需要更具戰略性的政策支持；在內容層面，與傳統的基于學科的能力相比，需要在跨學科素養的培養上做出更大努力；在學生層面，一方面是減少基本能力（母語、數學和科學）方面低成就學生的比例，另一方面則是鼓勵更多的學生投身數學、科學和技術領域的更高層次的學習或事業，以滿足經濟發展的需求．

在學科核心素養研究方面，美國國家管理者協會和州立學校首席管理會聯合出臺了“共同核心州立標準”（CCSS）．其中在數學學科標準中提出的核心素養是：（1）理解和解決問題；（2）抽象的、量化的推理；（3）構造可行的論證、推理；（4）數學建模；（5）靈活地使用適合的工具；（6）精確化；（7）探求并利用結構；（8）在反復推理中探求并表達規律．Hong對韓國、澳大利亞、新西蘭的教師作了調查，結果表明要轉變單純學科知識傳授為發展學生的核心素養，關鍵的問題是重構課程而不是在現有課程基礎上對教學方法的改造[3]．類似的研究還有Han and Shin[4]、Park[5]、So[6]等．Shute等提出一個評價學生核心能力的嵌入式模型，并給出了具體的實施步驟[7]．

在國內，教育部哲學社會科學重大攻關項目“義務教育階段學生學業質量標準體系研究”課題組，提出基于學生核心素養的課程體系建構設想，認為構建基于核心素養的課程體系應至少包含具體化的教學目標、內容標準、教學建議和質量標準4部分．其中，具體化的教學目標和質量標準要體現學生核心素養，內容標準和教學建議要促進學生形成核心素養[8]．辛濤等提出中國基礎教育階段學生核心素養的概念內涵，在核心素養的遴選時要遵守素養可教可學、對個體和社會都有積極意義、面向未來且注重本國文化這3個原則[9]．

目前，教育部正在組織專家對“高中課程標準”進行修訂，要求把學科核心素養作為修訂課程標準的主線，圍繞學科核心素養制訂教學內容和評價標準．因此，各學科的核心素養體系的建構成為當前一個必須要做的工作．然而，從目前的研究來看，各學科核心素養成分的確定多是由一批專家綜合各方面意見討論而定，這種基于思辨的研究基于專家的理論見識，有不可替代的作用，但是這種小群體的價值信念也可能會出現以偏概全的缺陷．對學科核心素養成分的研究，應當采用思辨提出框架、實證加以驗證的方法．這里對數學學科核心素養開展實證研究，析取數學核心素養的基本成分．

研究的基本思路為：（1）通過理論分析，采用專家討論的方法，初步提出數學素養的基本成分；（2）根據初步提出的基本成分，編制數學素養問卷，選取小樣本進行預測，修訂問卷；（3）以中小學骨干教師為對象，采用大樣本測試收集數據；（4）用統計方法作因子分析和聚類分析，析取數學核心素養基本成分．

2 數學核心素養的初步析取

核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，對照這一定義，數學核心素養應當是學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備數學品格和數學關鍵能力．

2.1 選擇數學核心素養的依據

擬定數學核心素養，應當從數學學科本質與數學教育價值兩個方面考慮．

首先，從數學學科本質角度考察．對數學本質的認識，歷來是數學哲學中討論的話題，數學家和數學哲學家從不同視角觀察數學，提出了若干不同的認識和見解．表1給出一些著名數學家或數學哲學家的觀點[10]．

表1 一些數學家或數學哲學家對數學本質認識的觀點

方延明將各家觀察作了一個歸類，對數學本質的認識存在萬物皆數說、哲學說、符號說、科學說、工具說、邏輯說、創新說、直覺說、集合說、結構說、模型說、活動說、精神說、審美說、藝術說[11]．

