拉丁超立方抽樣在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用與發(fā)展

蔣立志，蔡 琦，張永發(fā)，時 浩

(海軍工程大學(xué)核能科學(xué)與工程系，湖北 武漢 430033)

拉丁超立方抽樣在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用與發(fā)展

蔣立志，蔡 琦，張永發(fā)，時 浩

(海軍工程大學(xué)核能科學(xué)與工程系，湖北 武漢 430033)

拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)方法具有較好的空間填充特性和良好的概率性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于計算機(jī)仿真領(lǐng)域，以解決復(fù)雜系統(tǒng)計算機(jī)仿真的巨大運算代價問題和復(fù)雜系統(tǒng)的精確替代模型建立問題。本文介紹了LHS方法在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的優(yōu)勢，綜述了LHS的改進(jìn)方法、優(yōu)化方法及樣本擴(kuò)展方法，給出LHS方法在核能領(lǐng)域的應(yīng)用及存在的問題。最后，指出LHS方法應(yīng)用于非能動系統(tǒng)可靠性分析中的發(fā)展趨勢與方向。

拉丁超立方抽樣；非能動系統(tǒng)；可靠性分析

以非能動余熱排出系統(tǒng)為代表的非能動系統(tǒng)，由于其主要失效機(jī)制為物理過程失效[1]，系統(tǒng)可靠性分析主要采用蒙特卡羅方法，對影響系統(tǒng)物理過程發(fā)展的參數(shù)進(jìn)行多次抽樣，輸入建立的物理模型，預(yù)測物理模型的輸出參數(shù)并統(tǒng)計失效率[2-3]。上述基于蒙特卡羅方法的可靠性分析，通常采用計算仿真進(jìn)行計算。

計算機(jī)仿真常被用于研究復(fù)雜的物理過程，主要包括兩方面的應(yīng)用：一是通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)模型再現(xiàn)物理過程，通過計算機(jī)編程的方式建立仿真模型，通過設(shè)置程序的輸入?yún)?shù)(輸入?yún)?shù)通常滿足一定的分布和限制)，以有限的輸入數(shù)據(jù)集來估計模型的輸出，例如核能領(lǐng)域廣泛使用的RELAP最佳估算熱工水力程序；二是當(dāng)上述仿真程序運行和計算代價十分巨大而難以接受時(例如RELAP最佳估算熱工水力程序的運行通常需要耗費大量時間)，需要尋找一個替代模型(也稱為元模型、近似模型)來近似仿真模型輸入和輸出的映射關(guān)系，最終達(dá)到降低運算代價的目的，例如非能動余熱排出系統(tǒng)可靠性分析中失效響應(yīng)面的建立過程。計算機(jī)仿真的兩種應(yīng)用均依賴于對輸入?yún)?shù)的大量抽樣：前者需要通過隨機(jī)抽樣的方式產(chǎn)生大量輸入?yún)?shù)的樣本，代入仿真模型進(jìn)行成千上萬次運算，才能較精確地模擬物理過程的真實情況；后者在構(gòu)建替代模型時，若實際的物理試驗并不可行或代價太高，也需要通過計算機(jī)模擬的方式產(chǎn)生一定數(shù)量的輸入、輸出組合作為訓(xùn)練樣本，用來訓(xùn)練出輸入、輸出的映射關(guān)系。

采用蒙特卡羅方法進(jìn)行非能動系統(tǒng)可靠性分析時，影響系統(tǒng)物理過程性能的輸入?yún)?shù)較多具有高維特性，最佳估算熱工水力程序單次運算耗時較長增加了計算代價，采用替代模型計算時則需要進(jìn)一步提高模型精確度。文獻(xiàn)[2]指出提高非能動系統(tǒng)可靠性分析過程計算效率的兩個方向：一是使用高效蒙特卡羅模擬技術(shù)以較少的運算次數(shù)獲得更加穩(wěn)健的估計結(jié)果；二是建立替代回歸模型，以加快運算速度。因此，在非能動系統(tǒng)可靠性分析中，為了能精確研究相關(guān)物理過程的特性或者建立物理過程的精確替代模型，為了盡量減少計算代價，抽樣產(chǎn)生的輸入?yún)?shù)樣本必須滿足“空間填充性”和“無坍塌性”[4]。在輸入?yún)?shù)的抽樣過程中，能夠從整個設(shè)計空間獲取信息，抽樣得到的樣本盡可能均勻分布在整個定義空間內(nèi)，具有較好的空間填充性。同時，由于計算機(jī)仿真的輸入、輸出關(guān)系是確定性的，抽樣結(jié)果還要避免高維樣本映射至低維時包含相同的坐標(biāo)，避免樣本的坍塌性。

三種常用的抽樣方法[5]為：簡單隨機(jī)抽樣(Simple Random Sampling, SRS)、拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)、分層抽樣(Stratified Sampling, SS)。SRS方法在每個一維變量的取值范圍內(nèi)隨機(jī)抽樣，組合后形成一個樣本點；LHS方法對每個一維變量進(jìn)行稠密分層抽樣，保證了抽樣的一維均勻性，并通過隨機(jī)配對的方法形成拉丁超立方[6]，一定程度上增強(qiáng)了樣本的空間均勻性和無坍塌性；SS方法將所有變量組成的多維空間分層，每層只抽取一個樣本點。一些文獻(xiàn)[4,8,9]比較了三種抽樣方法的性能，主要得出以下結(jié)論：SRS方法得到的樣本具有較差的空間填充性，留下很大的未抽樣區(qū)域，抽樣得到的樣本太集中；LHS方法的樣本比較分散，沒有SRS方法的聚集特性，同時LHS方法只需要對一維變量分層，操作簡單且保持了良好的概率特性；SS方法的樣本空間填充性能最好，但對于輸入?yún)?shù)較多維數(shù)較高的情況并不適用，SS方法的可操作性及性能在高維情況下不如LHS方法。綜合三類抽樣方法的特點及非能動系統(tǒng)可靠性分析的特點，LHS方法沒有復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念，方便操作和使用，可節(jié)省大量的運算資源，樣本的空間均勻性較好，十分適用于非能動系統(tǒng)可靠性分析。

