千古流傳的勾股定理又添新證

◎馬飛

千古流傳的勾股定理又添新證

◎馬飛

千古流傳的勾股定理迄今已有400多種證法，誰能給出一種有別于前人的新證法是極為有趣的，也會引得世人注目。豈料有一位中學教師名叫金明，他真的給出了勾股定理的一種新證法。看來，他是一位不凡的教師。

中等個兒，膀大腰圓，睜著兩只明亮的大眼睛，下巴上有顆痣，相貌堂堂，這就是金明。在當地對人長痣是有說法的，說“男要朗，女要藏”，意思是說男人的痣要長得醒目，越醒目越有神氣，而女人則相反。這么說來，金明的這顆痣是長對了地方，或者意味著他是個有神之人。

對金明的少兒時代我們并不了解，只知道他對勾股定理情有獨鐘是因為他在中學讀書時老師給他們介紹了勾股定理的發現及證明，令他們眼前一亮。遺憾的是許多同學聽過之后一點也沒想要去了解這個勾股定理是多么地不尋常。可它卻像磁石一般吸引著金明，并使他顯示出數學方面的才華。由于他好盤根問底的天性，別人給他起了個綽號——為什么學生。

長大以后極具才智以致他最愛好挑戰，喜歡解答難題還因為那會產生一種極好的感覺。說到解難題的體會時，他說：“當著手解一個難題時，你無法理解它，感到它是那么復雜，讓人一點也看不明白；當你最終解決它時，你會不可思議地感到它是那么地美好，它的解法又是那么地精巧。”

大學畢業后金明不滿足于當一個按部就班的教書匠，而是堅持不懈地進行數學研究。這絕對是異乎尋常的，他因能夠在未知領域探索未能被他人觸及的問題所帶來的那種愉悅而感到滿足，不過他也會聽到同行們的一些非議。他們認為但凡上講臺的大都是師范院校畢業的，對于專業知識和教學方法都會標準地掌握，大家都在一個水平之上，差別自然就難以形成。即使形成也往往是細微的，會因粗糙的感知忽略不計。于是，也就有人說他：“耗神費力花時地發表那些論文一點價值都沒有。”

盡管遭到非議卻依然很感興趣，金明覺得在數學圈外，那些論文不管怎樣被認為毫無價值，他也創建了某些值得創造的東西。但別人并不認可。即便他的論文發表在國家級、省級學術刊物上并且名揚天下，大家還是不認可。雖未發生撕破臉皮、公開交惡的事，卻也使得他與同行之間的關系顯得勉強，為此金明感到悲哀。他痛定思痛，只好緘默不語，放棄了許多成名的機會，以免被來自吹毛求疵的一些細微的質疑所分心，變成了一個生活在內心世界的人。不愛說話，沉默寡言，臉上經常掛著謙遜得幾近羞澀的笑容是金明現在的樣子，而原本他是愛說愛笑的。但他成功了，只不過不是一兩年，而是大半輩子。這是不公平的，可是，如果不這樣，他就會生活在是非圈中永無寧日，可能不會有建樹，起碼不會有大的建樹，不公平也就似乎讓它不公平了。

說真的，他默默無語又靦腆的樣子非常打動人，和那些趨炎附勢、低眉順眼而令人討厭的人相比，有人倒覺得他還是在坦坦蕩蕩做人，以至他孤獨研究的歲月中在數學學術刊物上發表的那些數學論文，讓人們漸漸地勾勒出一幅他和那駕馭著他生命之謎的不平凡的畫面。

起初的論文主要是議論數學教學中他的所感所悟，免不了要歷經異乎尋常的數學上的曲折、真知灼見和靈感閃現。當教師需要處理某些教學上的疑惑問題，或學生欲處理一些特別復雜的計算和難以對付的問題時，他所提供的幫助一直被認為是很有價值的，因而成為了數學界響當當的人物。遺憾的是，他沒有得到他應有的贊譽，更不會像明月一樣當空掛著，就像一句老話說的：墻里開花墻外香。他周圍的人并不仰望他崇敬他——金明！

