恒成立問題的求解策略

楊道坦+楊英輝

恒成立問題是指題設中含有恒成立條件的問題，此類問題具有“變”中“不變”的特點，題型涉及函數(shù)的圖像和性質(zhì)，滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力。本文對常見的恒成立問題的求解策略進行歸類與解析，以饗讀者。

一、構造函數(shù)法

例：設集合P={m|-1

A. PQ B. QP C. P=Q D. P∩Q=?

分析：不等式與函數(shù)關系密切。遇到不等式問題時，可考慮構造相應的函數(shù)來解決問題。

解：構造函數(shù)f（x）=mx2+4mx-4，對其函數(shù)類型進行討論：

當m=0時，f（x）=-4<0恒成立；當m≠0時，f（x）=mx2+4mx-4<0恒成立m<0且?=（4m）2+16m<0，即-1

評注：構造函數(shù)法是解決不等式恒成立問題的常用方法。本題的易錯點是容易忽略m=0的情況，習慣地將f（x）視為二次函數(shù)，從而出現(xiàn)漏解情形，容易錯選為C。

一般情況下，這種題型的解題步驟是：先構造函數(shù)f（x）=ax2+bx+c。

ax2+bx+c>0恒成立a=b=0，c>0或a>0，?<0；

ax2+bx+c<0恒成立a=b=0，c<0或a<0，?<0。

變式研究：求使不等式mx2+4mx-4<0對任意實數(shù)m∈〔-1，1〕恒成立的條件。

分析：解此題時不要思維定勢，應換位思考，把不等式mx2+4mx-4<0視為關于m的不等式。將所求范圍的參數(shù)視作已知量，將已知范圍的參數(shù)視作參變量，從而構成新的函數(shù)解析式。

設f（m）=mx2+4mx-4=（x2+4x）m-4，m∈〔-1，1〕

f（m）<0，m∈〔-1，1〕恒成立

解得-2-2

評注：本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，我們把它化歸為一個非常簡單的函數(shù)問題。一般情況下，構造函數(shù)f（x）=ax+b。

二、分離參變量法

例：已知c>0，設P：函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù)，Q：關于x的不等式x+|x-2c|>1的解集是R，如果P和Q中有且僅有一個正確，求c的取值范圍。

分析：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量（非參變量）的范圍已知，則可以通過恒等變形將參變量和非參變量分別置于等號或不等號的兩邊，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題。

三、構造恒等式法

例：設A、B是拋物線y2=2px（p>0）上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β=時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標。

分析：設A（x1，y1），B（x2，y2）由題意得x1，x2≠0，又直線OA，OB的傾斜角α，β滿足α+β=，得0

將y1+y2=，y1·y2=代入上式整理化簡，得b=2p+2pk，此時直線AB的方程可表示為y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0。

等式k（x+2p）-（y-2p）=0是不隨著k的變化而變化的恒等式，故，故直線AB恒過定點（-2p，2p）。

評注：解本題的關鍵是抓住A、B兩點的“變”中有α+β= “不變”的特點，以等式為載體，構造關于k的恒等式，在恒等式中比較等式兩邊的系數(shù)，列方程組進行求解。