1 拉丁超立方抽樣的改進(jìn)、優(yōu)化與擴(kuò)展

一些文獻(xiàn)中也有拉丁超立方設(shè)計[4](Latin Hypercube Designs，LHD)的表述，主要集中在試驗設(shè)計領(lǐng)域[7]，本文對兩種表述不做區(qū)分。

1.1 簡單的拉丁超立方抽樣

仿真模型可以用一個抽象的函數(shù)關(guān)系來表示：

y=f(x)

(1)

式中：x=[x1,x2,…,xnX]為模型的輸入向量；nX為輸入?yún)?shù)的數(shù)量；y=[y1,y2,…,ynY]為模型輸出的向量；nY為輸出參數(shù)的數(shù)量。

假設(shè)nX個輸入?yún)?shù)的累積分布函數(shù)如下:

F1,F2,…,FnX

(2)

式中：Fj，j=1,2,…,nX為參數(shù)xj的累積分布函數(shù)。

計算機(jī)模擬的基本思路是通過抽樣生成輸入向量x，其中每個元素xj均服從分布Fj，代入仿真模型計算得到輸出向量y。

LHS方法的基本原理[4-6]為：將每個輸入?yún)?shù)xj的變化范圍劃分成N個等概率不相交區(qū)間，根據(jù)對應(yīng)的分布函數(shù)從每個區(qū)間中隨機(jī)抽取一個值(抽取方法與SRS相同，只是限定在當(dāng)前等概率不相交區(qū)間內(nèi))。將得到的N個x1的樣本xi1(i=1,2,…,N)與N個x2的樣本xi2(i=1,2,…,N)隨機(jī)無替換兩兩組合，得到N個數(shù)對{xi1,xi2}(i=1,2,…,N)。將得到的N個數(shù)對與N個x3的樣本xi3(i=1,2,…,N)隨機(jī)無替換兩兩組合，形成N個三元組{xi1,xi2,xi3}(i=1,2,…,N)。繼續(xù)同樣的隨機(jī)無替換組合，直到形成N個nX元組，表示為:

xi={xi1,xi2,…,xij,,xinX}(i=1,2,…,N)

(3)

上述過程得到N組拉丁超立方樣本，可以表示為一個矩陣形式:

L={xij}：i=1,2,…,N；j=1,2,…,xN

(4)

矩陣L的每行表示一個拉丁超立方抽樣得到的輸入向量，矩陣L的每列可理解為一個參數(shù)的N次抽樣值在{1,2,…,N}上的任意排列組合。

1.2 拉丁超立方抽樣的改進(jìn)、優(yōu)化與擴(kuò)展

LHS方法由于其良好的空間填充性，廣泛應(yīng)用于實驗設(shè)計和計算機(jī)仿真領(lǐng)域。簡單LHS方法仍存在高維均勻性差、偽相關(guān)性[10-11]以及樣本擴(kuò)展的問題，多年來很多研究者致力于改善簡單LHS方法的上述缺陷，發(fā)展了很多新算法。這些新算法大都以簡單的LHS方法為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，本文將這些算法分為三類進(jìn)行介紹：改進(jìn)的拉丁超立方抽樣、優(yōu)化的拉丁超立方抽樣和樣本擴(kuò)展方法。

1.2.1 改進(jìn)的拉丁超立方抽樣

改進(jìn)的拉丁超立方抽樣主要指對簡單LHS方法的中間步驟、算法結(jié)構(gòu)或者抽樣流程進(jìn)行改進(jìn)，以適應(yīng)不同的應(yīng)用場景和需求。本文按照改進(jìn)方式及應(yīng)用場景的不同，將改進(jìn)的拉丁超立方抽樣概括為等概率不相交區(qū)間內(nèi)取點方式改進(jìn)、相關(guān)性改進(jìn)、算法結(jié)構(gòu)改進(jìn)以及正交拉丁超立方設(shè)計(Orthogonal Latin Hypercube Designs, OLHD)四類。

(1) 等概率不相交區(qū)間內(nèi)取點方式改進(jìn)

簡單LHS方法定義中，將每個一維變量的變化范圍劃分為N個等概率不相交區(qū)間，從區(qū)間內(nèi)取點時采用SRS方法進(jìn)行隨機(jī)抽樣，多數(shù)優(yōu)化算法都是基于區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)抽樣，但取區(qū)間中點和邊界點的方式也是滿足LHS定義的。文獻(xiàn)[12]關(guān)注了LHS的起始設(shè)計問題，比較了取隨機(jī)點和取中點兩種方式導(dǎo)致最終優(yōu)化結(jié)果的差異，結(jié)果表明取中點的方式下結(jié)果優(yōu)于隨機(jī)取點。本文認(rèn)為取中點和邊界點的方式只適合于構(gòu)建替代模型的情況，不適用于再現(xiàn)物理過程的情況，這兩種方式取點固定不能模擬實際情況，且不利于后期的樣本擴(kuò)展。文獻(xiàn)[13]取點時以概率密度函數(shù)取代概率分布函數(shù)，以區(qū)間上的概率均值作為抽樣點，也能夠給出更加精確的仿真結(jié)果，但涉及大量積分運算不易操作。

(2) 相關(guān)性改進(jìn)

