不確定輪式移動機器人統一自適應神經網絡H∞控制

葉錦華 吳海彬

福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116

不確定輪式移動機器人統一自適應神經網絡H∞控制

葉錦華 吳海彬

福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116

提出了一種基于自適應神經網絡控制和H∞控制的輪式移動機器人光滑全局跟蹤和鎮定統一的控制器。首先采用橫截函數方法，擴展系統控制輸入，建立與原系統等價的、輸入輸出完全解耦的無奇異全驅動系統，再對新系統設計自適應神經網絡H∞控制器。自適應神經網絡控制可有效補償系統的復雜不確定項。H∞控制器可同時對系統擾動和神經網絡逼近誤差進行預定水平抑制，進一步提高控制器的適應性，優化系統的控制性能。仿真結果驗證了算法的有效性。

輪式移動機器人；軌跡跟蹤與鎮定統一控制；自適應神經網絡；H∞控制；橫截函數

0 引言

非完整輪式移動機器人(wheeled mobile robots，WMR)是一類典型的多輸入、多輸出非完整系統，其控制器設計的困難一方面在于系統不滿足Brockett的必要條件[1]，不存在光滑時不變靜態狀態反饋鎮定控制律，另一方面在于系統存在控制輸入欠驅動。解決這兩個困難的單一控制方法已取得較為豐富的研究成果[2-4]，但是只有少數學者進行了WMR統一控制器的研究[5-13]。統一控制器可以避免實際應用中采用單一控制器組合時的切換控制，有利于提高系統的動態性能和穩定性。然而采用時變控制器[5]易產生控制輸入高頻震蕩，采用基于極坐標方法[6]和動態反饋控制方法[7]設計的控制器存在潛在的奇異，而鎮定控制往往需要額外的限制條件來解決奇異問題。鑒于此，文獻[8]采用橫截函數方法實現WMR的無奇異“實際線性化”，即通過擴展控制輸入解決系統的欠驅動問題。但文獻[8]僅討論了理想系統，而實際的WMR系統總存在模型的不確定性，不可避免地受到外界干擾的影響。文獻[5]基于Lyapunov直接法和反演設計技術，在系統參數不確定的情況下，設計了WMR全局時變輸出反饋自適應統一控制器，但該控制器適用于不確定參數為固定或慢時變的狀況。文獻[9]基于WMR的擴展Heisenberg系統形式，采用滑模控制技術設計了一類統一控制器，但該控制器易產生抖振現象。文獻[10]結合微分平坦和高維動態擴展方法設計了WMR的統一控制器，該控制器僅對WMR轉動軸上的常值干擾具有魯棒性，魯棒性能有限。

為了彌補上述方法的不足，筆者基于橫截函數方法設計了WMR的統一控制器，提出一種結合自適應RBF神經網絡(adaptive RBF neural network, ARBFNN)控制和H∞優化控制的方法。通過H∞控制對外界未知擾動和ARBFNN的逼近誤差進行預定水平魯棒抑制，進一步提高了控制器的控制性能。

1 問題的描述

一般帶漂移項的非完整機械系統可表示為

(1)

式中，廣義坐標向量q屬于一個n維流形G；Xi為系統的光滑控制向量場；ui為控制輸入；P*(q，t)為系統的未知不確定漂移項；τd為未知外部擾動。

當Xi為左不變向量場時，稱系統(式(1))為左不變系統。

本文研究符合unicycle類型的(2，0)型WMR[14]，即m=2，n=3，定義q=[x y θ]T，u=[u1u2]T，u1、u2分別為WMR的前進速度和繞質心軸的轉動速度，則有

X1=[cosθsinθ0]T

X2=[0 0 1]T

向量場X1、X2滿足李代數的秩條件[8]，因此， unicycle型WMR是局部能控的。軌跡跟蹤控制時，為避免跟蹤誤差系統出現結構上的奇異，參考軌跡需要滿足隨時間變化的“持續激勵”條件[15]。鎮定點為與時間無關的固定常數，從而導致跟蹤控制器無法直接用于鎮定控制，這給跟蹤和鎮定統一控制器的設計帶來了障礙，文中通過橫截函數方法來解決這樣的問題。

橫截函數方法首先構造一個可微橫截函數：

f(α):Tn-m→μ

(2)

式中，“·”表示群運算符。

注意到q∈SE(2)，且易驗證unicycle型WMR為左不變系統，即?q1,q2∈G:dLq1(q2)X(q2)=X(q1q2)，其中，Lq1表示q1的群左平移操作，dLq1(q2)表示Lq1對q2的微分，則對式(2)求導，并將式(1)代入可得

(3)

