高中數學中兩條直線的平行和垂直問題

◆文宇哲

高中數學中兩條直線的平行和垂直問題

◆文宇哲

直線間的關系包括相交與不相交，而其中存在的特殊情形又有平行和垂直兩種，是高中數學中需要進行重點掌握的位置關系。用科學、嚴謹的數學思維邏輯來證明兩條直線的關系，對于我們高中生來說，必須學會這種解題思路，才能在接下來的數學幾何學習中，起到至關重要的積極作用。本文從高中數學教材出現，分析其中涉及到直線垂直和平行的問題，再提出相關解決方式。

高中數學；直線；平行；垂直

一、高中數學關于兩直線平行的問題

（一）直線平行的條件。兩條直線之間的位置關系通常與它們的斜率有著直接關聯，如果直線當中的一條沒有斜率時，就分析另一條的斜率，若也沒有斜率存在，那么說明兩條直線是平行關系。另一方面，當這兩直線都是和地面傾斜角呈90度的情況，也就是說兩條直線是互相平行的情況。另外，假若兩條直線同時和第三天直線相交，三線之間必然會形成同位角、內錯角，若其中各個同位角相等，內錯角也相等，那么被第三線交匯的兩條直線，肯定是呈平行狀態。

（二）直線平行例題解析。高中生應該學會運用兩條直線平行的特性，解答相關典型問題，可以用以下例題分析來具體利用直線平行的條件。例如，已知有兩條直線相互平行，這兩條直線的方程式分別是，直線l1表達為x+py+6=0，直線l2表達為（p-2）x+2p=0，那么請求出p的具體數值。解答這道題目就應該明白平行直線的斜率特征，首先，假設A1是，B1是m，C1是6，A2是m-2，B2是0，C2是2m，再根據直線斜率公式可以得出，A1乘以B2減去A2乘以B1等于0，A1乘以C2減去A2乘以C1不等于0，也就是說1×0-(m-2)×m=0，1×2m-6×(m-2)≠0，用這兩個方程式來求解，最后算出m=0，即該題的答案為0.

二、高中數學涉及兩直線垂直的問題

（一）直線垂直的條件。所謂兩直線垂直，也就是說兩條直線出現了交匯情況，且它們的情況比較特殊，其中一條沒有斜率的話，那另一條的斜率一定為0，或者是一條直線的傾斜角為90度，另一條為0度，則兩條直線是垂直關系，相交后形成的角為90度。我們高中生在掌握直線垂直規律時，應該注意分析直線的斜率關系，假設直線L1和L2都存在傾斜角，分別是a1和a2，且則兩條線都有斜率，也沒有發生重合，斜率分別為k1和 k2。試著使用直線傾斜角之間的關系，以及直線向量的關系來探索分析，可以發現這樣的結論，如果兩條直線都存在斜率，并且二者的位置關系是互相垂直，那么它們中的一個斜率是另一個斜率的負倒數，也就是說k1等于-1/k2，或者表達為k1k2=-1。

（二）運用直線垂直解題。在高中數學中運用以上規律，可以解答很多典型的直線數學問題，通過分析幾道例題來闡釋說明。比如，假如有兩條相互垂直的直線，方程表達式分別為y=2+3t和4x+ky=1，其中t為一個參數，可知x=1-2t，求常數k的數值為多少。從題目中可以發現直線y=2+3t中，可以將參數去除，從這個思路出發，消去參數t得到的方程式為3x+2y-7=0。又因為題中交代了直線3x+2y-7=0和直線4x+ky=1是垂直關系，可以明確的信息是兩直線的斜率互為負倒數，由此可以列出（- 3/2 ）×(- 4/k )=-1，所以解出k的數值，即k=-6，也就是說本題答案為-6。例如，已知有兩條直線l1和l2，它們的方程式是mx+8y+n=0和2x+my﹣1=0，且這兩條直線的位置關系分別滿足以下條件：第一，兩條直線都經過點P（m，﹣1）；第二，兩直線相互平行；第三，兩直線相互垂直，且l1在y軸上的截距為﹣1，試根據上述條件來分別求出m，n的數值。高中生在做這道題時，應該分步解答，具體解析步驟如下：首先，由點P同時被直線l1，l2穿過，故列出兩個方程式，m2-8+n=0，2m-m-1=0，所以得出答案m=1，n=7。其次，從直線l1和l2平行，當二者都存在斜率時，則m/2=8/m，由此得出m=±4。又當m=4，n=﹣2時，兩條直線發生了重合，當m=﹣4，n=2是同樣的情況，故只有當m=4，n≠2或m=﹣4，n≠2時，兩直線才可能平行。最后，當m=0時，直線l1為y=﹣n/8和l2為x=1/2，此時，l1⊥l2，又l1在y軸上的截距為﹣1，n=8，當m≠0時此時兩直線的斜率之積等于1/4，顯然l1與l2就不是垂直關系，所以當m=0，n=8時，直線 l1 和 l2垂直符合要求。

結束語

作為高中學生來說，直線平行與垂直關系往往是做題的關鍵信息，只有熟練掌握這兩種關系的特性，才能快速、準確解答相關數學問題。

[1]付劍英.高中生數學解題中錯誤原因分析及其教學策略研究[J].科技資訊,2014,12:193.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）