卻有人酸溜溜地對他說：“啊，金明，你不知道，這是你的幸運啊！”

也許吧。

因為金明知道，此人剛參加工作那會兒，也試著寫了幾篇論文，一篇都沒有發表，十分沮喪自不必說。

也有人語重心長地對他說：“我不知道你發表那些論文圖個啥，有的人發表一篇論文就大張旗鼓地炫耀榮譽地位，這些人都爬上去了，你知不知道？”

這他當然知道。

但他們不知道，金明不是因為追求名利才搞教學研究的。

后來他又盯上了數學中許多未解之謎和有趣的東西。由于他思維縝密，不時發表了一些自己的新成果。上個月《中學數學雜志》有一篇他撰寫的《勾股定理又添新證》在數學界就轟動不小。因為勾股定理的證明源于兩千多年前古希臘時代，而且它是數學中最重要的定理已經為數學界公認。

金明曾研究過那么多的數學問題，是怎么不知不覺地聚集起來，成了他向兩千多年前古希臘的畢達哥拉斯已經證明、后世的數學家們又先后給出了400多種證法的勾股定理挑戰的工具并取得成功的呢？這說來話長，還有一段故事呢！

故事發生的時間大概在三年前的暑假吧。金明像往常一樣走進市圖書館，為了找一本關于數學史方面的圖書。使他驚愕和失望的是，僅有的一本《勾股定理的證法100種》已經被人借走了。

借書者是一個不太熟悉的同行，住在城市另一頭。金明寫信給這位同行解釋說他迫切地需要這本書以完成一篇論文的寫作，并客氣地問對方什么時候可以歸還這本書。幾天以后，同行回信說，這本書他突然找不到了，現在正為這件事發愁呢！

又幾天后，金明收到了參加在省城召開的數學教育學術會議的通知。這太好了，順便可以去圖書大廈看看有沒有《勾股定理的證法100種》這本書。這可是一舉兩得的好事，按理說他應該為此感到高興，可他想想要為此放下教學工作耽誤學生的功課，雖是一兩天他還是不情愿。

這哪是他金明參加那個期盼已久的學術會議的時間？什么事都是有時間地點之區別的，同樣的事，在不同的時間或地點，性質和效果完全不一樣的，甚至有天壤之別。他這么想來，終于決定放棄這次機會。

買書的事兒是在暑假。

事有湊巧。臨放假時金明又收到了參加在省城召開初等數學學術會議的通知。這又是一舉兩得的好事。

省城是他的第二故鄉，在那里他讀完了大學。許多年過去了，已被建設成了一座很美的城市。街上種滿了花，很抒情的；城市的主干道兩側幾乎都排列著或大或小、或土或洋的風景樹。眼下是夏季，正是鮮花盛開之際，滿街的鮮花燦爛如霞，空氣里彌漫著鮮花綻放出來的襲人的香氣。

金明一來到省城，就聞見了鮮花縹緲的香氣。會議期間，他抽空去了圖書大廈，徑直來到了教育類圖書區，便聚精會神地在一個個書架上搜索起來。但是，沒有一本書能吸引他。目前那些專門輔導學生的數學書籍和練習冊已經叫他膩味透了。除了這些，就是各種類型的作文書。這里哪怕只有一本書里有點兒動人心靈的數學史故事，有點兒引導學生發現數學規律和了解數學奧秘，那也湊合了。可是，就連這樣的書也沒有一本。無意間，他的目光落在一本書上，正是《勾股定理的證法100種》，一種“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”的感覺襲上心頭。想想之前，他零零星星地見過勾股定理的若干種證法，卻只有一點模糊的記憶，但明白那些證法個個獨特精彩，他想過要是有一本書將這所有的證法囊括其中那就再好不過了。現在，他為他發現這本書而感到高興，可也覺得遺憾，因為他知道勾股定理的證法有400多種，還是不能看到另外300多種證法。但他還是決定買下此書，不就是10塊錢的事嘛！