對這些觀點作進一步梳理，宏觀上可以把數學的本質概括為兩個大的方面，即數學的科學特質和數學的文化特質．

數學的科學特質表現為除了有科學的本性外還具有數學本身的特性，數學本身特性可以用幾個關鍵詞刻畫：抽象、邏輯、結構、模式、數據、直覺．事實上，從歷史上幾個重要的數學哲學流派的各自追求，可以看到都是圍繞這些關鍵詞開展的．以羅素（Russell）為代表的邏輯主義，把數學與邏輯等價看待，認為數學可以歸結為邏輯．直覺主義否認超經驗的數學對象存在，強調數學對象的可構造性，而這種構造源于非邏輯思維占主要成分的數學直覺，阿達瑪（Hadamard）認為，數學直覺的本質是某種美的意識或美感，其實是對數學對象間存在著的某種隱微的和諧性與秩序的直覺認識[12]．以希爾伯特（Hilbert）為代表的形式主義，認為數學思維的對象就是數學符號本身，符號就是本質，它們并不代表任何物理對象．數學對象是一堆毫無實際內容的形式符號體系，不管從什么假設出發，只要這些假設能以符號形式明顯地表示，用形式的演繹來推理，就成為數學．受形式主義學派影響發展起來的法國布爾巴基學派，在促使數學理論體系進一步形式化方面做了大量工作．該學派認為，數學各分支應按照結構性質劃分，運用公理化方法按照結構觀點加以整理．所謂“結構”，是一些用若干公理來定義的基本數學關系．最基本的結構有3種，即代數結構、序結構和拓撲結構，以這3種結構為基礎，全部或絕大部分數學內容都可以歸結為各種結構，數學的發展無非是結構的構建和重組而已．顯然，邏輯主義以“邏輯”為核心刻畫數學；直覺主義以“構造”、“非邏輯思維”、“數學美”等概念為核心認識數學；形式主義對數學的描述建立在“抽象”概念基礎之上；布爾巴基學派則以“結構”塑造數學．其實，不同學派是從不同角度來認識數學的本質，都有合理因素但又表現出各自的片面性．

數學的文化特質指數學的文化元素表現出來的特別性質．數學既是科學又是一種文化，數學文化包括數學知識、數學思想方法、數學精神、數學信念、數學價值觀和數學審美．數學知識是人們認識客觀世界的物質成果，是科學勞動的果實和產品，負載著數學方法和數學精神，是數學文化的基礎．數學思想方法最能體現出數學思維的過程和品質，是數學文化最主要的現實表現．數學精神、數學信念是數學家共同體在追求真理、逼近真理的科學活動中，將數學思想方法內化后所形成的獨特的精神氣質，是數學文化的核心和精髓．數學價值觀是人們對數學本體功能和外在功能的認識，是人們對數學的價值判斷．數學審美是一種理性的精神，這種精神促使人們去探求和確立知識深刻、完美的內涵．科學教學觀視野下的數學教學，就是要充分展示數學的文化元素．“數學人文精神的內涵具體體現在其理性求知、一種文化、數學思維品質、普遍的思想方法和語言以及獨特的審美價值上．”[13]

其次，從數學教育的價值維度分析．關于數學教育的價值，在中國歷次“數學教學大綱”和“數學課程標準”中均有描述，反映在各種文件的“課程目標”中．歐內斯特（Ernest）從教育觀念層面將數學教育分為5種類型：嚴格訓導派、技術實用主義、舊人文主義、進步教育派、大眾教育派[14]．這些派別在認識論、課程觀、教學觀、教育目標等方面都存在差別．數學教育的價值體現在教育目標中，反映了數學教育的育人功能．嚴格訓導派強調思維訓練的重要性，教育目的是針對不同階層的學生提供不同的訓練，掌握基礎知識和基本技能，為將來的職業和個人發展做準備．技術實用主義持功利主義觀，教育目的主要是讓學生掌握就業需要的數學知識與技能．舊人文主義重視數學知識、文化和價值的傳播功能，視數學為人類文化遺產和智力成就的核心部分，教育目的是傳承數學文化，欣賞數學美．進步教育派的教育目的是通過數學教育促進人的素質發展，實現人格完善，富于創新精神．大眾教育派強調公平民主，通過數學教育使學生獲得批判性意識、民主公民意識，在社會環境中能用數學思維方式提出問題和解決問題．

總結各家論點，數學教育的價值在于：掌握數學知識，形成基本數學技能，發展數學能力，訓練數學思維，掌握數學工具，領悟數學精神，傳承數學文化．

2.2 提出數學素養的基本要素

根據上面的分析，組織部分師范大學從事數學教學論研究的專家討論，提出與數學素養相關的17個要素，這17種要素的名稱及涵義見表2．

表2 初步析取的17種數學素養要素

2.3 量表制作

對初步析取的17個因素設計調查問卷．作1，2，…，17分別表示17個數學素養基本元素，問卷采用Likert量表7點記分，要求被試對每一個問題根據自己的理解，判斷每一個要素與數學核心素養的接近程度并在相應位置作出選擇．數字7表示最接近，數字1表示最不接近．同時，在全卷最后有一個開放性問題：除了上面表中的內容外，您認為數學核心素養還應當有哪些要素？