D=P*(q，t)+τde=[0 0 0]T

其中， Rq表示q的群右平移操作；ur=[ur1ur2]T為軌跡參考速度。令z=[z1z2z3]T，進一步引入橫截函數，并構建新的誤差方程：

(4)

對(4)式求導可得

(5)

(6)

(7)

則式(5)可化為

(8)

式(8)是一個包含原系統等價不確定項的線性系統，可見，即使D為不匹配不確定項，在新系統下也實現了解耦匹配，這給控制器的設計帶來極大的方便。

橫截函數f(α)的存在與否是橫截函數方法的一個關鍵，可以通過式(6)的橫截條件來判定一個函數是否構成橫截函數。同一系統橫截函數的構造并不唯一，文中取橫截函數為

易驗證該函數可以滿足橫截條件。對f(α)求導后可得

于是有

其中，ε1、ε2為設計參數，ε1>0，ε2>0。顯然ε1、ε2取值越小，f(α)越接近于平衡點e。系統穩態誤差越小，控制器的增益越大，這導致系統的控制量加大，這容易引起控制器飽和，因此應根據實際需要對ε1、ε2進行合理取值。

文中的研究問題是基于誤差系統(式(8))，設計WMR的統一控制器，實現WMR的全局漸進穩定跟蹤和鎮定控制，并消除系統未知不確定和擾動的影響。

2 控制器設計與分析

本文將ARBFNN控制同H∞優化控制結合起來，使控制器能適用于同時包含未知參數和非參數不確定性的復雜系統，提高了神經網絡控制的收斂速度。ARBFNN控制器用于補償不確定漂移項P；H∞控制器不僅保證系統控制性能，還能保證對擾動τd和ARBFNN控制器補償誤差ε的預定水平抑制。

因為式(8)是一個線性系統，所以可對z中每個變量分別進行控制器設計，定義

則下式成立：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，ψ為網絡輸入，ψ=[iZ1iZ2]；W為權重，W=[w1w2…wl]T∈Rl；l為連接節點數，l>0；徑向基ζ(ψ)=[c1c2…cl]T；μl=[μl1μl2]T為隱含層神經元感應區的中心點;ηl為高斯函數的基寬；ω為RBFNN的逼近誤差。

當W為最優值時，ω的值最小。定義估計值為

(13)

對于H∞控制，是在讓系統穩定的所有控制器中，選擇一個使得抑制信號到系統輸出的傳遞函數的H∞范數最小的控制器，保證整個系統滿足H∞控制性能。對線性系統(式(9))而言，H∞控制器的設計可歸結為求解Riccati代數方程的過程，設計H∞魯棒控制項v為

v=-δTPB/γ

(14)

式中，γ為正的常數；B=[0 1]T；P為正定矩陣。

通過如下Riccati代數方程來求解P：

PA+ATP+Q+(1/μ2-2/γ)PBBTP=0

(15)

其中，Q為給定的正定矩陣。μ(μ>0)為預定抑制水平值，為了保證獲得半正定解P，應滿足2μ2>γ，將式(10)、式(11)代入式(9)可得

(16)

設計自適應律為

(17)

式中，λ為正常數。

(18)

T∈[0，∞) Ψ∈L2[0，T]

證明：選擇候選正定Lyapunov函數為

(19)

對式(19)求導，并將式(14)、式(16)代入可得

(20)

再將式(15)、(17)代入式(20)有

δTPBΨ)/2=

-[δTQδ+(BTPδ/μ-μΨ)T(BTPδ/μ-μΨ)-

μ2Ψ2]/2≤(μ2Ψ2-δTQδ)/2≤

(21)

(22)

因為V(T)≥0，則有

(23)

而

(24)

將式(24)代入式(23)可得式(18)，定理證明完畢。

3 仿真實驗

通過MATLAB環境下的仿真實驗來驗證文中控制器的有效性和控制效果。首先進行控制器的控制參數配置，對Ui取k=[1 1]T，顯然可以使得矩陣A的特征根都在左半開平面，取Q為2×2的單位矩陣，γ=0.01，預定抑制水平μ=0.16，求解式(15)所示的Riccati代數方程可得到

橫截函數的設計參數取ε1=0.08，ε2=0.2，α(0)=0。假設WMR系統在8～10s內受到輪子的側滑擾動，定義打滑模型為

其中，打滑幅度?(t)=0.6，假設系統的不確定項為

首先對WMR使用文獻[8]提出的比例控制器。由圖1可知，由于受到不確定性的不利影響，普通控制器無法進行有效補償，軌跡跟蹤過程存在較大的控制誤差，改變控制器增益時，控制效果仍不能得到改善。使用文中所提控制器，在關閉ARBFNN即僅使用H∞控制器時，軌跡跟蹤結果如圖2所示。通過H∞控制的魯棒抑制，跟蹤效果得到了一定的改善，但由于系統不確定性較為復雜，故仍存在較為明顯的跟蹤誤差。