此后的日子里，金明一有時間便翻閱此書。在當下人際關系比什么都重要的情況下，他這樣是很不識時務的，他也很明白這個道理。但他不在乎，之前他也不在乎這些。所以對他人際關系方面的情況盡可能少說，這是因為一方面他本身就沒什么好說的，不就是那么回事嗎，另一方面有些可以說的對他來說又很沒趣。比如，在不得已參加一些同學聚會的時候，他顯得有些心煩意亂和沉默寡言，總是不時地看看手表，表明他有強烈的時間觀念。金明雖然表面上害怕別人接近他，希望離人們盡可能遠一點，并喜歡這種感覺——孤獨，但骨子里又似乎希望有人接近。很難想象，如果只有害怕，和同學怎么相處，肯定很難相處，好在還有希望。他曾經非常坦率地解釋說，業余時間他除了鉆研問題外，不可能集中精力于別的事情，而他的研究正處于關鍵時刻，不過或許以后，他會樂意與人相處。在別人看來，他似乎是屬于另一個世界的人，與人聊天總是心不在焉的。但與別人討論他熱衷的某個問題時卻相反，表現出來一種數學教師特有的精細和固執，而他放大了這種固執。給人印象最深刻的是他的談話中表現出來的驚人的精確性和條理性，超過了所有人的期望，而且說話喜歡一會兒比劃動作，一會兒聳肩，一會兒攤手，跟個老外似的。站立的姿勢總是稍微傾斜，重心落在一只腳跟上，讓人感到他是那么自在，滿不在乎。人們很容易從他咄咄逼人的言談舉止中看出——他喜歡跟人擰巴。

就有人不覺犯起了尋思，最終還是認為他讀的書多。在有限的時間里他雖然沒有像古人那般“頭懸梁錐刺股”，但也是廢寢忘食。就拿他得了《勾股定理證法100種》這本書來說，不知有多少個夜晚都在讀這本書。即便上床睡覺的時候，總是希望能夠夢見那另外的300多種證法，可他極少做夢。

但問題不在這里，問題是有一天他大睜著眼望著天花板發呆時突發奇想，想試著給出一種證法。為了達到這個目的，他絞盡腦汁地研究了那書中介紹的每一種證法，試圖從中受到啟迪。再想想他以往的研究一向進展順利，碩果累累，就信心倍增，即便使出渾身解數也要給出一種新的證法。

雖然他被有機會向勾股定理這樣一個著名定理宣戰這一點所吸引，但要發誓給出它的一種新證法的主要原因還在于有許多人想在它上面做文章，多是探索其證法。而它的證法如前所述迄今已有400多種，想再給出一種新的證法猶如上天入地，總是引人注目的。在一個數學家看來，新證法的出現只是遵循思維邏輯發展的一種必然結果。然而在未出現之前，人們還是難于想象的，所以數學有了那么多未解之謎，人們揭開的只是冰山一角。

金明耗時費力地苦思冥想，遺憾的是毫無進展。有一陣子，他懷疑自己是否瘋了，怎么會想著在這世界上最偉大的定理上打主意。但從已經看到的那些證法里，他順便了解到了豐富的數學史知識，更加懂得了勾股定理對于數學以及它的實踐者所具有的更深層次上的重要意義，這一點或許正是他對勾股定理這么執著的動力源泉。他已經研究了《勾股定理的證法100種》中的每一種證法，從證明的思路看，雖然各自有別，但無一例外都是利用了面積相等。再從簡繁程度看，幾乎都不相上下，難分高低優劣。這就是說，通過研究這本書中的100種證法，很難受到啟迪，更不要說給出一種新的證法了。但他不想放棄，他還特別研究了畢達哥拉斯給出的證法，希望像曾任美國總統的加菲爾德一樣受到啟迪而給出一種新的證法。但很失望，只是學到了一些他認為對自己有用的東西。