相關(guān)性改進(jìn)主要包括降低偽相關(guān)性改進(jìn)和引入相關(guān)性改進(jìn)。目的在于消除抽樣結(jié)果各變量間的偽相關(guān)性，或者在某些變量間引入特定水平的相關(guān)性。

簡單LHS方法生成的樣本，各變量之間存在一定的相關(guān)性，稱為偽相關(guān)性，文獻(xiàn)[14]專門研究了偽相關(guān)性與維度、采樣點數(shù)的關(guān)系，并建立回歸模型以預(yù)測偽相關(guān)性水平。文獻(xiàn)[10,11]采用了一種降低偽相關(guān)性的方法，其基本原理是將已獲得拉丁超立方樣本的各列元素進(jìn)行重新排列以降低各列之間的相關(guān)性。

一些情況下的抽樣需要在各變量之間引入相關(guān)性，相關(guān)性可分為統(tǒng)計相關(guān)性和物理相關(guān)性[15]。統(tǒng)計相關(guān)性以相關(guān)系數(shù)來衡量，引入統(tǒng)計相關(guān)性時可設(shè)定一個目標(biāo)相關(guān)系數(shù)矩陣對產(chǎn)生的LHS樣本進(jìn)行修正，將已獲得拉丁超立方樣本的各列元素進(jìn)行重新排列，使得其相關(guān)系數(shù)矩陣接近設(shè)定的目標(biāo)相關(guān)系數(shù)矩陣。統(tǒng)計相關(guān)性引入可在降低偽相關(guān)性改進(jìn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，文獻(xiàn)[8,11,16]均使用了類似方法。物理相關(guān)性指變量間存在函數(shù)關(guān)系而引入的相關(guān)性，文獻(xiàn)[16]介紹了不等式約束條件下引入物理相關(guān)性的方法，并指出物理相關(guān)性與統(tǒng)計相關(guān)性在一定范圍內(nèi)存在線性關(guān)系。

(3) 算法結(jié)構(gòu)改進(jìn)

本文給出三種算法結(jié)構(gòu)改進(jìn)，其共同點是重新設(shè)計了LHS方法的抽樣流程，但不改變LHS樣本的一維均勻性及簡單概率特性，這些改進(jìn)方案適用于不同的場景和需求。

文獻(xiàn)[18]提出一種具有多維均勻性的LHS方法，首先在[0,1]上產(chǎn)生大量(數(shù)量為所需樣本點數(shù)的整數(shù)倍)的均勻分布隨機(jī)樣本，通過判斷樣本點之間的歐幾里得幾何距離剔除那些分布密集的樣本，將剩余樣本隨機(jī)排列后用于得到輸入變量的抽樣值，如果需要引入相關(guān)性，還需要添加相關(guān)性改進(jìn)的步驟。該方法的實質(zhì)是將LHS方法的隨機(jī)配對過程提前至隨機(jī)抽樣環(huán)節(jié)，并加入了以歐幾里得幾何距離為參照剔除密集樣本的過程，一定程度上能夠提高樣本的多維均勻性。

文獻(xiàn)[7,19-22]中涉及到嵌套拉丁超立方體設(shè)計(Nested Latin Hypercube Designs, NLHD)和分片拉丁超立方體設(shè)計(Sliced Latin Hypercube Designs, SLHD)。NLHD是指一個大的LHD中，嵌套了小的LHD，以滿足計算機(jī)模擬試驗的不同精度需求，NLHD嵌套的層數(shù)等于試驗需要的精度個數(shù)。一個SLHD可以分為若干片，相當(dāng)于將若干個重復(fù)抽樣形成的LHD拼接在一起，以滿足計算機(jī)模擬試驗同時擁有定量因子和定性因子的情況。

(4) 正交性設(shè)計

正交拉丁超立方是指輸入樣本矩陣各列兩兩零相關(guān)，多項式模型是一種構(gòu)建非能動系統(tǒng)替代模型的常用方法，當(dāng)輸入變量的樣本矩陣滿足正交拉丁超立方特性[23-25]時，能夠保證一階多項式模型各獨立項、交叉項系數(shù)的非相關(guān)性估計。當(dāng)采用二階多項式模型時，需要輸入變量的樣本矩陣滿足更加嚴(yán)格的正交特性[23]。正交特性同時也能代表抽樣的空間填充性，很多研究集中在正交性設(shè)計上，降低偽相關(guān)性的方法也可以作為一種簡單的正交性設(shè)計。最基本的正交拉丁超立方設(shè)計通?；谡痪仃囘M(jìn)行[26]，首先構(gòu)造一個正交矩陣，將正交矩陣各列不同水平下的元素用一個隨機(jī)排列替換，再根據(jù)矩陣運算得到所需的正交拉丁超立方設(shè)計。為了解決正交矩陣的建立問題、樣本數(shù)量的限制以及提高正交性拉丁超立方設(shè)計的性能，一些改進(jìn)算法被提出[23,27-28]，文獻(xiàn)[29]還利用射影幾何學(xué)的理論進(jìn)行正交矩陣的構(gòu)造。

上述四類改進(jìn)的拉丁超立方抽樣方法，大都為了滿足不同的使用場景，實際中應(yīng)該按照具體的使用條件和需求來選擇。例如，采用LHS方法抽樣建立替代模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)集時可采用等概率不相交區(qū)間內(nèi)取中點的改進(jìn)方法，若干輸入?yún)?shù)間存在相關(guān)性時可采用相關(guān)性改進(jìn)方法，系統(tǒng)維數(shù)不高時可采用PSS方法抽樣輸入?yún)?shù)，綜合考慮定量因子和定性因子時可采用SLHD方法，需要滿足不同的估計精度則采用NLHD方法，采用多項式模型建立響應(yīng)面時推薦采用正交性設(shè)計方法。

