善于舉例
——架起具體與抽象之橋——《乘法分配律》教學例談

江蘇省啟東市南苑小學 楊桂花

善于舉例
——架起具體與抽象之橋——《乘法分配律》教學例談

江蘇省啟東市南苑小學 楊桂花

【課前思考】

乘法分配律是蘇教版四年級下冊的內容，是在學生學習了加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律的基礎上教學的。在所有的運算定律中，乘法分配律是學生較難理解和敘述的。如果學生沒有充分經歷從具體到抽象的過程，學生對概念的理解就是表面的、膚淺的、模糊的，也就無法觸摸到數學的本質。

數學的研究對象雖然具有抽象性，但對于某一個抽象層面的數學而言，總能找到與之相對應的具體表征，也就是“例子”來加以闡釋。學生對于數學的認識往往是從具體逐步走向抽象，舉例恰好能把抽象的問題具體化，使復雜的問題變簡單，使陌生的情境變熟悉。史寧中教授曾說過：講課講不明白的時候，最好的方法就是舉例說明。對一個知識是不是理解了，最好的辦法就是舉例說明。舉例是一種教學策略，更是一種教學藝術，體現的是教學智慧。鄭毓信教授把善于舉例作為數學教師的三項基本功之一，在教學中教師不僅自己應善于舉例，還要重視并鼓勵學生舉例。

【課堂踐行】

【片斷一】

出示問題情境一：學校四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩，四、五年級一共要領多少根跳繩？

師：這道題你能用幾種方法解答？請同學們列綜合算式解答。（教師巡視，展示收集到的兩種不同方法，請學生匯報）生1：我列的算式是6×24＋4×24，結果是240根。我是先算四、五年級各領多少根跳繩，然后再合起來。生2：我列的算式是：（6＋4）×24，結果也是240根。我是先求四、五年級共有10個班，再算10個班一共領了多少根跳繩。師：從這兩種方法中，你發現了什么？生：雖然兩種方法不同，但得出的結果卻相同。師：既然這兩個算式結果一樣，那么就可以用等號連起來。師板書：（6＋4）×24=6×24＋4×24。

出示問題情境二：王大伯打算給一塊長方形菜地一圈圍柵欄，菜地的長是78米，寬是22米，圍成這塊菜地的柵欄的總長是多少？

方法同情境一，得出兩式結果相等，板書：（78＋22）×2=78×2＋22×2。

師：請同學們觀察剛才得到的兩個等式，你有怎樣的感覺？是不是看上去很相似啊？生：嗯！可能有規律。師：真有規律嗎？把你的想法在小組內交流一下。師：對于可能存在的規律，僅憑這兩個等式就能說明這個規律肯定成立嗎？生：不能。師：那該怎么辦？生：再找更多這樣的等式。師：你能照樣子寫兩個像這樣有聯系的算式嗎？算一算，驗證結果是否相等。（生舉例驗證，各自匯報……教師隨機板書）師：我們每人都舉了兩個例子，全班合起來就有很多例子，發現兩邊的結果都是相等的，看來同學們心中的那個規律可能真的存在。現在我們能不能換個角度去看，不用計算，就能判斷兩個式子的結果是否相同？（生沉默思考）生：老師，我能。師：你說說看。生：比如（78＋22）×2=78×2＋22×2，左邊括號里算出是100，就表示100個2，右邊是78個2加上22個2，也是100個2，所以兩邊的結果一定是相等的。師：同學們，你聽明白了嗎？生：明白了。師：那你能用這個思路再說說情境一中的算式嗎？生：左邊括號里算出是10，就表示10個24，右邊是6個24加上4個24，也是10個24，所以兩邊的結果一定是相等的。師：再和同桌互相說說你們自己寫的算式。（同桌交流）師：現在我們再來思考，有沒有可能像這樣的式子兩邊不相等？（生思考，嘗試舉出反例……）生：不可能，找不到。師：這么看來，同學們猜測的那個規律是真的存在，你能用自己喜歡的方式表示出你認為的規律嗎？生1：（a＋b）×c=a×b＋a×c。生2：（○＋□）×△=○×△＋□×△。師：同學們真了不起，通過努力驗證了這個規律，你覺得用哪一種表示這個規律更好一些？生：用字母的那一個。師：為什么呢？好在哪里呢？生：前面我們學習的一些定律也是用字母的，簡單好記。師：我也同意你的觀點，這就是咱們數學的簡潔美。這個規律就是乘法分配律。（師板書）

【思考】——模仿舉例，經歷抽象過程，建立模型。

數學建模很多來自于現實生活情境，學生已有的生活經驗有利于建模。課始創設了學校領跳繩和求長方形菜地柵欄的長兩個熟悉的情境，激活了學生的已有經驗，提出“你能用幾種方法解答？”學生很快按要求用兩種不同的方法列式解答，并能夠很容易地得出兩式相等。在以上兩個問題的解決過程中，學生經歷了兩種不同思考方法的計算后，便于學生發現新的知識規律，產生乘法分配律的知識就存在于實際問題解決中的一種數學體驗。