他又這樣想，既然耗時費力無功而返，說明要探索勾股定理的一種新證法，必須要與已有的證法截然不同，那么這就意味著他不能用慣常的老一套的思路去探索，必須另辟蹊徑。

但話這么說，其實誰都知道，另辟蹊徑談何容易。又從一些數學史書中他明白地知道創建數學是一個充滿痛苦且極為神秘的歷程，通常證明的目標是清楚的，但道路卻隱沒在迷霧之中；數學家們躊躇不決地推算著，擔心著每一步都有可能使論證朝著完全錯誤的方向進行，還擔憂根本沒有路存在，意味著所做出的努力都是徒勞。

的確如此。

于是，金明這樣想，倘若一味地鉆牛角尖會事倍功半，甚至無功而返。

也于是，他理智地決定，暫時放棄探究勾股定理的新證，而是打開思路，不能老是在“圈子內”思來想去，想到的看到的無非還是前輩已給出的那400多種證法而已，而是要跳出圈子，在更廣闊的數學領域去探索。

問題是在數學的哪個具體領域去探索？

眾所周知，數學知識體系越來越龐大，從某種意義上說，跳出原有的“圈子”比之前的探索更困難。所以打開思路這一想法讓人感到他似乎已經有些失去理智。

其實不然。他心里很清楚，所謂打開思路、擴大視野，那也是閱讀更多的數學經典著作，了解更奇妙的數學證明方法。

時間過得真快，轉眼之間，秋季過了又是冬季。寒冷的冬季又被人們拋到了腦后，春暖花開的季節已經來臨。

在嚴肅壓抑的校園里呆久了的金明，想投入大自然的懷抱，享受大自然風光，那是多么快活的事啊！

在一個星期六上午，他手里捏著一本《數學解題思維竅門》，翻閱著，也在等女兒曉宇回來共進午餐，然后一家人去郊游。而在這時，妻子坐在沙發上閱讀最新一期的《家庭雜志》。

在翻閱到某一頁時，金明的注意力被這一頁關于圓冪定理的證法吸引住了。他像進入了無人之地，自言自語地，跟夢游似的飄飄然地踱步到沙發前，呆呆地立了一會兒，又飄飄然地跌坐在沙發上，右手輕輕地點擊著沙發扶手，完全是一副半夢半醒的樣子。妻子感覺到了什么，瞟了他一眼。她驚異于他這種突然的變化，從剛才手里捏著一本書不經意的樣子，到現在恍如隔世的樣子，中間似乎沒有任何過渡。像他身體里有個神秘的開關，可以自如地轉換他的狀態。

這是他永遠不會忘記的充滿靈感的瞬間，后來當他敘述這一時刻時，記憶如潮澎湃，激動得淚水奪眶而出：“我無法理解我之前怎么會沒想到它，足足有5分鐘我望著它不敢相信。我無法控制自己，我太興奮了，這是我鉆研數學的經歷中最重要的時刻，我所取得的成果中再也沒有哪一件會具有這么重要的意義。”

這不僅僅將會使他夢想成真，成為三年潛心努力的終結，而且是他默認了無數困惑、迷茫和孤寂的一個個細節；在于深知自己必須擺脫世俗的偏見，用汗水滋潤心靈，用勤奮耕耘理想；在信念驅使下，他天才的發揮，劍走偏鋒，一下來了個出奇制勝。

妻子已經將《家庭雜志》放到茶幾上，好奇地看著他。

他在沙發上迷迷糊糊了一會兒，就像又醒過來似的，對她說：“我發現了……”

妻子對他這種異想天開的談吐，包括行為方式已深有領教，不會再有唐突和驚亂。所以，她平靜地回敬道： “你又發現什么啦？”

金明擺脫了冥思苦想：“是的，是的。”他謙虛地聳聳肩膀，說：“不過……”

“不過什么？”

“好吧，我說，我也能給出一種勾股定理的精巧證法，是一種新方法。”