1.2.2 優(yōu)化的拉丁超立方抽樣

優(yōu)化的拉丁超立方抽樣主要指利用各類優(yōu)化算法和搜索算法對LHS的抽樣結(jié)果以定義的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇，期望通過尋找最優(yōu)結(jié)果使輸入樣本具有更加優(yōu)良的空間填充性和無坍塌性。

空間填充性的常用評價標(biāo)準(zhǔn)[30]包括：歐幾里得幾何距離、熵、Audze-Eglais(A-E)距離、Kullback-Leibler(K-L)距離和積分均方誤差(IMSE)。其中：歐幾里得幾何距離包含l1距離、l2距離和l∞距離，通過控制樣本點之間的距離大小可以決定樣本在空間的分散程度，以歐幾里得幾何距離作為評價標(biāo)準(zhǔn)的方法又可以分為Maximin準(zhǔn)則和Minimax準(zhǔn)則；熵表征系統(tǒng)的混亂程度，混亂程度越大則樣本的空間填充性越好；A-E距離[31]的定義假定樣本點為空間中分布的粒子，A-E距離表示粒子間的勢能，與距離成反比；K-L距離[30]表征兩個密度函數(shù)之間的差異，要盡量選擇那些密度函數(shù)接近均勻密度函數(shù)的樣本；IMSE越小，則空間填充性越好。很難比較上述評價準(zhǔn)則哪個更優(yōu)越，文獻(xiàn)[32]認(rèn)為K-L距離、A-E距離和熵三種準(zhǔn)則給出的結(jié)果相差不多，但A-E距離運算更快更適合大規(guī)模拉丁超立方設(shè)計。

優(yōu)化的拉丁超立方抽樣方法均以上述評價準(zhǔn)則為目標(biāo)函數(shù)，利用各類優(yōu)化算法和搜索算法對初始的LHS結(jié)果進(jìn)行替換和判定，挑選出那些空間填充性較好的樣本。

相關(guān)文獻(xiàn)中出現(xiàn)的優(yōu)化拉丁超立方抽樣按采用優(yōu)化算法與搜索算法的不同分為以下幾類：

(1) 簡易搜索算法

一些文獻(xiàn)中的坐標(biāo)交換算法[33]和分布式超立方抽樣方法[32](Distributed Hypercube Sampling, DHS)均是相似的原理，可認(rèn)為是一種最簡單地搜索算法。隨機(jī)選擇一個樣本作為初始點，在從剩余空間中抽取多組備選樣本，通過計算備選樣本與已選樣本之間的目標(biāo)函數(shù)，來選擇最優(yōu)的樣本放入最終樣本集。還有一種思路是同時產(chǎn)生多組LHS樣本作為備選，分別計算各組的目標(biāo)函數(shù)，選取性能較好的一組樣本作為最終樣本集。通常備選樣本的數(shù)量越多，最終的樣本集空間填充性越好。

(2) 增強(qiáng)演化算法[12,34,35](Enhanced Stochastic Evolutionary Algorithm)

增強(qiáng)演化算法首先利用簡單LHS方法給出一個初始樣本設(shè)計作為當(dāng)前設(shè)計，重復(fù)改變當(dāng)前的設(shè)計以尋找更優(yōu)的結(jié)果。算法分為兩層循環(huán)：內(nèi)循環(huán)用于探索抽樣空間，每次循環(huán)時通過交換兩個隨機(jī)元素產(chǎn)生一定數(shù)量的新設(shè)計，從新設(shè)計中挑選歐幾里得幾何距離最遠(yuǎn)或者A-E距離最小的與當(dāng)前設(shè)計進(jìn)行比較和取舍，新設(shè)計是否代替當(dāng)前設(shè)計取決于一個門限值；內(nèi)循環(huán)運行結(jié)束后，外循環(huán)判定內(nèi)循環(huán)此次運行對于樣本空間填充性的改善程度，如果改善較大超過了設(shè)定水平，則算法降低門限值快速地搜索出一個局部最優(yōu)設(shè)計，如果改善較小，則算法迅速提高門限值，避開局部最優(yōu)設(shè)計，之后再逐漸降低門限值尋找更優(yōu)的設(shè)計。增強(qiáng)演化算法最終能夠從所有內(nèi)循環(huán)中挑選出最優(yōu)的拉丁超立方樣本。

(3) 模擬退火算法[34,36](Simulated Annealing Algorithm)

模擬退火算法與增強(qiáng)演化算法的步驟相似，首先產(chǎn)生一個初始樣本設(shè)計，預(yù)先定義一系列可能的變異，內(nèi)循環(huán)每次執(zhí)行時隨機(jī)選擇一種變異方式對當(dāng)前設(shè)計進(jìn)行改變，外循環(huán)評估變異對于樣本性能的改善程度，決定是否接受變異，隨著算法的逐漸運行，對于性能較差變異的接受概率越來越小。模擬退火算法與上述增強(qiáng)演化算法的區(qū)別在于前者產(chǎn)生新設(shè)計時隨機(jī)選擇一種變異方式只進(jìn)行一次變異，而后者會產(chǎn)生一定數(shù)量的新設(shè)計從中選取性能最優(yōu)者，可以認(rèn)為后者是前者的一種增強(qiáng)版本。

(4) 排列遺傳算法[37,38](Permutation Genetic Algorithm)

