高中數學中圓的三種方程解析

◆曾寅震

高中數學中圓的三種方程解析

◆曾寅震

在高中數學學習過程中，圓是重要的內容，其主要分為三種基本的方程表達。由于該知識點在實際運用過程中存在著一定的抽象性特征，所以學生知識點掌握較難。本文簡要地就圓的三種不同的方程概念進行分析，并在這基礎上列舉以上三種方程的實際解題方式進行分析。以期為高中學生在對圓的三種方程的學習過程中實現學習效果提升。

高中數學；圓的三種方程；解析

一、圓的標準方程

（一）基本概念闡述。圓的標準方程一般表現為(xa)2+(y－b)2=r2，其中有參數a、b、r，在計算過程中要就a、b、r三個參數進行計算，以此來實現圓的方程的確定。所以要想確定該圓的方程，就必須滿足以下的獨立條件，即圓心坐標決定了該圓的定位，而圓的半徑則決定了該圓的形狀和大小。

（二）實例解析。舉例：有一圓和x軸之間的切點為(5,0)，同時該圓在y軸上截取一段弦長的長度為10，則求出該圓的方程表達式為________．

解法1：假設該圓的方程表達式為(x－5)2＋(y－b)2＝b2，同時假設該圓與y軸之間的交點為A、B兩點，由方程(x－5)2＋(y－b)2＝b2與x＝0，可以得出y＝b±b2－25。

又∵|yB－yA|＝10，

∴|b＋b2－25－b＋b2－25|＝10，b＝±52

∴所求圓的方程為(x－5)2＋(y±52)2＝50.

解法2：假設該圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r〉0)

∵該圓和x軸之間的交點為(5,0)

∴r＝|b|① a＝5②

∵該圓在y軸上的弦長長度為10，

∴a2＋（10/2）2＝r2③

綜合①、②、③可以得出a＝5，r＝52

∴所求圓的方程為(x－5)2＋(y±52)2＝50

二、圓的一般方程

（一）基本概念。圓的一般方程可以表示為 x^2 +y^2+Dx+Ey+F=0 (D^2+E^2-4F〉0)進一步分解為（X+D/2）^2+（Y+E/2）^2=(D^2+E^2-4F)/4。其中圓的半徑可表示為√[(D^2+E^2-4F)]/2。該圓的圓心坐標可表示為 （-D/2，-E/2）且當(D^2+E^2-4F)/4=0時存在實數解 x=-D/2,Y=-E/2

（二）實例解析。舉例為：存在某一圓經過點A(2，－3)與點B(－2，－5)，如果該圓的圓心在直線x－2y－3＝0之上，求證該圓的方程表達式。

解法1：假設該圓的方程表達式為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

所以，4＋(－3)2＋2D＋(－3)E＋F＝0，(－2)2＋(－5)2＋(－2)D＋(－5)E＋F＝0，－(D/2)－2·(－E/2)－3＝0.

∴D＝2，E＝4，F＝－5.

∴該圓的方程表達式為x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

解法2：假設該圓的方程表達式為(x－a)2＋(y－b)2＝r2

所以(2－a)2＋(－3－b)2＝r2，(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，a－2b－3＝0.

則可以求出a＝－1，b＝－2，r2＝10.

∴該圓的方程表達式為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

解法3：由A、B兩點坐標可得知，AB中垂線可表達為2x＋y＋4＝0，其和直線x－2y－3＝0之間的交點(－1，－2)作為圓心，根據兩點距離可求出r2＝10。

∴該圓的方程表達式為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

三、圓的直徑方程

（一）基本概念。圓的直徑式方程可以用以下概念進行表示，當存在某一圓的直徑的兩個端點分別表示為A(a,b)，B(c,d),則該圓的方程表達式可表示為為（x-a）(x-c)+（y-b）(y-d)=0。

（二）實例解析。舉例為：已經得知存在點A(0,2)與某一拋物線y2=x+4上的兩點B、C組合，可以使得AB⊥BC,試求點C的縱坐標的實際取值范圍.

學生在解題之前可首先進行題目分析可以得知，由于點A存在于該拋物線上,假設該拋物線上的點C的坐標表示為(t2-4,t)(t≠2),那么點B就是由AC作為直徑的一個圓和拋物線之間的交點.

所以，假設以AC為直徑的圓的方程表達為x[x-(t2-4)]+(y-2)(y-t)=0.

∵ x=y2-4,

∴ (y2-4)(y2-t2)+(y-2)(y-t)=0,

即 (y+2)(y-2)(y+t)(y-t)+(y-2)(y-t)=0.

又∵ t≠2,y≠2,

∴ (y+2)(y+t)+1=0,即y2+(t+2)y+(2t+1)=0.

∵ y∈R,

∴ Δ≥0,即(t+2)2-4(2t+1)≥0,解得t≤0或t≥4.

所以點C的縱坐標的取值范圍是(-∞,0]∪[4,+∞).

結束語

在高考數學中，對于圓的知識內容的考察十分常見，其中圓的三種方程式基礎性的學習內容。所以，高中學生在數學課程學習的過程中應當重視圓的方程的內容的學習，加深對不同方程的理解，并熟練掌握相關的方程解決技巧。只有這樣，才能最大程度地實現圓知識內容的掌握，為之后更進一步的圓相關知識的學習奠定基礎。

[1]楊海軍.求圓的方程問題的四種解法[J].中學生數學,2016,11:20-21.

[2]楊瑞強.巧設圓系方程 妙求圓的方程[J].河北理科教學研究,2013,05:9-10.

（作者單位：湖南省長沙市第一中學）