“是嗎？”妻子心不在焉地嘟囔說，繼續讀著她的雜志。

金明猶豫了一會兒，然后鼓起勇氣說：“我已經思考三年了，我不想利用那老一套的‘面積相等’來證明，而是另辟蹊徑，利用一個圓冪定理來證明它。”說罷他就急忙鋪紙握筆，在紙上“刷刷刷”地寫起來。

“那大概是新證法。”她半信半疑地說。

這時金明已寫畢站了起來，默默地注視了一會兒紙片上他寫的那些數學符號，有好幾處被涂改了。他轉而看向妻子，因得到解脫而產生振奮：“絕對是一種新方法。”

妻子見他有點兒按捺不住的激動，笑了笑，不知怎么答話，而是喜愛地注視著他。

這是金明以前沒有注意到的一種目光，他的確很激動。像在一個特別難做的添字游戲中填入最后一個提示詞語，總會使人感到滿足。再想象一下，花了好長時間研究一個世界上最偉大的定理，終于給出了一種新的證明方法時，那該有多大的成就感，哪能不激動呢？但他還沒有失去理智。按理智的做法，他還要花更多的時間審查自己的證明過程，以便無懈可擊。今天出現了難得的一家人外出郊游的機會，他如鯁在喉、不吐不快一樣地放松了戒心。

他見妻子呆在那里，便招了招手：“你來瞧瞧。”

“好吧，我看看。”妻子開始感興趣了。

他看著妻子的臉——那是一張全神貫注而又像畫中人那么美麗的臉。妻子看到丈夫在紙上畫了一個圓，圓周上標了A、B、C、D四個點，連結了AB、BC、DC、AD、AC、BD，圖形一旁寫著：

如圖，四邊形ABCD內接于圓，則AC·BD=AB·DC+BC·AD。

當四邊形ABCD為矩形時，上述結論變為AC2=AB2+BC2。

看到這里，她心里涌上一股暖流。丈夫有了新成果，她臉上也有光。暖流過后她還激動不已，想說幾句恭維的話卻找不到合適的詞語，就笑逐顏開起來。她覺得今天郊游的意義非凡，得去特意準備一番。

金明就放下手里的紙片，往窗外看去的時候，外面的街道上車水馬龍，好不熱鬧。收回目光，才發現他對面站著等待他已久的女兒曉宇，她大概是在妻子專心看他給出的新證法時回來的吧！

金明同女兒、妻子共進午餐后，就想向曉宇分享一下他的研究成果。但是，沒等他開口，曉宇卻扯了一通她在學校里的學習情況，又皺著眉頭發了一番對老師的牢騷，說老師一天天成心和他們過不去，就知道布置一大堆練習題讓他們廢寢忘食地去完成。還說她看不出做那么多題與掌握知識有什么關系。

金明想說 “大概與提高學習成績有關系吧”，但他欲言又止。當注意到女兒的困惑，便這么說：“你老師告訴我，從前有一段時間你在數學方面是挺拔尖的。”

“啊，我不想談那個。”曉宇笑了，“那是老師渴望的想法，他就希望我們都那樣。”

“是的。但是，你數學學得很好，不是嗎？”金明堅持想問下去。

曉宇聳了聳肩：“是的，你說得一點不錯。”

“那你，你為什么……”

“為什么？”曉宇重復了一遍，然后沉思了片刻，“我，我自己也不知道，也許是十幾歲孩子的逆反心理吧。我對英語感興趣，成績還可以，但是對數學就不行，除了沉重的壓力，就什么都沒有了。”說罷她癱倒在客廳的沙發上，把毯子拉到頭上蓋住。在她那疲倦的頭腦中，數學題、物理題、化學題、英語題、作文題全都攪在一起了。最后，她終于沉沉入睡……

中午的什么時候，她突然醒了，并且驚奇地感覺到，她不是躺在客廳的沙發上，而是躺在她的臥室那舒適的彈簧床上。她睜開眼睛，發現父親的手稿赫然在眼前，她有點兒驚異。

這時，金明笑嘻嘻地說：“寶貝，我要告訴你一件事。”