遺傳算法首先產(chǎn)生一組樣本矩陣成為遺傳的第一代，遺傳過程中采用復(fù)制、變異和交叉的方法不斷產(chǎn)生新的樣本矩陣作為子代，在各子代計算目標(biāo)函數(shù)值，利用競爭機(jī)制選出優(yōu)秀的子代，即性能較優(yōu)的樣本矩陣。隨著遺傳過程的不斷進(jìn)行，當(dāng)前樣本設(shè)計的性能不斷提升，直到滿足設(shè)定的收斂準(zhǔn)則。

(5) 粒子群算法[39,40](Particle Swarm Algorithm)

傳統(tǒng)粒子群算法的搜索區(qū)域是連續(xù)的，用于LHS樣本優(yōu)化是需做出改進(jìn)，定義了遷徙和隨機(jī)交換兩種基本操作。遷徙操作是隨機(jī)選取樣本矩陣某列的一個位置，將其與個體最佳設(shè)計(當(dāng)前單個樣本矩陣內(nèi)出現(xiàn)過的最佳設(shè)計)比較，如果隨機(jī)選擇的位置與個體最佳設(shè)計不同，則以最佳設(shè)計的位置交換。隨機(jī)交換是隨機(jī)選取并交換某列的兩個不同位置。LHS樣本優(yōu)化的粒子群算法首先產(chǎn)生一組樣本矩陣，單個樣本矩陣作為一個粒子。對單個樣本進(jìn)行遷徙和隨機(jī)交換產(chǎn)生新設(shè)計，通過計算和判斷目標(biāo)函數(shù)的變化，不斷更新單個樣本內(nèi)的個體最佳設(shè)計和群內(nèi)的全局最佳設(shè)計。文獻(xiàn)[39]還加入一種混合局部搜索過程，建立了一種自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法。

組合使用不同的優(yōu)化算法與評價準(zhǔn)則，可以提出很多類優(yōu)化策略，很難準(zhǔn)確地評價這些策略的性能。文獻(xiàn)[41]利用海水滲透模型的仿真比較了九種優(yōu)化算法的性能，認(rèn)為以中心l2距離為準(zhǔn)則以增強(qiáng)隨機(jī)演化算法為優(yōu)化策略的CLD-ESE方法是最有效的。文獻(xiàn)[40]比較了多種算法的性能，認(rèn)為不同的優(yōu)化算法適用不同的樣本數(shù)量和維數(shù)。文獻(xiàn)[35]也認(rèn)為多數(shù)情況下增強(qiáng)演化算法能夠得到最優(yōu)結(jié)果。實際使用中應(yīng)當(dāng)將各類算法應(yīng)用到實際建立的模型中比較其估計結(jié)果，才能完整地評價這些方法在特定情況下的適用性。。

1.2.3 樣本擴(kuò)展方法

LHS高度結(jié)構(gòu)化的形式使得很難在保持分層特性的同時，為已有的拉丁超立方抽樣結(jié)果增加任意數(shù)量的樣本[6]，LHS的樣本擴(kuò)展往往需要在已有抽樣的基礎(chǔ)上考慮LHS的定義并重新在各一維空間內(nèi)劃分區(qū)間。

文獻(xiàn)[16]提出對原有劃分區(qū)間進(jìn)行細(xì)分的擴(kuò)展方法，可以將LHS樣本擴(kuò)展為初始樣本數(shù)量的二倍。該擴(kuò)展方法的原理是在原始LHS的基礎(chǔ)上，將各一維空間的等概率不相交區(qū)間再次細(xì)分為兩個等概率區(qū)間，排除初始樣本已經(jīng)占據(jù)的空間，從剩余空間使用LHS方法產(chǎn)生新的樣本，與初始樣本拼接得到最終的擴(kuò)展樣本，數(shù)量為初始樣本的二倍。

文獻(xiàn)[42]提出的分位點擴(kuò)展方法，每次將LHS樣本擴(kuò)展為初始樣本數(shù)量的二倍，其基本原理是每次擴(kuò)展時等概率不相交區(qū)間內(nèi)的抽樣取原始區(qū)間劃分的分位點作為樣本，取分位點一方面完成樣本擴(kuò)展，另一方面又將各一維空間再次細(xì)化，并沒有破壞LHS方法的定義和簡單概率特性。

文獻(xiàn)[43]提出一種快速產(chǎn)生樣本的方法，每次只需要抽樣得到所需數(shù)量一半的樣本，再利用鏡像點擴(kuò)展的方法產(chǎn)生另外一半樣本，可認(rèn)為是一種間接的樣本擴(kuò)展方法。

文獻(xiàn)[8]涉及的SLHD方法，將拉丁超立方樣本設(shè)計為分片結(jié)構(gòu)，可以認(rèn)為是一種最簡單的復(fù)制擴(kuò)展方法，即利用原有的區(qū)間劃分進(jìn)行多次抽樣。

上述樣本擴(kuò)展方法中，復(fù)制擴(kuò)展方法擴(kuò)展后的樣本總體不再滿足LHS的定義，重新劃分區(qū)間的擴(kuò)展方法過程比較復(fù)雜但可以結(jié)合相關(guān)性改進(jìn)生成具有相關(guān)性的樣本，分位點擴(kuò)展方法每次擴(kuò)展取區(qū)間分位點不適用于模擬實際物理過程的情形，鏡像點擴(kuò)展則比較簡單。文獻(xiàn)[16]對原有劃分區(qū)間進(jìn)行細(xì)分的樣本擴(kuò)展方法適用于非能動系統(tǒng)可靠性分析，能夠靈活地擴(kuò)展樣本點數(shù)而不用重新設(shè)計算法結(jié)構(gòu)，自適應(yīng)地擴(kuò)展樣本量以達(dá)到要求的仿真精度。后續(xù)研究也可結(jié)合鏡像點擴(kuò)展方法進(jìn)一步提高樣本擴(kuò)展的效率。

