基于同步角的單輸入齒輪分流傳動系統均載特性分析

潘磊，朱如鵬，靳廣虎

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基于同步角的單輸入齒輪分流傳動系統均載特性分析

潘磊，朱如鵬，靳廣虎

(南京航空航天大學江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室, 江蘇南京，210016)

針對某單輸入齒輪分流傳動系統，給出系統存在誤差情況下同步角的原理，推導雙聯軸的扭轉變形、齒輪的嚙合變形和齒輪的中心位移引起的分流級大齒輪偏轉角。在此基礎上，研究雙聯軸的扭轉剛度、支撐剛度、階梯軸的彎曲變形及系統誤差對傳動系統靜態均載特性的影響。研究結果表明：影響分流級大齒輪偏轉角的主要因素為雙聯軸的扭轉變形和齒輪的中心位移；減小雙聯軸的扭轉剛度可改善系統的均載性能；階梯軸的彎曲變形對系統的均載特性有影響；系統的均載特性對雙聯軸的支撐剛度敏感；并車級綜合誤差對系統均載特性的影響比分流級綜合誤差的大。

齒輪；均載；分流；同步角

與傳統的行星齒輪傳動系統相比，齒輪分流傳動系統具有功重比大、傳動平穩、可靠性高等優點[1?4]?；谶@些優勢，該傳動系統在航空、艦船等領域具有很好的應用前景。齒輪分流傳動系統的核心是均載特性，國內外學者針對其均載特性進行了一系列的研究。ISABELLE等[5?6]提出采用彈性扭力軸、矩形彈性墊等彈性裝置來優化齒輪分流傳動系統的載荷分配。KRANTZ等[7]對單輸入齒輪分流傳動系統的動力學均載特性進行了分析，研究了系統的振動能量與彈性扭力軸扭轉剛度之間的關系。在此之后，KRANTZ等[8?9]提出不使用任何均載裝置的設計方法并進行了試驗驗證，并成功運用于Comanche直升機，但該設計方法對系統的加工和裝配精度要求很高。為此，WHITE[4]提出了在雙聯軸內部嵌套柔性軸的設計方法，該設計方法使系統的均載性能更好。在CH-53K直升機的傳動系統中，GMIRYA等[10?11]采用了彈性軸裝置，并對其均載性能進行了靜態和動態的試驗研究。董皓 等[12?13]利用集中參數理論，基于變形協調條件對不同結構的齒輪分流傳動輪系進行了靜力學均載特性的研究，但忽略了軸的彎曲變形。桂永方等[14?15]通過推導雙輸入齒輪分流傳動系統的動力學微分方程，分析了傳動軸的扭轉剛度及齒側間隙對傳動系統動力學均載特性的影響。目前，如何全面地分析彈性變形和系統誤差對分流傳動系統均載特性的影響，卻鮮有文獻報道。本文作者以單輸入齒輪分流傳動系統為研究對象，給出系統存在偏心誤差和安裝誤差情況下的同步角原理，研究扭轉剛度、支撐剛度、彎曲變形及系統誤差對傳動系統靜力學均載特性的影響，為單輸入齒輪分流傳動系統的均載設計提供一定的依據。

1 同步角的原理

圖1所示為單輸入齒輪分流傳動系統示意圖，其工作原理為：扭矩經輸入齒輪Zp分配至大齒輪ZLs和ZRs，經小齒輪ZLh和ZRh匯聚至輸出大齒輪ZB。其中，齒輪ZLs和ZLh與齒輪ZRs和ZRh通過雙聯軸聯接。

研究表明[8?9]：通過在單輸入齒輪分流傳動系統齒輪副(Zp和ZRs或Zp和ZLs)之間預留1個齒側間隙，系統便可獲得良好的均載效果。該齒側間隙可用同步角來表達，如圖2所示。假設輸出大齒輪ZB為剛性約束，并給輸入小齒輪Zp施加1個順時針力矩，若所有齒輪都處于嚙合狀態，則為0 rad；若某一齒輪對因齒側間隙不能嚙合，則等于使該分支并車級小齒輪進入嚙合時分流級大齒輪需旋轉的角度。在上述的順時針力矩下，若齒側間隙存在于左分支齒輪副Zp和ZLs，則同步角為負；若齒側間隙存在于右分支齒輪副Zp和ZRs，則同步角為正。

圖1 單輸入齒輪分流傳動系統示意圖

圖2 同步角示意圖

按照上述定義，同步角的計算公式為

2 各偏轉角的計算方法

(3)

式中：npis和nBih分別為分流級和并車級齒輪副的平均嚙合剛度；bis和bih分別為齒輪Zis和Zih的基圓半徑。是由雙聯軸的扭轉變形引起的齒輪Zis沿圓周方向的轉角，的計算公式為