“什么事這么神秘兮兮的？”曉宇沉吟了一下說，“是好事還是壞事？”

“你想聽好事，還是想聽壞事？”

“是你的女兒，好事能享，壞事能扛，說吧，什么事？”

金明帶點幽默的口吻對女兒說：“看見了沒有，我要告訴你的事，都寫在這上面呢！”

曉宇就起身，拿手抓過手稿，近看，遠看，左看，右看，又放下看。然后帶著敬佩的神情笑望著自己的父親。

“你干嘛這樣看著我？”金明好奇地問。

“沒什么，我只不過是覺得奇怪，你怎么會想到這種證法的？”

“不用問，主要是從那里想到的，我想。”他朝著對面擺放了許多數學雜志和數學書的書房指了指，又搖了搖手中《數學解題思維竅門》，說，“還有這本書。”

“太巧妙了！”曉宇因直接見證了父親的數學發現這個偉大的時刻而顯得十分激動，作為女兒，她本能地想到了下一步，“爸，你趕快投出去發表吧，還等什么呀！”

“啊，不。”金明完全理解女兒的心情，只是她也應該理解他，發表論文是很謹慎的事。于是他慢條斯理地說：“我還想推敲一下，免得發表后被別人找出毛病，鬧個天大的笑話給自己找難堪。”他分明感到自己真的是越來越多疑，越來越謹慎。是的，是謹慎。

好文章是修改出來的，這道理曉宇懂。“不過，你最好是早點投出去盡快發表。”接下來，她吞吞吐吐了，“我不敢說你這種證法已經有許多人想到了——不是所有人對勾股定理感興趣。但是，”她加強了語氣補充說，“如果有一個人想到了，并給出這種證法，讓你在雜志上看到，那可就糟了。”

話說到這份兒上，一般人都是沖動的。金明雖然心有余悸，依然不乏沖動，卻遲遲沒有表態，大概還是因為心有余悸吧。但曉宇包括她母親又把話說得那么頭頭是道，以至于把他都說服了。

他說：“好，我這就用稿紙謄寫。”

“寫好，我這就給郵局送。”曉宇自告奮勇地說。

不過出于謹慎，金明還是道出了他不急于投稿的理由，然后又把話題轉到女兒的學習上來。

他說：“我還想問你一個問題。”

“問題？”曉宇沉吟了一下，把手稿放到床頭柜上說，“什么問題，你問吧。”

“你以后會對數學感興趣嗎？”金明問。女兒以前數學還行，但并不感興趣，他早有些擔心。今天他給出了勾股定理的一種新證，引得她那么熱心地關注，或許是喚醒了她的心神。

果不其然，曉宇笑了笑說：“以后就不一樣啦——至少，以后不像以前那樣，一看到數學題就頭疼。”眨了眨眼睛，目光投向高處，“這數學還是很有趣的，而且，我將來上大學也要學數學。”

“你要上大學學數學？”金明話鋒一轉，“不過，我希望自己的女兒繼承父業，如果你真的將來上大學選擇數學專業，我可以幫助你實現你的愿望，要是你以后按我的要求去做，你一定會成為數學高手。”

不說曉宇將來是否真的成為數學高手，也不說他們一家人隨后的郊游是如何地興高采烈。據說《勾股定理又添新證》一文發表后，在當地也引起了轟動，教育局長十分看重金明的數學才華，并要金明將所寫的每一本書和雜志送給他。可想而知，當局長見到幾大包數學書和雜志時，是何等地驚訝！

（責任編輯 武原竹）

馬飛，陜北人，大學畢業后當過教師、編輯、記者等。長期致力于中小學生數學素質的開發以及展示數學的魅力和數學之美的研究，有多部相關作品出版。名字和成就被收入《世界名人錄》。在《散文選刊》等省級以上刊物發表作品數十篇；在“新視野”杯全國文學大獎賽、中國散文年會、《小說選刊》全國小說筆會等比賽中獲獎。