關注抽象過程 建構數學模型
——《乘法分配律》教學與評析

執教/林 慧 評析/韓梅

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第62～63頁。

【教學過程】

一、呈現情境，引思激問

談話：學校要舉行體育藝術節，四五年級展示的是“花樣跳繩”。為了這次體藝節的精彩展示，四五年級的同學們到器材室借跳繩來了。（課件出示借跳繩場景）

師：仔細觀察，從圖中你獲得了哪些信息？

（學生交流）

師：根據這些信息你能提出哪些數學問題？

生1：四年級一共要領多少根跳繩？

生2：五年級一共要領多少根跳繩？

生3：四、五年級一共要領多少根跳繩？

【評析：以學生熟悉的學校體育藝術節為背景，創設一個充滿現實的問題情境，讓學生獲取現實生活中的數學信息，引發數學問題，激起探究欲望，從而積極主動地帶著自己的知識基礎、活動經驗開啟探究活動。】

二、探索發現，激思猜測

1.初步感知。

解決問題：四、五年級一共要領多少根跳繩。

活動：先列綜合算式自主解決問題，再交流想法。

結合反饋板書：

（6+4）×24

6×24+4×24

比較兩道算式。

生1：通過計算，我們發現這兩種解法雖列式不同，但都能解決上面的問題。

生2：雖然這兩個算式樣子不同，但是計算結果是相等的。

師：我們可以把兩個算式寫成一個等式。

2.類比體驗。

出示問題二：為了這次體藝節，體操隊還排練了精彩的團體操。

男生每行6人，共10行；女生每行9人，共10行。你知道參加團體操表演的一共有多少人嗎？（呈現團體操隊形圖）

（1）學生自主解答。

（2）交流反饋，教師相機板書：

（7+9）×10

7×10+9×10

（3）觀察等式，發現特點，引發猜想。

觀察等號兩邊的算式，你發現了什么？像這樣的情況，是偶然巧合還是有其中的規律呢？你能大膽地猜一猜嗎？

【評析：從生活中的實際問題出發，在學生獨立思考、探索的基礎上引導有效的交流，在交流中相互啟發，通過觀察、類比、列舉，使學生對乘法分配律有了初步感知，形成豐富的數學活動經驗。觀察、猜想充分體現了學生學習的主體地位，學生通過解決問題、觀察感悟、比較猜想等多種學習活動，生動活潑地建構起對數學富有個性的理解，發展了學習能力。】

三、自主探究，集思釋疑

1.自主舉例，驗證猜想。

（1）自主舉例，深入體驗規律。

（2+3）×5=2×5+3×5

（100+50）×2=100×2+50×2

（40+3）×10=40×10+3×10

……

（2）想一想，像這樣的等式寫得完嗎？

（3）能用語言描述的方式說明猜想是正確的嗎？相互說一說。

2.反饋交流，引導概括。

（1）在小組里交流發現，可以嘗試采用語言、文字或圖畫等各種方式來表達自己的發現和想法。

（2）學生在展臺上講解反饋。

生1：用字母表示，（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

生2：用語言敘述，兩個數的和乘第三個數，可以把這兩個數分別和第三個數相乘，再把兩個積相加，結果不變。

生3：畫圖表示，（□＋○）×Δ＝□×Δ＋○×Δ。

小結板書課題。

3.揭示規律，反向延伸。

任何事物都可以從正反兩方面去看，你們反著讀一讀用字母表示的等式，這個規律還存在嗎？a×c＋b×c＝（a＋b）×c。

4.回顧歸納，反思內化。

回憶一下，在我們以往的學習中曾經在哪些地方運用過乘法分配律嗎？

生1：長方形的周長計算。

生2：兩位整數乘一位數、兩位數的筆算。

【評析：從數學的角度來看，數學反映的是事物之間的關系和規律，它來源于生活而又遠遠高于生活。學習數學就是對生活經驗進行重組、加工，逐步抽象成數學模型，這樣的學習過程要讓學生親身經歷。學生通過自主舉例驗證猜想，在感悟的基礎上加深了理解，再通過交流，逐步能用規范的數學語言進行概括。正是因為教者及時去情境進而數學化，有效地引導學生小結概括，促進了教學目標得以順利達成。】

四、鞏固應用，拓思提升

1.填空。

27×12＋43×12=（27＋□）×□

15×26＋14×15＝ □○（□○□）

56×□＋44×□＝（□○□）○□

63×15＋□×□＝（□＋□）×□

2.簡便計算。

75×22＋25×22

125×（8＋80）

102×15

3.試一試。

26×16＋44×16＋30×16

這道題和剛才研究的題目有什么不同？你能簡算嗎？

那看來，乘法分配律還可以拓展。能用示意圖把拓展后的乘法分配律這樣表示出來嗎？

4.想一想，生活中還有哪些問題可以用乘法分配律解決？

【評析：學生剛剛學習了乘法分配律，為使學到的知識能更好地納入到原有的已有知識體系里，進行一定數量、有針對性、有實效的基本練習是必需的。本課練習的設計緊扣教學重點，注重練習的層次和坡度，關注實際應用，很好地引領學生經歷了用模的過程，促進了對所學知識的深化理解。】