選取江蘇省90名被試，對量表進行預測．90名被試包括35名數學教育專業在校研究生，55名江蘇省中學教師，其中高中教師30名，初中教師25名．

對預測結果作了兩個方面的數據分析．

（1）對各題項與總量表進行相關分析，若題項與總量表的相關沒有達到顯著性水平（＜0.05），表明此題項須剔除．結果見表3．

表3 各題項與總量表的相關性

從表3可以看出，應當刪除題項2，即2：數學概括能力．修訂后的量表由16個項目組成．下面的討論，與17個數學素養要素對應的變量序號保持不變．

（2）對修訂后的量表進行信度分析，計算Cronbach’s系數，其值為0.642，量表有較高的信度．

3 數學核心素養的驗證性因子分析

3.1 被試選擇

正式施測選擇的被試來自10個省，對象包括高中、初中和小學數學教師，由兩類人員組成：在讀研究生（博士、碩士、教育碩士），“國培”教師成員．選擇這兩類人員進行調查，是考慮到他們均具備一定的理論或實踐知識，對數學核心素養有個人的認識和理解，因而樣本有一定的代表性．具體地，福建21名，河南67名，廣東33名，廣西52名，湖北71名，湖南88名，江蘇191名，江西40名，內蒙30名，山西198名，浙江31名，山東204名．其中江蘇的被試包括參加預測90人，后面的數據統計把這90個被試的預測數據作為正式測試數據．全體被試人數為1?026，樣本量較大．

3.2 描述性數據

描述性統計結果，計算16個項目得分的基本數據，結果見表4．

表4 描述統計量

3.3 因素分析結果

對16個項目的數據進行因子分析，目的是找到綜合能力成分和公共因素．表5反映了KMO和Bartlett檢驗結果，數據顯示，KMO抽樣適當性參數值為0.904，＜0.001，=120，卡方值4?382.043，說明16個變量之間不是獨立的，因而可以進行因素分析．

由表6可以看到，其特征根只有3個大于1，所以只提取3因子，這3個因子在碎石圖（圖1）的坡上．

表5 KMO和Bartlett的檢驗

表6 解釋的總方差

注：提取方法：主成份分析

圖1 數學核心素養因素碎石圖

表7是旋轉成分矩陣，數據顯示，因子1在諸多項上都有較大負荷，因此可以認為因子1是較全面反映各項能力的綜合指標．其中在因子1上有較大負荷的是1，3，4，5，7，10，11，即數學抽象能力、數學運算能力、邏輯推理能力、合情推理能力、數學建模能力、數據分析能力、直觀想象能力，這些項目均可考慮作為數學核心素養的基本要素．在因子2上負荷較大的6：數學交流能力，8：數學閱讀能力，9：數學變換能力，12：數學應用能力，13：數學解題能力，14：對數學的認識信念．這些項目的共同屬性是對數學的理解并用數學知識解決數學問題或現實問題的能力，可以將因子2命名為數學問題解決能力．在因子3上負荷較大的項目是15：數學地思考問題，16：數學文化的認識，17：嚴謹的思維品質，這3個項目的共同屬性是在文化層面對數學的理解，因此，可以命名為數學文化品格．

表7 旋轉成份矩陣a

3.4 聚類分析結果

在上面的因子分析中，從因子1析取了7個項目，進一步對因子1的7個項目進行聚類分析，合并一些項目之后提取數學核心素養基本成分．

表8中聚類過程的輸出．表9是分為6類的結果，只有3和4歸為一類，即邏輯推理能力和合情推理能力合并為一類，雖然這兩種推理在思維方面有所差異，但均屬于數學推理，因此兩種推理合并后命名為推理能力．其余各項獨自屬于一類，這樣得到因子1的數學核心素養成分為6個：數學抽象能力、數學運算能力、數學推理能力、數學建模能力、數據處理能力、空間想象能力．