2 拉丁超立方抽樣在核能領(lǐng)域的應(yīng)用與發(fā)展

LHS廣泛用于提高計算機(jī)仿真效率和高精度替代模型建立兩種情況。文獻(xiàn)[44]利用LHS方法來提高通過衛(wèi)星觀測降雨量進(jìn)行洪水預(yù)測模型的不確定性計算效率，文獻(xiàn)[8]分析了LHS方法用于復(fù)雜系統(tǒng)不確定性分析和敏感性分析的性能，文獻(xiàn)[45]將LHS方法與重要抽樣(Importance Sampling)方法結(jié)合用于結(jié)構(gòu)可靠性分析，文獻(xiàn)[46]構(gòu)建了一個不確定性系統(tǒng)的多項式混沌展開替代模型，使用LHS方法估計替代模型的傅里葉系數(shù)。

2.1 拉丁超立方抽樣在核能領(lǐng)域的應(yīng)用

LHS方法在核能領(lǐng)域也得到一定的應(yīng)用：

文獻(xiàn)[8]給出一個LHS方法用于WIPP(Waste Isolation Pilot Plant)概率安全分析的實例，分析中包含一個由美國能源部(DOE)建立的大型兩相液體流模型，用來分析含鈾放射性廢水地底處理問題。該模型最終使用了31個不確定性輸入?yún)?shù)，并指定各參數(shù)的概率密度分布以量化其主觀不確定性。LHS方法用于產(chǎn)生這些不確定性參數(shù)的樣本，供抽樣產(chǎn)生三組重復(fù)LHS樣本，共計300個樣本點。同時采用文獻(xiàn)[10]的相關(guān)性控制方法為其中三對參數(shù)引入特定的相關(guān)性，同時保持其他參數(shù)間相關(guān)性接近于零。最終將產(chǎn)生的三組重復(fù)LHS樣本帶入模型計算，統(tǒng)計各組模型輸出參數(shù)的概率分布，比較各組概率分布曲線的穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)[47]估計AP1000余熱排出系統(tǒng)可靠性的方法采用了文獻(xiàn)[48]提出的RMPS(Reliability Methods for Passive Safety)方法分析框架。首先采用最佳估算程序RELAP5/MOD3建立AP1000余熱排出系統(tǒng)的模型進(jìn)行瞬態(tài)分析，采用層次分析法得出影響系統(tǒng)性能的關(guān)鍵參數(shù)，以LHS方法進(jìn)行抽樣組合，輸入余熱排出系統(tǒng)的仿真模型進(jìn)行不確定性傳遞，進(jìn)行關(guān)鍵參數(shù)的敏感性確認(rèn)，最終根據(jù)定義的失效準(zhǔn)則來統(tǒng)計模型輸出的失效率，完成可靠性評估。

文獻(xiàn)[45]將LHS方法與重要抽樣方法結(jié)合，利用LHS方法代替重要抽樣方法中包含SRS方法的步驟以分析結(jié)構(gòu)可靠性問題，數(shù)值仿真結(jié)果表明改進(jìn)后的方法能夠節(jié)省超過50%的硬件需求。文獻(xiàn)[49]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法確定重要方向，提出一種優(yōu)化的線抽樣(Line Sampling)方法，并提出將優(yōu)化線抽樣方法與LHS方法結(jié)合的思路。文獻(xiàn)[2,49]通過數(shù)值模擬驗證LHS方法分別與重要抽樣方法、優(yōu)化線抽樣方法結(jié)合用于反應(yīng)堆非能動系統(tǒng)失效率估計的性能，結(jié)果表明相同運算次數(shù)下：兩種方法均能夠提高失效率估計的精確性；LHS方法與線抽樣結(jié)合失效率估計的精確性是最高的；LHS方法對重要抽樣精確性的改善程度更明顯。

文獻(xiàn)[50]分別使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二次響應(yīng)方法構(gòu)建非能動系統(tǒng)回歸模型，采用LHS方法抽樣產(chǎn)生9個不確定性輸入?yún)?shù)的數(shù)據(jù)，最終代入熱工水力程序運算得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。

上述拉丁超立方抽樣在核能領(lǐng)域的應(yīng)用可概括為三個方面：抽樣產(chǎn)生不確定性輸入?yún)?shù)的樣本以提高失效率估計精度；與其他高級蒙特卡羅模擬技術(shù)結(jié)合以提高小失效概率估計精度；抽樣產(chǎn)生訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，構(gòu)建高精度替代模型。

2.2 拉丁超立方抽樣在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用方向

目前，LHS方法在核能領(lǐng)域的應(yīng)用局限于簡單LHS方法，簡單LHS方法存在高維均勻性差、偽相關(guān)性以及樣本擴(kuò)展難等問題。未來工作中，LHS方法在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用方向如下：

(1) 將改進(jìn)LHS方法引入可靠性分析中，以適用不同的應(yīng)用場景。例如：可使用相關(guān)性改進(jìn)方法，為不同變量間引入統(tǒng)計相關(guān)性或者物理相關(guān)性；采用多項式模型構(gòu)建替代模型和響應(yīng)面時，采用正交拉丁超立方采樣，以保證模型系數(shù)估計的非相關(guān)性。

(2) 將優(yōu)化LHS方法引入非能動系統(tǒng)可靠性分析中，以減少運算時間、降低計算代價，同時降低模型輸出的方差，提高可靠性估計的精確性和可信度。本文列舉的各類優(yōu)化算法，很難準(zhǔn)確地評價其性能，文獻(xiàn)[41]比較了多種算法的性能，認(rèn)為以中心l2距離為準(zhǔn)則以增強(qiáng)隨機(jī)演化算法為優(yōu)化策略的CLD-ESE方法是最有效的。但在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的實際操作中，還需要將各類算法應(yīng)用到實際建立的模型中比較其結(jié)果，才能完整地評價這些方法在特定情況下的適用性。