【總評】

模型思想是數學的基本思想之一，數學模型是溝通生活與數學聯系的橋梁，建立模型的過程就是架設這座橋梁的過程，也是學生數學學習展開、推進和提升的過程。“乘法分配律”是關于運算性質的知識，它溝通了乘法與加、減法之間的關系，在現實生活中有著廣泛的應用價值，是培養學生建模能力的很好素材。本課的教學是通過現實生活情境呈現數學信息，引發數學思考，提出數學問題，再圍繞問題開展研究活動，在探索活動中建構乘法分配律的數學模型，并運用模型解決現實問題。

一、創設情境，感知模型

現代教育理論認為，數學素材來源于學生的生活現實，課始先將學生引進生活，在具體情境中體驗、感受生活化的數學，為后面回歸生活，體驗數學化的生活做好準備。新課程要求“建立模型首先要從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”。這表明發現和提出問題是數學建模的起點。“乘法分配律”是很抽象的數學知識，如果沒有具體的感知材料，學生就無法獲得體驗的機會，只能是在教師帶領下空洞地概括、硬記，只有提供豐富的學習素材，才能促進學生自主探索建立模型。本課以學校體育藝術節為大背景，由此引出“花樣跳繩”和“團體操表演”兩個問題情境。將數學學習與學生熟悉且感興趣的問題有機融合，讓學生真切地感受到所學數學與生活的密切聯系。隨后結合情境引導學生提出問題再列式解答，對于問題一出現不同的算式（6+4）×24 和 6×24+4×24 后，組織學生結合情境討論算理，前一種算法是把四、五年級合起來算出一共有多少個班，再算跳繩的總根數；后一種算法是先分別算出四、五年級的根數再算總根數。解決問題二——團體操表演中的數學問題，更是讓學生在數形結合的過程中感受兩種算法之間的關系，分開算和合起來算的思路形成的過程也正是學生感知乘法分配律的過程。抓住不同算式結果相等而得到一道等式，學生在初步感知數學模型的同時也為后續模型的建立積累了豐富的素材。這一教學環節的安排符合學生的心理特點，利于激發學習興趣，同時也使學生體會到數學的親切感與數學學習的價值。

二、類比推理，初現模型

2011版《義務教育數學課程標準》指出：推理貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。本課中通過問題設計有效地發展了學生的推理能力。首先是合情推理探路徑：在兩組等式得出后引導學生“觀察等號兩邊的算式，你發現了什么？像這樣的情況，是偶然巧合還是有其中的規律呢？你能大膽地猜一猜嗎？”在學生想辦法驗證猜想時給出了友情提醒。一是讓學生通過實際情境列舉幾組相等的但形式不一樣的等式，初步感知規律，提出猜想，再列舉更多的符合這種規律的幾組算式，驗證它們是否相等，最后得出結論。通過問題的引導讓學生經歷合情推理的過程，探索、歸納、感受規律，再通過演繹推理明道理。合情推理的過程對于四年級的學生來說并不困難，符合學生的年齡特征和心理規律，而演繹推理的過程正是從不完全歸納向完全歸納發展的必經之路。友情提醒中的第二條“講道理”就是引導學生從意義上來證明猜想的正確性。學生可能從問題的實際意義“四、五年級一共有10個班，也就是領10個24根”和數學運算的意義“（6+4）個24也就是6個24加4個24”兩個層面來體會與認識，從而發展演繹推理的能力。在這樣先合情再演繹的推理過程中，學生經歷了舉例驗證到說理驗證的數學化的過程，積累了關于乘法分配律的感性經驗，初步體會到乘法分配律的數學意義。

三、多元表征，建立模型

模型建立的重要一環就是“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”，因此引導學生用個性化的表達方式將乘法分配律表示出來，模型才能真正地建立起來。本課教學中，在證明結論后，通過有層次的問題引領學生表達自己的發現。如：可以嘗試采用語言、文字或圖畫等各種方式來表達。再到如果用字母a、b、c表示三個加數，這樣的規律該怎樣表示？學生進行了創造、個性化的表達和交流。這一過程既是學生觸及規律本質的過程，亦是積累共識的過程。既增強學生用符號表達數學規律的意識，體會用字母式子表示乘法分配律的嚴謹與簡潔；也有利于學生抽象思維能力的提升。在這一逐步抽象的過程中，學生經歷了乘法分配律模型建立的過程。

本節課中讓學生經歷了發現問題、提出猜想、驗證規律、個性概括并應用實踐的過程。學生在觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動中，完成了推理、抽象，建立起乘法分配律的模型。然而模型思想的形成不是一蹴而就的，它需要學生經歷一個長期的過程才能有所感悟。在這一過程中，學生總是從相對簡單到相對復雜，相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，初步掌握一些建模方法，才能逐步形成運用模型去進行數學思維的習慣。