表8 聚類表

表9 群集成員

分為6類顯得因素比較多，如果我們把數學核心素養綜合指標分為5類，那么從圖2的結果可以看到，7與10應當合并為一類，即數學建模能力和數據分析能力應當合為一類，可命名為建模與數據分析能力．這樣，因子1中得到的數學核心素養為5個：數學抽象能力、數學運算能力、數學推理能力、建模與數據處理能力、空間想象能力．

將數學建模能力與數據分析能力合并，從學理上是通順的．因為數學建模包含對數據的分析過程，反之，數據的收集、處理和分析，最終歸結為用一種數學模型去解決．

圖2 聚類分析冰柱圖

通過對因子1的聚類分析，結合因子2和因子3，采用第一種聚類標準，提取出數學核心素養由8個成分組成，將其簡稱為：數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格．采用第二種聚類標準，提取出數學核心素養由7個成分組成：數學核心素養由數學抽象、運算能力、推理能力、建模與數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格．

4 討 論

高中數學課程標準修訂組的專家提出了數學核心素養的6種成分：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，與研究者用實證方法得到的結果基本上是吻合的，但多出了問題解決能力和數學文化品格兩個因素．專家組提出的6個數學核心素養，雖然不是以能力冠名，但本質上6個要素均為能力．其中邏輯推理（用詞不準確）包括演繹推理和合情推理，與研究者提出的數學推理是一致的．

事實上，數學建模與數據分析屬于問題解決范疇，因此可能有包含關系之嫌，但是，問題解決具有的性質是數學建模和數據分析不能涵蓋的．數學的交流、閱讀、變換、應用和解決各類問題，都屬于問題解決的基本要素，因此問題解決能力當屬數學核心素養的一個成分．至于數學文化，它是滲透在數學知識深層的隱性元素，“數學素質的本質是數學文化觀念、知識、能力、心理的整合，而實現數學素質教育目標的關鍵在于充分體現數學文化的本質，把數學文化理念貫穿到數學教育的全過程中”[14]．數學文化是學生數學品格的形成不可缺少的因素，高中課程標準修訂組專家把這一因素排斥在外的做法，是值得商榷的．

5 研究結論

（1）通過因子分析和第一種標準的聚類分析，數學核心素養由數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格等8種成分

組成．

（2）通過因子分析和第二種標準的聚類分析，數學核心素養由數學抽象、運算能力、推理能力、建模與數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格等7種成分組成．

致謝：感謝下列老師主持本研究的調查測試并收集數據．福建師范大學李祎，河南師范大學王振平，深圳大學傅贏芳，廣西師范大學唐劍嵐，鄖陽高等師范專科學校余曉娟，湖南師范大學謝圣英，湖南科技大學曾友良，贛南師范學院曹新，內蒙師范大學李偉軍，山西師范大學楊紅萍，杭州師范大學葉立軍，山東師范大學于文華．

[1] 劉新陽，裴新寧．教育變革期的政策機遇與挑戰——歐盟“核心素養”的實施與評價[J]．全球教育展望，2014，（4）：75-85．

[2] 裴新寧，劉新陽．為21世紀重建教育——歐盟“核心素養”框架的確立[J]．全球教育展望，2013，（2）：89-102．

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[責任編校：周學智]

Empirical Study on Elemental Extraction of Key Competencies of Mathematics

YU Ping

(Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

The key competencies of mathematics is the essential mathematics character and key mathematics ability students should have, which can meet the need of both long-life and social developments. On the basis of theoretical analysis, the writer preliminarily dissolves out the elements of key competencies of mathematics. Then the writer makes a factor analysis and different standard of cluster analysis by using large simple questionnaire, which produces two types of structures of the key competencies of mathematics. The first type consists of 8 kinds of basic components, which are mathematics abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity, spatial capacity, problem-solving capacity and mathematical culture character. The second type consists of 7 kinds of basic components, which are mathematical abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity.

key competencies of mathematics; factor analysis; cluster analysis

G420

A

1004–9894（2016）06–0001–06

2016–11–25

江蘇省社科基金項目——中小學生數學核心素養體系建構與教學實踐研究（15JYD001）；江蘇省教育廳重大項目——義務教育學科核心素養和關鍵能力研究（2015JYKTZD-02）

喻平（1956—），男，重慶人，教授，博士，博士生導師，主要從事數學課程與教學論研究．