(3) 將樣本擴(kuò)展方法引入非能動系統(tǒng)可靠性分析中，能夠靈活地擴(kuò)展樣本點數(shù)而不用重新設(shè)計算法結(jié)構(gòu)，自適應(yīng)地擴(kuò)展樣本量以達(dá)到要求的仿真精度。

(4) 非能動系統(tǒng)的實際數(shù)據(jù)獲取較困難或數(shù)據(jù)稀少時，將空間填充性更好的優(yōu)化LHS方法用于抽樣產(chǎn)生適量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，對于建立物理模型的高精度替代模型和節(jié)省計算資源具有重要意義。

(5) 將優(yōu)化LHS方法與線抽樣、子集模擬等高級蒙特卡羅模擬技術(shù)[2,6]結(jié)合，進(jìn)一步提高較小失效概率估計的精度。

3 結(jié)論

本文介紹了LHS方法在非能動系統(tǒng)可靠性分析中的需求及優(yōu)勢，綜述了LHS的改進(jìn)方法、優(yōu)化方法及樣本擴(kuò)展方法，給出LHS方法在核能領(lǐng)域的應(yīng)用及存在問題。最后，指出LHS方法應(yīng)用于非能動系統(tǒng)可靠性分析中的趨勢與方向。

[1] 陳娟，周濤, 劉亮等. 非能動系統(tǒng)可靠性分析方法比較[J]. 華電技術(shù), 2013, 35(2): 14-20.

[2] Zio E, Pedroni N. How to effectively compute the reliability of a thermal-hydraulic passive system [J]. Nuclear Engineering and Design, 2011, 241: 310-327.

[3] Zio E, Pedroni N. Estimation of the functional failure probability of a thermal-hydraulic passive system by Subset Simulation [J]. Nuclear Engineering and Design, 2009, 239: 580-599.

[4] Dam E R V, Husslage B, Meissen H. Maximin Latin hypercube designs in two dimensions [J]. Operations Research, 2007, 55(1): 158-169.

[5] Mcka M D, Beckma R J, Conove W J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code [J]. Technometrics, 1979, 21(2): 239-245.

[6] Zio E. 可靠性與風(fēng)險分析蒙特卡羅方法[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社，2014: 103-105.

[7] 陳浩. 復(fù)雜結(jié)構(gòu)拉丁超立方設(shè)計的構(gòu)造[D]. 天津: 南開大學(xué)博士學(xué)位論文，2013: 1-9.

[8] Helton J C, Davis F J. Latin hypercube sampling and the propagation of uncertainty in analyses of complex systems [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2003, 81: 23-69.

[9] Helton J C, Davis F J, Johnson J D. A comparison of uncertainty and sensitivity analysis results obtained with random and Latin hypercube sampling [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2005, 81: 305-330.

[10] Imam R L, Conover W J. A distribution-free approach to inducing rank correlation among input variables [J]. Communication in Statistics-Simulation and Computation, 1982, 11(3): 311-334.

[11] Olsson A M J. Latin hypercube sampling for stochastic finite element analysis [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2002, 128(1): 121-125.

[12] Rajabi M M, Ataie-Ashtiani B, Janssen H. Efciency enhancement of optimized Latin hypercube sampling strategies: Application to Monte Carlo uncertainty analysis and meta-modeling [J]. Advances in Water Resources, 2015, 76: 127-139.

[13] Huntington D E, Lyrintzis C S. Improvements to and limitations for Latin hypercube sampling [J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 1998, 13(4): 245-253.

[14] Hernandez A S, Lucas T W, Sanchez P J. Selecting random Latin hypercube dimensions and designs through estimation of maximum absolute pairwise correlation [J]. Simulation Conference, 2012, 7202(4): 25.

[15] Petelet M, Loos B, Asserin O, et al. Latin hypercube sampling with inequality constraints [J]. Asta Advances in Statistical Analysis, 2010, 94(4): 325-339.

[16] Sallaberry C J, Helton J C, Stephen C H. Extension of Latin Hypercube Samples with correlated variables [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2007, 93: 1047-1059.

[17] Shields M D, Zhang J X. The generalization of Latin hypercube sampling [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2016, 148: 96-108.

[18] Deutsch J L, Deutsch C V. Latin hypercube sampling with multidimensional uniformity [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2012, 142: 763-772.

[19] Qian Z G. Nested Latin hypercube designs [J]. Biometrika, 2009, 96(4): 957-970.

[20] 楊金雨. 復(fù)雜計算機(jī)試驗設(shè)計與篩選設(shè)計的構(gòu)造[D]. 天津: 南開大學(xué)博士學(xué)位論文，2013: 1-13.

[21] 黃恒振. 某些復(fù)雜試驗的設(shè)計與分析[D]. 天津: 南開大學(xué)博士學(xué)位論文, 2014: 1-5.

[22] Rennen G, Husslage B, Hertog D D, et al. Nested maximin Latin hypercube designs [J]. Struct Multidisc Optim, 2010, 41: 371-395.

[23] Ai M Y, He Y Z, Liu S M. Some new classes of orthogonal Latin hypercube designs [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2012, 142: 2809-2818.

[24] Owen A B. Controlling correlations in Latin hypercube samples [J]. Journal of the American Statistical Association, 1994, 89: 1517-1522.

[25] Ye K Q. Orthogonal column Latin hypercubes and their application in computer experiments [J]. Journal of the American Statistical Association, 1998, 93: 1430-1439.