式中：isih為雙聯軸的扭轉剛度。

在上述計算式中，雙聯軸的扭轉剛度根據材料力學求解，齒輪的平均嚙合剛度依照GB/T 3480—1997計算。其中，人字齒輪的平均嚙合剛度采用斜齒輪嚙合剛度的并聯方式計算。

圖3所示為齒輪Zm和齒輪Zn剛接觸時，小齒輪的初始位置角度示意圖，此時兩齒輪在分度圓處嚙合。圖3中：mn?mn表示固定坐標系，mn由剛接觸時的大齒輪圓心指向小齒輪圓心；Xmn?Ymn表示動坐標系，Ymn始終由大齒輪圓心指向小齒輪圓心。需要說明的是：當下標m表示Zp時，下標n表示ZLs和ZRs；當下標m表示ZLh和ZRh時，下標n表示ZB。

圖3 小齒輪初始位置角示意圖

由圖3可見齒輪Zm和Zn與坐標軸mn的初始夾角分別為：

(6)

(8)

圖4所示為當小齒輪承受順時針轉矩時齒輪Zm和齒輪Zn的角度關系圖。此時角和可表示為

式中：mn為齒輪對的原始中心距；mn和mn分別為齒輪副兩中心沿坐標軸mn和mn的位移差，且有

圖4 受載后小齒輪的位置角示意圖

Fig.4 Sketch map of angle of pinion under torque

式中：m和n分別為齒輪Zm和Zn的中心因彈性變形沿坐標軸mn的位移；m和n分別為齒輪Zm和Zn的中心因彈性變形沿坐標軸mn的位移；為齒輪Zm和Zn當量至嚙合線的綜合誤差。

(12)

根據漸開線齒輪嚙合的特點，**，**和**的長度可表示為

(14)

則小齒輪Zm與坐標軸mn的夾角變為

則小齒輪Zm由齒輪的中心位移產生的沿順時針方向的偏轉角可表示為

(16)

若小齒輪承受逆時針力矩，需要對上述求解方法做一些修正，將式(8)、式(11)和式(15)分別改為：

(18)

(19)

則小齒輪Zm由齒輪的中心位移產生的沿逆時針方向的偏轉角為

軸承的支撐剛度依據文獻[16?17]求解；箱體的彈性變形取為軸承支撐變形的一半；階梯軸的彎曲變形利用積分變換法計算；齒輪的等效誤差利用簡諧函數當量至嚙合線上獲得[18]，此時，各級各分支的綜合誤差如式(21)和式(22)所示。

(21)

式中：為齒輪的轉速；和分別為偏心誤差和安裝誤差的幅值；和分別為偏心誤差和安裝誤差與方向坐標軸的初始夾角；為齒輪副的中心線與方向坐標軸的夾角；為齒輪的壓力角；為時間。

3 傳動系統的平衡方程及均載特性分析

3.1 傳動系統的平衡方程

式中：為總輸入扭矩。

聯立求解式(23)即可求得左、右分支雙聯軸扭矩L和R。為便于表達系統的均載特性，以左、右分支雙聯軸的扭矩與總扭矩的百分比來衡量傳動系統均載性能即載荷分配系數。則兩分支的載荷分配系數L和R可表示為

系統的載荷分配系數為

(25)

3.2 傳動系統的均載特性分析

采用上述分析方法，本文對某單輸入齒輪分流傳動系統的均載特性進行了計算與分析。傳動系統的主要參數如下：輸入功率為150 kW，輸入轉速為 3 000 r/min；角g為160°，角p為60°；其他參數如表1所示。

表1 單輸入齒輪分流傳動系統參數

3.2.1 齒輪ZRs和ZLs偏轉角的分布規律研究

圖5所示為傳動系統各個誤差的幅值均為50 μm，同步角為1.03 mrad[7]時，由齒輪的中心位移、齒輪的嚙合變形和雙聯軸的扭轉變形引起齒輪Zis偏轉角隨時間的變化曲線。

(a) 齒輪ZLs偏轉角；(b) 齒輪ZRs偏轉角

由圖5可見：影響齒輪Zis偏轉角的主要因素為雙聯軸的扭轉變形和齒輪的中心位移，而齒輪的嚙合變形引起的偏轉角非常小?？梢?，影響該傳動系統均載特性的主要因素為齒輪的中心位移和雙聯軸的扭轉剛度。

3.2.2 雙聯軸扭轉剛度與系統均載特性的關系

圖6所示為雙聯軸扭轉剛度與傳動系統載荷分配系數的關系曲線。

由圖6可見：雙聯軸扭轉剛度對傳動系統的載荷分配系數影響很大。通過減小雙聯軸的扭轉剛度可以增大對由中心位移引起的齒輪Zis偏轉角的補償，使由中心位移引起的齒輪Zis偏轉角所占的比重降低，從而可以有效地改善系統的均載性能，這也是分流傳動系統采用彈性扭力軸的主要原因。