學生在初步得出規律的基礎上，教師并沒有急于讓學生說出規律，而是繼續為學生提供具有挑戰性的探索機會：“請你再舉出一些符合自己心中規律的等式。”學生通過自主探索去發現、猜想、質疑、感悟、調整、驗證、完善，感悟到算式的特點，驗證其內在的規律，從而概括出乘法分配律。

對于乘法分配律的教學，教師不是把重點放在數學語言的表達上，而是放在讓學生在不斷舉例中去完整地感知，經歷“引發猜想——舉例驗證——尋找反例”的探究過程，通過觀察、比較和歸納，大膽用自己喜歡的方式表示出來。學生經過這樣的探究活動，建構起有意義的知識，對乘法分配律的理解也就水到渠成。

【片斷二】

師：現在我也來舉一些例子，你們先算一算，然后把結果相同的兩個式子連起來。學生分小組算。

第一組題：①（41＋26＋33）×28；②46×17－36×17；③39×66＋39×34；④48×99＋48×1；⑤（4＋20）×25。

第二組題：①4×25＋20×25；②(66＋34)×39；③41×28＋26×28＋33×28；④（46－36）×17；⑤48×（99＋1）。

（算第二組題的同學算完時，算第一組題的同學還在算。）

師：把結果相等的算式用線連一連。相等的式子我們都找到了，剛才左右兩邊的同學計算速度相差很多，我們來看看算式的特點。生1：我發現第二組題算起來簡便。師：看來乘法分配律還可以用來簡便計算，提高我們的計算速度。師：大家來觀察這個式子：48×99＋48×1=48×（99＋1），這是我們發現的那個乘法分配律嗎？生1：不是。生2：是，就是把它給倒過來用的，實際意義是一樣的。師：到底怎么想呢？再仔細觀察觀察，聯系我們剛才的很多例子比一比，發現了什么？生3：其實我們只要把每個乘法算式的乘號前后的數交換位置，就是剛才說的樣子！（迫不及待地上黑板指了）左邊可以理解為99個48加1個18，合起來也是100個48，和右邊是一樣的。師：你們有沒有理解了他的想法？是的，這是乘法分配律的逆應用，也可以用來簡化計算。師：再看這組：46×17－36×17=（46－36）×17，你有什么想說的？生：我們剛才做的都是帶“＋”的，可是這個是“－”。師：看來我們的乘法分配律還有新的內涵呢。補充板書：（a－b）×c=a×c－b×c。師：再來觀察（41＋26＋33）×28=41×28＋26×28＋33×28這個等式，你有沒有想說的？生：剛才我們做的都是兩個數的和與一個數相乘，這道題是三個數的和與一個數相乘。師：如果是4個、5個數或更多數的和與一個數相乘，還能用乘法分配律嗎？生：能。師：舉一些例子來說明一下，并且驗證一下你的想法是否正確？生舉例……

【思考】——變式舉例，拓展概念內涵，彰顯本質。

教學中經常看到一些錯誤觀念，例如角必定有一條水平射線；圖形的高必須處于與水平方向垂直的位置，并且一定與底邊相交等。學生之所以會形成這些錯誤觀念，與我們在教學中經常使用的“標準變式”有著直接聯系。從這個角度分析，教學中引入一些“非標準變式”，對于防止或糾正學生的錯誤觀念特別重要。

案例中，當有學生認為48×99＋48×1=48×（99＋1）不是乘法分配律時，教師有意放慢節奏，引發學生爭論，碰撞出思維火花，在教師的引導下，最后達成共識：這是乘法分配律的逆運用，也可以用于計算簡便。這樣的補充舉例，幫助學生打破了思維定式，掌握了乘法分配律的本質特征。

在所舉的題例中，涉及了兩個數相減與一個數相乘；兩個以上的數的和與一個數相乘等形式，綜合性強，思維含量高，既鞏固了乘法分配律的基本形式，又讓學生感知了乘法分配律可以使計算簡便以及乘法分配律的拓展形式，把學生引入了更廣闊的探索空間。正如美國著名數學家舍費爾德說：“求取解答并繼續前進。”教師并不止步于乘法分配律的基本形式，而是通過變式舉例，引領學生學“懂”、學“深”、學“活”，體驗到數學知識的無窮魅力，培養了學生濃厚的數學學習興趣，激發了學生探究新知的內在動力。

【課后感悟】

在教學片斷中，有學生的模仿舉例，通過觀察比較，逐步形成清晰的表象；也有教師的變式舉例，通過思考辨析，促進知識的內化。通過豐富多樣、具體深刻的蘊含“乘法分配律”的很多實例，讓學生親歷觀察、比較、歸納、猜測、驗證、辨析等探究的全過程，實現了由具體實例向抽象數學概念的重要過渡。學生不僅主動獲取了乘法分配律的知識，而且學習到了科學探究的方法，發展了數學思維，提升了數學素養。