[26] Tang. Orthogonal array-based Latin hypercubes [J]. Journal of American Statistical Association, 1993, 88: 1392-1397.

[27] Stelios G D. Orthogonal Latin hypercube designs from generalized orthogonal designs [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2009, 139: 1530-1540.

[28] Yin Y H, Liu M Q. Orthogonal Latin hypercube designs for Four-polynomial models [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2013, 143: 307-314.

[29] Ranjan P, Spencer N. Space-filling Latin hypercube designs based on randomization restrictions in factorial experiments [J]. Statistics and Probability Letters, 2014, 94: 239-247.

[30] Jourdan A, Franco J. Optimal Latin hypercube designs for the Kullback-Leibler criterion [J]. Asta Advance Statistical Analysis, 2010, 94: 341-351.

[31] Bates S J, Sienz J, Langley D S. Formulation of the Audze-Eglais uniform Latin hypercube design of experiments [J]. Advances in Engineering Software, 2003, 34: 493-506.

[32] Hess S, Train K E, Polak J W. On the use of a modied Latin hypercube sampling (MLHS) method in the estimation of a mixed logit model for vehicle choice [J]. Transportation Research Part B, 2006, 40: 147-163.

[33] 方磊. 基于LHS抽樣的不確定性分析方法在概率安全評價中的應(yīng)用研究[D]. 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士學(xué)位論文, 2015: 11-20.

[34] Jin R, Chen W, Sudjianto A. An efcient algorithm for constructing optimal design of computer experiments [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2005, 134: 268-284.

[35] Husslage B G M, Rennen G, Dam E R V, et al. Space-filling Latin hypercube designs for computer experiments [J]. Optimal Engineering, 2011, 12: 611-630.

[36] Morris M D, Mitchell T J. Exploratory designs for computer experiments [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 1992, 43: 381-402.

[37] Bates S J, Sienz J, Langley D S. Formulation of the optimal Latin hypercube design of experiments using a permutation genetic algorithm [C]. In 5th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC structures, structural dynamics and materials conference, 2004: 1-7.

[38] Liefvendahl M, Stocki R. A study on algorithms for optimization of Latin hypercubes [J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2006, 136(9): 3231-3247.

[39] Chen R B, Hsieh D N, Ying H, et al. Optimizing Latin hypercube designs by particle swarm [J]. Statistics and Computing, 2013, 23: 663-676.

[40] Mahdi A, Mohammad H, Tayarani N. An adaptive memetic particle swarm optimization algorithm fornding large-scale Latin hypercube designs [J]. Engineering Applications of Articial Intelligence, 2014, 36: 222-237.

[41] Rajabi M M, Ataie-Ashtiani B. Sampling efciency in Monte Carlo based uncertainty propagation strategies: application in sea water intrusion simulations [J]. Advances in Water Resources, 2014, 67: 46-64.

[42] Pleming J B, Manteufel R D. Replicated Latin Hypercube Sampling [C]. In: 46th AIAA/ ASME/ ASCE/ AHS/ ASC Structures, Structural Dynamics & Materials Conference, 2005: 18-21.

[43] Dalbey K R, Karystinos G N. Fast Generation of Space-filling Latin Hypercube Sample Designs [C]. In: 3th AIAA/ ISSMO multidisciplinary analysis optimization conference, 2010: 13-15.

[44] Hossain F, Anagnostou E N, Bagtzoglou A C. On Latin hypercube sampling for efcient uncertainty estimation of satellite rainfall observations in flood prediction [J]. Computers and Geosciences, 2006, 32: 776-792.

[45] Olsson A, Sandberg G, Dahlblom O. On Latin hypercube sampling for structural reliability analysis [J]. Structural Safety, 2003, 25: 47-68.

[46] Choi S K, Grandhi R V, Canfield R A, et al. Polynomial chaos expansion with Latin hypercube sampling for estimating response variability [J]. AIAA Journal, 2004, 42(6): 1191-1198.

[47] 黃昌蕃，匡波. 非能動安全系統(tǒng)可靠性評估方法初步研究[J]. 核安全, 2015, 1(1): 35-41.

[48] Marques M, Pignatel J F, Saignes P, et al. Methodology for the evaluation of a passive system and its integration into a probabilistic safety assessment [J]. Nuclear Engineering and Design, 2005, 235: 2612-2631.

[49] Zio E, Pedroni N. An optimized Line Sampling method for the estimation of the failure probability of nuclear passive systems [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2010, 95: 1300-1313.

[50] Pedroni N, Zio E, Apostolakis G E. Comparison of bootstrapped Articial Neural Networks and quadratic Response Surfaces for the estimation of the functional failure probability of a thermal-hydraulic passive system [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2010, 95(4): 386-395.

ApplicationandDevelopmentofLatinHypercubeSamplinginPassiveSystemReliabilityAnalysis

JIANGLi-zhi，CAIQi，ZHANGYong-fa,SHIHao

(Department of Nuclear Science and Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan of Hubei Prov. 430033, China)

Latin hypercube sampling (LHS) method with better space-filling property is often used for computer simulation, to solve the problem of huge computation cost for complex systems’ simulation and establish more accurate substitution models. LHS method’s advantages in passive system reliability analysis are introduced in this paper. Improved Latin hypercube sampling, optimized Latin hypercube sampling and extension method of samples are summarized. LHS method’s applications and deficiencies in nuclear field are proposed. Lastly, LHS method’s future application and development direction in passive system reliability analysis are suggested.

Latin hypercube sampling; Passive system; Reliability analysis

2016-03-15

蔣立志(1989—)，男，甘肅鎮(zhèn)原人，博士研究生，研究方向為艦船核動力維修工程。

蔡 琦：13871162138@139.com

TL36

A

0258-0918(2017)05-0879-09