由一道題想到的數學思想方法

裘陸勤

一次偶然的機會我通過鯤鵬小數群得知了王永春教授的《小學數學與數學思想方法》，淘到書后我如獲至寶地閱讀起來，當我讀到第三章《與推理有關的數學思想》時，我不禁想起“長方形面積”復習課中的一道練習題：

如下圖，6個相同的小長方形圍成了大小兩個正方形。已知陰影部分的小正方形面積是36平方厘米。1個小長方形的面積是多少？讀完題目，學生思考片刻后在紙上作答，不久紛紛舉手。

師：你是怎么想的？

生1：我先根據陰影部分的小正方形面積是36平方厘米，算出小正方形的邊長是6厘米，由此知道小長方形的長是6厘米：再根據大正方形的邊長是2個小長方形的長，所以大正方形的邊長是12厘米：接著算出小長方形的寬是（12-6）÷2=3厘米。就能算出小長方形的面積是6×3=18平方厘米。

這時，我不得不佩服這名學生清晰的邏輯思維和熟練地運用長方形、正方形的面積公式，成功經歷了兩次“轉化思想”：一次是把大正方形的邊長轉化成兩個小長方形的長：另一次是把小長方形的面積轉化為長×寬來計算。他憑借著一些數學技巧，機智地把這道復雜的面積問題轉化為簡單的應用面積公式題，不失為一種解決問題的上策。

正當我們沉浸在生1的精彩回答時，生2迫不及待地想和大家分享他的思考成果。

生2：我的方法和生1差不多，但又有些不同。我先根據小正方形的面積算出小正方形的邊長是6厘米，所以小長方形的長是6厘米，接下去和他就不一樣了，你看大正方形邊長是相等的，就有小長方形的長+小長方形的長=小長方形的寬+小長方形的長+小長方形的寬，所以小長方形的長=小長方形的寬+小長方形的寬=小長方形的寬×2，因此小長方形的寬是小長方形長的一半，即3厘米。所以小長方形的面積是6×3=18平方厘米。

生2剛說完自己的想法，教室里就響起了掌聲，他們不由自主地贊嘆“這種方法真神奇”。于是，我進一步把他的想法提升到數學思想方法的高度，他無意識中的“代換思想”，有效地把大正方形的邊長用兩種長度相等的量去代替，進行變式，使表面復雜、怪異的式子簡單化、模型化，從而找到解決問題的突破口，解決了這個復雜的數學問題。

這時，我正為學生能完整地講出我的預設而高興時，又有一只小手膽怯地舉起，他告訴我還有更簡單的方法。

生3：我的方法是36÷2=18平方厘米，就是把陰影部分上下分成兩份，和小長方形是一樣大的。

面對這意料之外的解答過程，我只能把問題拋給學生，問：“有誰也是這樣想的？”兩只小手高高舉起。

師：為什么小正方形的一半和小長方形是一樣大的呢？

生4：我眼睛看上去感覺它們的長和寬差不多，

生5：我用尺子量過了，它們確實是一樣長的。

師：猜想，確實是數學學習中的一種好方法。但是數學是嚴謹的，眼見不一定為實，還記得我們上次練習中的測量9：30的角度，大家量出來是直角，最終卻是銳角嗎？我們要驗證推理后才能說小正方形的一半和小長方形一樣大。

為了方便表達，我們給圖形的頂點加上字母。

生3：要說明小正方形的一半和小長方形一樣大，其實這兩部分都是相同的長EH，我們只要說明它們的寬JE和EI相同就可以了。

師：其實我們只要說明E是線段JI的中點就可以了。

生3：剛才生2說了小長方形的長是寬的2倍。線段JI和線段IK都是小長方形的長，線段JE和線段FK都是小長方形的寬，JI-JE=IK-FK，所以線段EI=線段IF。

師：看來點I“身兼數職”，既是線段JK的中點，又是線段EF的中點。

生3：線段EF就是小長方形的長，而線段EI和線段IF是相等的，所以線段EI是小長方形長的一半，就是寬。

（生歡呼，太厲害了，我們成功了）

師：大家真是火眼金睛，一眼看穿了線段的長短，現在我們可以很肯定地用小正方形面積的一半來計算小長方形的面積了。

“變一變，比前面的簡單多了。”一個小男孩的自言自語提醒了我，這樣的解法不就是巧妙地運用了“幾何變換思想”，以運動變化的觀點來處理孤立靜止的幾何問題，把小長方形的面積變換為小正方形面積的一半，收到了意想不到的效果。

原來一道單純“套公式”的面積計算題，學生只是根據題目的提示機械地應用公式，而我利用一題多解的形式，讓學生在觀察、猜想、驗證、得到不同解答的過程中跳出思維定勢，在潛移默化中滲透了數學思想方法的教學，提升了數學思維含量，真正實現了“長智慧”。