圖1 文獻[8]控制器的軌跡跟蹤結果Fig.1 Track locus of controller in reference[8]

圖2 關閉ARBFNN時文中控制器的軌跡跟蹤結果Fig.2 Track locus of the proposed controller when ARBFNN is closed

開啟ARBFNN后的軌跡跟蹤如圖3所示。從圖3和表1可以看出，系統擾動和不確定性項得到了有效補償，文中控制器取得良好的控制效果，保證WMR精確地跟蹤參考軌跡。

(a)文中控制器軌跡跟蹤結果

(b)軌跡跟蹤誤差

(c)新誤差系統狀態變化情況圖3 文中控制的軌跡跟蹤仿真結果Fig.3 Simulation results of track locus of the proposed controller

文獻[8]控制器H∞控制器文中控制器Δx(mm)19.95.30.16Δy(mm)25.67.80.38Δθ(rad)0.12890.08780.0013

(a)點鎮定過程

(b)鎮定誤差變化情況

(c)新誤差系統狀態變化情況圖4 點鎮定仿真結果Fig.4 Simulation results of point stabilization

使用統一控制器對WMR進行點鎮定控制，取q(0)=[8m8m0rad]T，仿真結果如圖4所示。從圖4a可以看出，系統實現鎮定后，盡管受到輪子打滑擾動的干擾，WMR仍很快又恢復到平衡值，消除了系統不確定和外部擾動的影響。由圖4b、圖4c可知，系統穩定時的鎮定誤差為有界值(|Δx|≤1.9mm，|Δy|≤3.4mm，|Δθ|≤0.042rad)，這是橫截函數方法實際鎮定的結果。值得一提的是，鎮定誤差有界值可以通過調整設計參數ε1和ε2來改變，以滿足不同系統實際應用需求。

4 結語

研究了包含不確定和外部擾動的WMR軌跡跟蹤和鎮定統一控制器設計問題，針對WMR變量耦合和欠驅動問題，利用原系統對群運算的左不變性，采用橫截函數方法進行解耦和控制輸入擴展。橫截函數方法將鎮定控制的漸進鎮定于原點放寬為實際有界鎮定，盡管僅獲得有界的控制精度，卻取消了對參考軌跡“持續激勵”條件的限制，讓光滑時不變反饋的統一控制律的設計成為可能，并保證控制器的全局性。在此基礎上，針對系統存在的不確定性和外部擾動，通過結合ARBFNN控制和H∞控制，在對系統復雜不確定性進行有效補償的同時，對系統擾動和ARBFNN

逼近誤差進行預定水平抑制，提高了控制器對高度不確定系統的適應性，保證了控制器優化的控制性能。對圓弧軌跡跟蹤控制和原點鎮定控制的仿真結果表明，該統一控制器可消除系統不確定性和外部擾動的影響，提高軌跡跟蹤和鎮定效果。

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(編輯 張 洋)

Unified Adaptive Neural NetworkH∞Control of Uncertain Wheeled Mobile Robots

YE Jinhua WU Haibin

School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University,Fuzhou，350116

A smooth global unified controller of trajectory tracking and stabilization was proposed for nonholomomic wheeled mobile robots based on adaptive neural network control andH∞control. Firstly, the system control inputs were expanded by transverse function method, a nonsingular full drive system which was equivalent to original system was established with decoupled input-output. Then an adaptive neural networkH∞controller was designed for the new system, such that the complex system uncertainty was compensated effectively by the adaptive neural network. Disturbances and approximation errors were attenuated with a prescribed disturbance lever by theH∞control. Adaptability of the controller were further improved, and the control performance was optimized. The effectiveness of the algorithm were verified by simulation results.

wheeled mobile robot; unified control of trajectory tracking and stabilization; adaptive neural network;H∞control; transverse function

2015-12-29

2016-09-30

國家自然科學基金資助項目(51175084)；福建省自然科學基金資助項目(2015J05121)；福州大學科研啟動基金資助項目(510078)；福州大學科技發展基金資助項目(650053)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.02.005

葉錦華，男，1982年生。福州大學機械工程及自動化學院講師。主要研究方向為機器人技術。發表論文10余篇。E-mail:yejinhua@fzu.edu.cn。吳海彬，男，1973年生。福州大學學院機械工程及自動化學院教授、博士研究生導師。