3.2.3 雙聯軸支撐剛度與系統均載特性的關系

圖7所示為雙聯軸的支撐剛度對傳動系統載荷分配系數的影響曲線。

圖6 雙聯軸扭轉剛度對系統載荷分配系數的影響

1—H方向；2—V方向。

由圖7可見：由于雙聯軸的支撐剛度同時影響2對齒輪的中心位移，雙聯軸的支撐剛度對傳動系統的均載特性影響較大。隨著雙聯軸支撐剛度的不斷增大，傳動系統的載荷分配系數不斷下降。這是因為，隨著雙聯軸支撐剛度的增大，雙聯軸上齒輪的中心位移減小，由中心位移引起的齒輪Zis偏轉角所占的比重 降低。

3.2.4 系統誤差與系統均載特性的關系

圖8所示為分別改變分流級和并車級各誤差的幅值時，傳動系統載荷分配系數的變化曲線。

1—分流級；2—并車級。

由圖8可見：隨著系統誤差幅值的增大，系統的載荷分配系數不斷增大。其中，并車級綜合誤差對系統均載特性的影響比分流級的大，在工程設計時要特別注意并車級的綜合誤差。

3.2.5 階梯軸的彎曲變形與系統均載特性的關系

圖9所示為階梯軸的彎曲變形對兩分支載荷分配系數的影響曲線。

由圖9可見：考慮軸的彎曲變形時，系統兩分支最大的載荷分配系數為56.76；不考慮軸的彎曲變形時，系統兩分支最大的載荷分配系數為55.13，因此，彎曲變形對傳動系統的均載特性有一定的影響。

為進一步分析彎曲變形對系統均載特性的影響，圖10所示分別為改變雙聯軸的扭轉剛度和系統誤差幅值時，階梯軸的彎曲變形與系統均載特性之間的變化關系。圖10中的縱坐標最大載荷分配系數差值表示：在圖9中的時間段內，有彎曲變形傳動系統的最大載荷分配系數減去無彎曲變形傳動系統的最大載荷分配系數。

由圖10可見：隨著雙聯軸扭轉剛度和系統綜合誤差的增大，傳動系統的均載特性越差，彎曲變形對傳動系統均載特性的影響越敏感?？梢?，在分析齒輪分流傳動系統靜力學均載特性時，不應忽略階梯軸彎曲變形的影響。

(a) 有彎曲變形；(b) 無彎曲變形

(a) 雙聯軸扭轉剛度；(b) 誤差幅值

4 結論

1) 給出了傳動系統存在誤差情況下同步角的原理，推導并計算了雙聯軸的扭轉變形、齒輪的嚙合變形和齒輪的中心位移引起齒輪Zis的偏轉角。

2) 影響齒輪Zis偏轉角的主要因素為雙聯軸的扭轉變形和齒輪的中心位移。

3) 系統的載荷分配系數隨著雙聯軸的扭轉剛度和系統綜合誤差的增大而增大，隨著雙聯軸的支撐剛度的增大而減小。

4) 隨著雙聯軸扭轉剛度和綜合誤差的增大，彎曲變形對系統均載特性的影響越大。

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(編輯 楊幼平)

Load sharing characteristics of single-input gear split torque transmission based on synchronous angle

PAN Lei, ZHU Rupeng, JIN Guanghu

(Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The solution of solving synchronous angle was given for a single-input cylindrical gear split-torque transmission with gear errors. The defection angles of big gear in split torque stage caused by torsional deformation of duplicate gear shaft, gear engagement distortion and gear center displacement were driven. Impact of torsional stiffness of duplicate gear shaft, bending deformation of step shaft, support stiffness of transmission shaft and comprehensive gear errors on static load-sharing characteristics of system was analyzed after analyzing key influencing factors on the defection angles of big gear in split torque stage. The results show that the key influencing factors on the defection angle of big gear in split torque stage are torsional deformation of duplicate gear shaf and displacement of gear center. The decrease of torsional stiffness of duplicate gear shaft is contributive to the improvement of load sharing. Bending deformation has influence on load sharing. Load sharing is sensitive to support stiffness of duplicate gear shaft. Comprehensive error of synthesized torque stage has larger influence on load sharing than that of split torque stage.

gear; load sharing; split-torque; synchronous angle

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.01.007

TH132.41

A

1672?7207(2017)01?0047?07

2016?01?24；

2016?03?15

國家自然科學基金資助項目(51375226, 51475226)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(NP2016206) (Projects(51375226, 51475226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(NP2016206) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

朱如鵬，教授，博士生導師，從事機械傳動、結構強度、機械CAD及自動化研究；E-mail: rpzhu@nuaa.edu.cn