新三維混沌系統的復雜動力學分析

趙 慧， 賴 強

(1.南昌理工學院 電子與信息學院， 南昌 330044； 2.江西科技師范大學 通信電子學院， 南昌 330013； 3.華東交通大學 電氣與自動化工程學院， 南昌 330013)

新三維混沌系統的復雜動力學分析

趙 慧1，2， 賴 強3*

(1.南昌理工學院 電子與信息學院， 南昌 330044； 2.江西科技師范大學 通信電子學院， 南昌 330013； 3.華東交通大學 電氣與自動化工程學院， 南昌 330013)

提出了一個含立方項的新三維連續混沌系統.分析了該系統平衡點的穩定性.運用分岔圖、Lyapunov 指數譜、相平面圖等數值仿真研究了系統的動力學行為.對不同的參數值條件，系統將呈現出單穩定性、單周期、單混沌狀態.對不同的參數值和初值，系統存在雙穩定性、雙周期以及雙混沌吸引子現象.

混沌系統； 平衡點； 分岔圖； Lyapunov 指數

混沌是一類非常重要的物理現象，具有遍歷性、有界性、初值敏感性等典型特征，可被應用于工程技術的諸多領域，如保密通信、天氣預測、故障診斷等.自經典的Lorenz混沌吸引子被發現以來[1]，學者們對混沌開展了大量的研究工作.各種類型的混沌系統被廣泛提出，如Chen系統[2]、Lyu系統[3]、Sprott系統[4]、無平衡點混沌系統[5]、指數型混沌系統[6]、多渦卷和多翅膀混沌系統[7]等.近年來，隨著研究的逐步深入，學者們發現一些具有簡單方程組合的連續混沌系統往往能夠表現出多個混沌吸引子共存的現象.這些混沌吸引子具有各自獨立的吸引域，它們的產生并不簡單依賴于系統參數，而且與系統初始條件有密切聯系.Li和Sprott提出了一個連續三維自治混沌系統，該系統能夠同時存在一個周期吸引子、兩個點吸引子和兩個奇怪吸引子[8].Guan等人提出了一個新混沌系統，運用理論分析和數值仿真充分展示了系統中的多共存吸引子現象[9].Kengne等人對只含一個立方非線性項的Jerk系統進行了研究，指出系統在相平面空間中同時存在兩個周期吸引子和兩個混沌吸引子[10].Wei等人研究了廣義超混沌Rabinovich系統，發現該系統具有隱藏吸引子和多周期吸引子[11].Zarei提出了只含一個平衡點的五維超混沌系統，該系統有四翼混沌吸引子和多共存吸引子[12].盡管目前已有部分關于含多個吸引子的混沌系統的研究工作，但總體來說該類研究還處在初步階段，仍需要深入展開.此外，構造一些新的具有不同拓撲結構和復雜動態行為的混沌系統仍然是混沌研究的一個重要且有挑戰的研究課題，能夠為混沌應用提供更多的可能.

基于上述考慮，本文提出了一個新的三維混沌系統，該系統具有如下幾個方面特點：1) 有立方項和常數項；2) 對不同的參數條件，系統分別對應有一個穩定平衡點、兩個穩定平衡點和一個不穩定平衡點、三個不穩定平衡點；3) 系統有豐富的動力學行為，對不同的參數和初值條件，系統表現出單穩定性和雙穩定性、單周期和雙周期、單混沌和雙混沌吸引子.理論和仿真分析了系統的復雜動力學行為.

1系統描述

本文提出的新三維混沌系統可用如下微分方程描述

(1)

其中，a，b，c，d均為大于零的實數.當a=4，b=9，c=4，d=4時，系統 (1) 有一個混沌吸引子，如圖 1 所示.圖 1(a)-1(c) 分別為系統 (1) 的三維相圖、x-y平面投影和x-z平面投影.圖 1(d)-1(f) 為系統 (1)的時間序列、Lyapunov指數、Poincaré截面.此時系統的Lyapunov指數為L1=1.7729，L2=0，L3=-7.5949，對應的Lyapunov維數為DL=2-L1/L3=2.2334.系統 (1) 是分數維的，且有正的Lyapunov指數，故系統存在混沌吸引子.

-c，λ2=a-b，λ3=0，有實部為0的根，故平衡點O是非雙曲平衡點，其穩定性可由中心流行定理判定.

系統 (1) 在平衡點O1，O2處有相同的特征方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3=0，

其中，

當a=4，b=9，c=4，d=4，系統的平衡點為O(0，0，1)，O1(2.828，1.886，6)，O2(-2.828，-1.886，6)，其中O對應的特征值為λ1=-4，λ2=-8.9226，λ3=3.9226，O1，O2對應的特征值為λ1=-10.9162，λ2，3=2.6248±6.0895i.顯然O，O1，O2都為不穩定鞍點.

2動態行為分析

取系統參數a=4，b=9，c=4，初值為x0=(1，1，1)，可得系統 (1) 隨參數d變化的分岔圖和Lyapunov指數如圖 2 所示.從圖 2 可知，參數d從5增加到25的過程中，系統 (1) 分別經歷了混沌、周期以及穩定狀態.當d=6或d=9時，系統 (1) 有一個混沌吸引子如圖 3(a) 和 3(a) 所示.當d=18時，系統有一個周期吸引子如圖 3(c) 所示.當d=19時，系統 (1) 有3個不穩定的平衡點，此時可以觀察到系統 (1) 從兩個不同初值x0=(1，1，1)(實線) 和x′0=(-1，-1，1)(虛線) 出發的軌線最終趨于不同的周期狀態，即系統 (1) 同時存在兩個周期吸引子，如圖 3(d) 所示.當d=20，系統 (1) 有一個不穩定平衡點O(0，0，5)和兩個穩定平衡點O1(1，2/3，6)，O2(-1，-2/3，6). 仿真可得系統 (1) 有兩個不同的穩定狀態分別對應于初值x0(實線) 和x′0(虛線)，如圖 3(e) 所示.當d=25時，系統 (1) 只有一個穩定的平衡點O(0，0，25/4)， 此時系統 (1) 從初值x0，x′0，x1=(0.5，0.5，1)，x′1=(-0.5，-0.5，1)出發的軌線最終漸近趨于平衡點O，如圖 3(f) 所示.

取系統參數a=2，b=8，d=4，初值為x0=(1，1，1)，可得系統 (1) 隨參數c變化的分岔圖和Lyapunov指數如圖 4 所示.對于不同的參數值c，系統 (1) 將出現不同的穩定狀態、周期狀態以及混沌狀態.當c=1時，系統 (1) 只有一個穩定平衡點O(0，0，4)，從不同初值出發的軌線最終都將趨于該平衡點，系統(1) 是穩定的.當c=1.2時，系統 (1) 有一個不穩定的平衡點和兩個穩定的平衡點.仿真可得系統 (1) 有兩個不同的穩定狀態分別對應于初值x0=(1，1，1)(實線) 和x′0=(-1，-1，1)(虛線)，如圖 5 所示.當c=1.5時，系統 (1) 有存在兩個周期吸引子分別對應于初值條件x0，x′0， 如圖 6 所示.當c=2時，系統只含有一個周期吸引子，如圖 7 所示.當c=2.9時，系統有兩個不同的混沌吸引子分別對應于初值x0，x′0，如圖 8 所示.當c=6時，系統有一個混沌吸引子，如圖 9 所示.

3結論

本文提出了一個新三維連續自治混沌，分析了該系統平衡點的穩定性.通過數值仿真展示了系統的復雜的動力學行為.研究結果顯示，當取不同的參數值時，系統分別出現單穩定狀態、單周期狀態和單混沌狀態.對不同的系統初值，系統還存在多共存吸引子現象，包括雙穩定性、雙周期以及雙混沌吸引子.

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Complex dynamics of a new three-dimensional chaotic system

ZHAO Hui1，2， LAI Qiang3

(1.School of Electronic & Information， Nanchang Institute of Technology， Nanchang 330044； 2.College of Communication and Electronic， Jiangxi Science & Technology Normal University， Nanchang， 330013； 3.School of Electrical and Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013)

This paper presents a new three-dimensional continuous chaotic system with cubic nonlinearity. The stability of equilibrium point of the system is analyzed. By using numerical simulations such as bifurcation diagram， Lyapunov exponent spectrum and phase portrait， the dynamical behaviors of the system are investigated. For different parameter values， the system performs mono-stability， mono-cycle and single chaotic state. For different parameter values and initial values， the system performs bi-stability， bi-periodicity and two chaotic attractors．

chaotic system; equilibrium point; bifurcation diagram; Lyapunov exponent

2016-09-17.

國家自然科學基金項目(61603137)．

1000-1190(2017)02-0155-07

O415.5

A

*通訊聯系人. E-mail: laiqiang87@126.com.